数学における未解決問題一覧

クレイ数学研究所が2000年にリストアップした7つのミレニアム懸賞問題のうち、6つは現在も未解決のままである。^{[ 6 ]}

• バーチとスウィナートン＝ダイアーの予想
• ホッジ予想
• ナビエ・ストークス方程式の存在と滑らかさ
• P対NP
• リーマン予想
• ヤン・ミルズの存在と質量ギャップ

7番目の問題であるポアンカレ予想は、 2003年にグリゴリー・ペレルマンによって解決されました。^{[ 13 ]}しかし、滑らかな4次元ポアンカレ予想と呼ばれる一般化、つまり4次元位相球が2つ以上の非等価な滑らかな構造を持つことができるかどうかは未解決です。^{[ 14 ]}

• クロフカノート（ロシア語: Коуровская тетрадь ）は、群論における未解決問題を集めたもので、1965年に初版が発行され、その後何度も改訂されている。^{[ 15 ]}
• スヴェルドロフスクノート（ロシア語: Свердловская тетрадь ）は、半群理論の未解決問題集で、1965年に初版が発行され、それ以来2〜4年ごとに更新されている。^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}
• ドニエストルノート（ロシア語: Днестровская тетрадь ）には、代数学、特に環論とモジュラス論における数百の未解決問題がリストされている。^{[ 19 ] [ 20 ]}
• エルラゴルノートブック (ロシア語: Эрлагольская тетрадь ) には、代数とモデル理論の未解決の問題がリストされています。^{[ 21 ]}

• 数体の整数環のスタインバーグ群の中心の位数と、その数の体のデデキントゼータ関数との関係についてのバーチ・テイト予想。
• カサス・アルベロ予想：次数 の多項式が${\displaystyle d}$体上で定義される${\displaystyle K}$特徴​${\displaystyle 0}$最初の要素と共通する要素を持つ${\displaystyle d-1}$-階微分の場合、${\displaystyle f}$になる${\displaystyle d}$線形多項式の ∇ 乗？
• フォン・ノイマン代数理論におけるコーン埋め込み問題
• クルーゼイクスの予想：複素関数の行列ノルム${\displaystyle f}$複素行列に適用${\displaystyle A}$最大で最大2倍の上限${\displaystyle |f(z)|}$値の領域にわたって${\displaystyle A}$。
• 2つの正規行列の和の行列式に関する行列式予想。
• アイレンベルク・ガネア予想：コホモロジー次元が2の群は、2次元のアイレンベルク・マクレーン空間も持つ。${\displaystyle K(G,1)}$。
• 特定のアセンブリマップが同型であるかどうかについてのファレル-ジョーンズの推測。
  • ボスト予想：ファレル・ジョーンズ予想の特殊なケース
• 有限格子表現問題：すべての有限格子は、ある有限代数の合同格子と同型であるか？^{[ 22 ]}
• 特定のモチーフ複体のコホモロジーに関するゴンチャロフ予想。
• グリーンの予想：非超楕円曲線のクリフォード指数は、それが標準曲線として線形シジジーを持つ程度によって決定される。
• グロタンディーク・カッツのp曲率予想：線形常微分方程式に対する局所的・大域的原理の予想。
• アダマール予想：すべての正の整数に対して${\displaystyle k}$次数 のアダマール行列${\displaystyle 4k}$存在する。
  • ウィリアムソン予想：アダマール行列を構成するために使用できるウィリアムソン行列を見つける問題。
• アダマールの最大行列式問題：すべての要素が1または-1である行列の最大行列式は何か？
• ヒルベルトの第15の問題：シューベルト微積分を厳密な基礎の上に築くこと。
• ヒルベルトの第16問題： M曲線の連結成分の可能な構成は何か？
• 可換代数におけるホモロジー予想
• ヤコブソンの予想：左ネーター環と右ネーター環のヤコブソン根基のすべてのべき乗の共通部分は正確に0である。
• カプランスキーの推測
• ケーテ予想：環に零イデアルが存在しないならば、${\displaystyle \{0\}}$ならば、それは、以外のゼロの片側イデアルを持たない。${\displaystyle \{0\}}$。
• ネーター局所環に関する単項式予想
• 完全直方体の存在とそれに関連する直方体に関する推測
• ピアース・バーコフ予想：すべての区分的多項式${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$これは、有限個の多項式の集合の最小値の有限集合の最大値です。
• ロータの基底予想：ランクのマトロイドの場合${\displaystyle n}$と${\displaystyle n}$互いに素な基底${\displaystyle B_{i}}$作成することが可能です${\displaystyle n\times n}$行が${\displaystyle B_{i}}$そして、その柱は同時に基底でもある。
• セールの予想 II：もし${\displaystyle G}$は、コホモロジー次元が最大で の完全体上の単連結半単純代数群である。${\displaystyle 2}$すると、ガロアコホモロジー集合は${\displaystyle H^{1}(F,G)}$ゼロです。
• セールのポジティブ予想では、${\displaystyle R}$は可換正則局所環であり、${\displaystyle P,Q}$は、​${\displaystyle R}$、 それから${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)=\dim(R)}$暗示する${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)>0}$。
• 有理点の一様有界性予想：種数の代数曲線${\displaystyle g\geq 2}$数値フィールドを超える${\displaystyle K}$最大である制限された数を持つ${\displaystyle N(K,g)}$の${\displaystyle K}$-合理的な論点？
• ワイルド問題：ペアの分類に関する問題${\displaystyle n\times n}$同時共役の行列。
• ザリスキー・リップマン予想：複素代数多様体の場合${\displaystyle V}$座標環付き${\displaystyle R}$導出が​${\displaystyle R}$無料モジュール​${\displaystyle R}$、 それから${\displaystyle V}$滑らかです。
• ザウナーの推測：SIC-POVMはすべての次元に存在するのか？

