レンスターグループ

数学において、レンスター群は、その位数がその真正規部分群の位数の合計に等しい有限群である。^{[1] [2]}

レンスター群は、エディンバラ大学の数学者トム・レンスターにちなんで名付けられました。彼は1996年に執筆されたが、2001年に出版されるまで出版されなかった論文でレンスター群について書いています^。[3]彼はレンスター群を「完全群」^[3]と呼び、後に「無原罪群」^{[4]と呼びましたが、「}完全群」がすでに別の意味（その交換子部分群に等しい群）を持っていた ため、De Medts & Maróti (2013) によってレンスター群に改名されました。^[2]

レンスター群は、完全数を解析し、いまだに解決されていない奇数完全数の存在という問題にアプローチするための群論的方法を与える。巡回群の場合、部分群の位数は群の位数の約数にすぎないため、巡回群がレンスター群となるのは、その位数が完全数である場合に限る。^[2]さらに強く言えば、レンスターが証明したように、可換群がレンスター群となるのは、位数が完全数である巡回群である場合に限る。^{[3]さらに、レンスターは、}二面体レンスター群が奇数完全数と一対一に対応していること を示した。したがって、奇数完全数の存在は二面体レンスター群の存在と同値である。

順序が完全数である巡回群はレンスター群である。^[3]

非可換レンスター群が奇数位を持つことも可能であり、位数355433039577の例はフランソワ・ブリュノーによって構築された。^{[1] [4]}

非可換レンスター群の他の例としては、 の形の特定の群が挙げられる。ここで は交代群、 は巡回群である。例えば、群、^[4]、^[5]はレンスター群である。同じ例は、 などの の形の対称群、すなわちを使っても構築できる。^[3]${\displaystyle \operatorname {A} _{n}\times \operatorname {C} _{m}}$${\displaystyle \operatorname {A} _{n}}$${\displaystyle \operatorname {C} _{m}}$${\displaystyle \operatorname {A} _{5}\times \operatorname {C} _{15128}}$${\displaystyle \operatorname {A} _{6}\times \operatorname {C} _{366776}}$ ${\displaystyle \operatorname {A} _{7}\times \operatorname {C} _{5919262622}}$${\displaystyle \operatorname {A} _{10}\times \operatorname {C} _{691816586092}}$${\displaystyle \operatorname {S} _{n}\times \operatorname {C} _{m}}$${\displaystyle \operatorname {S} _{3}\times \operatorname {C} _{5}}$

レンスター群の可能な順序は整数列を形成する

6、12、28、30、56、360、364、380、496、760、792、900、992、1224、...（OEISの配列A086792）

レンスター群が無限に存在するかどうかは不明です。

• 対称的または交互的なレンスター群は存在しない。^[3]
• p、qが素数であるとき、位数p ² q ²のレンスター群は存在しない。^[1]
• 有限半単純群はレンスター群ではない。^[1]
• p群はレンスター群にはなり得ない。[ ^4]
• すべてのアーベルレンスター群は完全数に等しい位数を持つ巡回群である。^[3]