群論

• アンドリュース・カーティス予想：自明群のすべてのバランスのとれた表示は、関係式と関係式の共役に対する一連のニールセン変換によって自明な表示に変換できる。
• バーンサイド群の有限性問題：どのような正の整数m、nに対して、自由バーンサイド群B( m , n )は有限となるか？特に、B(2, 5)は有限となるか？
• 種数0の群の構成因子に関するGuralnick–Thompsonの予想^{[ 23 ]}
• ヘルツォーク・シェーンハイム予想：群の部分群の左剰余類の有限系が${\displaystyle G}$パーティションを形成する${\displaystyle G}$すると、当該部分群の有限指数は互いに異なることはできない。
• 逆ガロア問題：すべての有限群は、有理数のガロア拡大のガロア群であるか？
• コクセター群の同型性問題
• レンスターのグループは無限に存在するのでしょうか？
• 一般的に存在する密造酒は存在するのか？
• 有限表示可能な周期群はすべて有限群でしょうか？
• すべてのグループは接続法ですか？
• すべての離散的で可算な群はソフィック群ですか？
• ループ理論と準群理論の問題では、群の一般化を考察する。

• ブレナン予想：開単位円盤への共形写像の導関数の絶対値の積分べき乗を、特定のサブセット上で推定する${\displaystyle \mathbb {C} }$
• 非凸集合が${\displaystyle \mathbb {R} }$そして$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$スペクトルであるのは、それらが平行移動によってタイル状に並べられる場合に限る。
• 多価関数の係数に関するグッドマンの予想
• 不変部分空間問題―複素バナッハ空間上のすべての有界作用素は、非自明な閉部分空間を自身に写像するのか？
• メモリなしの多点反復の最適次数に関するKung–Traub予想^{[ 24 ]}
• 非円分多項式のマーラー測度に関するレーマーの予想^{[ 25 ]}
• 平均値問題：複素多項式が与えられた場合${\displaystyle f}$学位​$d ≥ 2$複素数${\displaystyle z}$臨界点はありますか？${\displaystyle c}$の${\displaystyle f}$そのため${\displaystyle |f(z)-f(c)|\leq |f'(z)||zc|}$？
• 非ゼロ関数の積分がすべての合同コピー上でゼロになるような領域のトポロジーに関するポンペイウ問題^{[ 26 ]}
• センドフの予想：次数が少なくとも の複素多項式の場合${\displaystyle 2}$すべての根が閉じた単位円盤内にある場合、各根は距離内に収まる。${\displaystyle 1}$ある重要な点から。
• ヴィトゥシュキンのコンパクト部分集合に関する予想${\displaystyle \mathbb {C} }$分析能力を備えた${\displaystyle 0}$
• ブロッホ定数を含むランダウ定数の正確な値はいくつですか？
• オイラー方程式の解の正則性
• フリントヒルズシリーズの収束
• ヴラソフ・マクスウェル方程式の解の正則性
• レーマー対は無限に存在するのか？^{[ 27 ]}

• 1/3–2/3予想–完全順序付けされていないすべての有限部分順序付け集合には、ランダムな線形拡張でxがyより前に現れる確率が1/3から2/3の間になるような2つの要素xとyが含まれるか? ^{[ 28 ]}
• ディタート予想とは、総和条件を満たす実数かつ非負の要素を持つ行列の特定の関数が達成する最大値に関する予想である。
• ラテン方陣の問題–ラテン方陣に関する未解決問題
• 孤独なランナーの推測– もし${\displaystyle k}$速度が異なるランナーが単位長さのトラックを周回する場合、すべてのランナーは「孤独」になるでしょうか（つまり、少なくとも距離が離れているでしょうか）${\displaystyle 1/k}$お互いのランナーから）いつか？^{[ 29 ]}
• スーパー順列- n 桁の可能なすべての順列を含む最小の n 桁の文字列
• 地図折り畳み― 地図折り畳みと切手折り畳みにおける様々な問題点。
• 3つ並ばない問題– いくつの点を配置​​できるか${\displaystyle n\times n}$3つが一直線上に並ばないようにグリッドを作成する？
• 有限等差数列における平方数の数に関するルーディンの予想^{[ 30 ]}
• ヒマワリの推測– ヒマワリの数は${\displaystyle k}$ヒマワリの存在に必要なサイズセット${\displaystyle r}$集合は指数関数によって制限される${\displaystyle k}$すべての固定値に対して${\displaystyle r>2}$？
• フランクルの和集合予想– 和に関して閉じている任意の集合族に対して、その集合の半分以上に属する要素（基礎となる空間の要素）が存在する^{[ 31 ]。}

• クロネッカー係数の組み合わせ論的解釈を与える^{[ 32 ]}
• サイズ${\displaystyle m(n)}$最小のコレクションの${\displaystyle n}$-プロパティBのない均一セット${\displaystyle n\geq 5}$
• デデキント数の値${\displaystyle M(n)}$のために${\displaystyle n\geq 10}$^{[ 33 ]}
• ラムゼイ数の値、特に${\displaystyle R(5,5)}$
• ファン・デル・ヴェルデン数の値
• nステップの自己回避ウォークをモデル化する関数を見つける^{[ 34 ]}

• アーノルド・ギヴァンタル予想とアーノルド予想― シンプレクティック幾何学とモース理論の関係。
• 量子カオスにおけるベリー・テイバー予想
• バナッハの問題 –単純なルベーグスペクトルを持つエルゴード系は存在するか？ ^{[ 35 ]}
• バーコフ予想 –ビリヤード台が厳密に凸で積分可能である場合、その境界は必ず楕円になるのか？^{[ 36 ]}
• コラッツ予想（別名：${\displaystyle 3n+1}$推測）
• エデンの推測によれば、グローバルアトラクター上の局所リアプノフ次元の最大値は、アトラクターに埋め込まれた定常点または不安定な周期軌道上で達成される。
• ファトゥは、複素平面から複素平面自身への写像の二次族が、開稠密なパラメータ集合に対して双曲的であると推測している。
• ファーステンベルク予想 – すべての不変量とエルゴード的尺度は${\displaystyle \times 2,\times 3}$円に対する作用は、ルベーグ作用か原子作用か？
• カプラン・ヨーク予想：アトラクターの次元をリアプノフ指数で表す
• マルグリス予想 ― 高階群における対角化可能な作用の分類尺度。
• ヒルベルト・アーノルド問題―球面上の一般的な有限パラメータ族のベクトル場における極限サイクルの数に一様な上限は存在するか？
• MLC予想― マンデルブロ集合は局所的に連結しているか？
• 外側ビリヤードに関する多くの問題、例えば、ほとんどすべての凸多角形に対する外側ビリヤードは無限軌道を持つことを示すことなど。
• 負の曲率を持つ多様体上のラプラシアンの高周波固有関数の分布に関する量子的一意エルゴード性予想^{[ 37 ]}
• ロクリンの多重混合問題 – すべての強混合システムは強3混合でもあるのか？^{[ 38 ]}
• 三角形ビリヤード– すべての三角形に周期的なビリヤードの軌道が存在するのか？^{[ 39 ]}
• ワインスタイン予想―シンプレクティック多様体上のハミルトニアンの正則コンパクト接触型レベルセットは、ハミルトニアンの流れの少なくとも1つの周期軌道を持つか？
• すべての正の整数は、1で終わるジャグラーシーケンスを生成しますか？
• リャプノフ関数：安定性に関するリャプノフの第2の方法– 動的システムを記述するどのようなクラスの常微分方程式に対して、古典的および標準的に一般化された形式で定式化されたリャプノフの第2の方法は、運動の（漸近的）安定性の必要十分条件を定義するのでしょうか？
• 3次元以上の可逆セルオートマトンはすべて局所的に可逆でしょうか？ ^{[ 40 ]}

• チェルリン・ジルバー予想：1階理論が安定な単純群${\displaystyle \aleph _{0}}$は、代数的に閉じた体上の単純代数群である。
• 一般化されたスター高さ問題：すべての正規言語は、クリーネスターのネスト深度が制限された一般化された正規表現を使用して表現できますか？
• ヒルベルトの第10問題は、どの数体に対して成立するのか？
• キューカー予想^{[ 155 ]}
• 主なギャップ予想は、例えば非可算な一階理論、AEC、および${\displaystyle \aleph _{1}}$- 可算理論の飽和モデル。^{[ 156 ]}
• シェラのカテゴリー性予想${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$: 文がハンフ数より上のカテゴリーであるならば、それはハンフ数より上のすべての基数においてカテゴリーである。^{[ 156 ]}
• シェラの最終的なカテゴリー性予想：すべての基数に対して${\displaystyle \lambda }$基数が存在する${\displaystyle \mu (\lambda )}$AEC Kが LS( K )を持つ場合${\displaystyle {}\leq \lambda }$は、基数においてカテゴリー的である。${\displaystyle \mu (\lambda )}$すると、それは上記のすべての基数においてカテゴリー的である${\displaystyle \mu (\lambda )}$[ ^{156 ] [ 157 ]​}
• 安定体予想：安定な一階理論を持つすべての無限体は、分離的に閉じている。
• 単純理論に対する安定分岐予想^{[ 158 ]}
• タルスキーの指数関数問題：指数関数を用いた実数の理論は決定可能か？
• Cフリーグラフの普遍性問題：どの有限集合Cのグラフに対して、 Cフリー可算グラフのクラスは強埋め込みの下で普遍的なメンバーを持つのか？^{[ 159 ]}
• 普遍性スペクトル問題：普遍性スペクトルが最小となる一次理論は存在するのか？^{[ 160 ]}
• ヴォート予想：可算言語における一階完全理論の可算モデルの数は有限であるか、${\displaystyle \aleph _{0}}$、 または${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$。
• K を可算個の型を除いた可算一階理論のモデルクラスとします。Kが基数を持つモデルを持つ場合${\displaystyle \aleph _{\omega _{1}}}$基数連続体のモデルはありますか？^{[ 161 ]}
• ヘンソングラフは有限モデル特性を持つか？
• 有限関係言語の有限表示可能な同質構造は、有限個の縮約を持つか？
• 指数関数を超える（急速な成長）関数を持つ、o-最小の一次理論は存在するか？
• 完全な一次理論の原子モデルのクラスがカテゴリカルである場合、${\displaystyle \aleph _{n}}$、それはすべての基数においてカテゴリー的ですか? ^{[ 162 ] [ 163 ]}
• 標数ゼロの無限かつ最小の体はすべて代数的に閉じているだろうか？（ここで「最小」とは、構造の定義可能な部分集合がすべて有限または余有限であることを意味する。）
• ボレル単項実数順序理論（BMTO）は決定可能か？ 整列単項理論（MTWO）は一貫して決定可能か？^{[ 164 ]}
• ローラン級数の場の理論は終わったのか${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$多項式体の決定可能?${\displaystyle \mathbb {C} }$？
• ベス特性とΔ補間の両方を満たし、コンパクトであるが補間特性を満たさない論理Lは存在するか？^{[ 165 ]}
• ケイスラーの順序の構造を決定する。^{[ 166 ] [ 167 ]}
• 2階算術、ZFC、またはより強い理論における証明論的順序数（理論が健全性を証明できない最小の順序数）の性質は何ですか? ^{[ 168 ]}

• φ混合系列に関するイブラギモフ・イオシフェスク予想

注：以下の予想は公理的集合論の1階言語で表現されており、特に断りのない限り、ここではツェルメロ＝フランケル集合論（場合によっては選択集合論を含む）に関するものとみなされます。特に、様々な構成的集合論や非整礎集合論など、より広範な、あるいは矛盾するクラスのモデルを持つ集合論では、この予想の独立性は明らかにならない可能性があります。

• 分割原理（PP）は選択公理（AC）を必然的に導くのか？
• （ウッディン）強コンパクト基数以下の一般化連続体仮説は、あらゆる場所で一般化連続体仮説を意味するのか？
• 一般化された連続体仮説は、${\displaystyle {\diamondsuit (E_{\operatorname {cf} (\lambda )}^{\lambda ^{+}}})}$すべての単数基数${\displaystyle \lambda }$？
• 一般化された連続体仮説は、 ℵ ₂ -Suslin ツリーの存在を意味するのでしょうか？
• ℵ _ωが強い極限基数である場合、${\displaystyle 2^{\aleph _{\omega }}<\aleph _{\omega _{1}}}$（特異基数仮説を参照）？ 最良の境界値ℵω4_は、 ShelahがPCF理論を用いて得たものです。
• すべての大きな基数を含む究極のコアモデルを見つけるという問題。
• ウッディンのΩ予想：ウッディン基数の適切なクラスが存在するならば、Ω論理はゲーデルの完全性定理の類似を満たす。
• 強コンパクト基数の存在の一貫性は、超コンパクト基数の存在の一貫性を意味するのか？
• ℵ _ω上にJónsson 代数は存在しますか？
• OCA（オープンカラーリング公理）は、${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}>\aleph _{2}}$？
• ラインハルト基数：選択公理を仮定せずに、非自明な基本埋め込みV → Vは存在できるか？

• バウム・コンヌ予想：アセンブリマップは同型写像である。
• ベルジュは、レンズ空間手術が可能な3次元球面上の結び目はベルジュ結び目のみであると推測している。
• ビング・ボルスク予想：すべての${\displaystyle n}$次元同次絶対近傍レトラクトは位相多様体である。
• ボレル予想：非球面閉多様体は、その基本群によって同相を除いて決定される。
• 特定のファイブレーションの有理セルスペクトル系列に関するハルペリン予想。
• ヒルベルト・スミス予想：局所的にコンパクトな位相群が位相多様体上で連続かつ忠実な群作用を持つならば、その群はリー群でなければならない。
• マズールの推測^{[ 185 ]}
• 基本群から生じる多様体のポントリャーギン類における特定の多項式のホモトピー不変性に関するノビコフ予想。
• 野生結び目の四分割線：野生結び目には常に無限に多くの四分割線が存在すると推測されている。^{[ 186 ]}
• 望遠鏡予想：安定ホモトピー理論におけるラヴェネル予想の中で最後に解決された予想。^{[ b ]}
• 結び目解消問題：結び目が解消された状態を多項式時間で認識できるか？
• 結び目の量子不変量と、その結び目の補集合の双曲幾何学を関連付ける体積予想。
• ホワイトヘッド予想：2次元非球面CW複合体の連結部分複合体はすべて非球面である。
• ゼーマン予想：有限で縮約可能な2次元CW複体が与えられた場合${\displaystyle K}$、空間は${\displaystyle K\times [0,1]}$折りたたみ式？
• 近傍ラグランジュ予想：次の命題を証明するか、反例を見つけよ：閉じた多様体の余接束の任意の閉じた厳密なラグランジュ部分多様体は、ゼロ断面とハミルトニアン的に同位である。^{[ 188 ]}

• マズールの予想B（ヴェシリン・ディミトロフ、ジヤン・ガオ、フィリップ・ハベッガー、2020年）^{[ 189 ]}
• 吹田予想(Qi'an Guan and Xiangyu Zhou , 2015) ^{[ 190 ]}
• ねじれ予想(ロイック・メレル、1996) ^{[ 191 ]}
• カーリッツ・ワン予想( Hendrik Lenstra、 1995 年) ^{[ 192 ]}
• セールの非負性予想（オファー・ガバー、1995年）

• 溝畑・竹内予想( Hannah Cairo、2025)。^{[ 193 ] [ 194 ]}
• カディソン・シンガー問題（アダム・マーカス、ダニエル・シュピールマン、ニキル・スリヴァスタヴァ、2013年）^{[ 195 ] [ 196 ]}（およびファイヒティンガー予想、アンダーソンの舗装予想、ウィーバーの不一致理論）${\displaystyle KS_{r}}$そして${\displaystyle KS'_{r}}$予想、ブルゲン・ツァフリリ予想、${\displaystyle R_{\varepsilon }}$-推測）
• アールフォルス測度予想（イアン・アゴル、2004年）^{[ 197 ]}
• 勾配予想(Krzysztof Kurdyka、Tadeusz Mostowski、Adam Parusinski、1999) ^{[ 198 ]}