強力な数字

パワーフル数は、すべての素数p がm を割り切る場合、p ^2もm を割り切るような正の整数 mです。同様に、パワーフル数は平方と立方との積、つまりm = a ² b ³の形式の数mです( aとbは正の整数)。パワーフル数は、スクエアフル、スクエアフル、または2 フルとも呼ばれます。ポール・エルデシュとジョージ・シェケレスはそのような数を研究し、ソロモン・W・ゴロムはそのような数をパワーフルと名付けました。

以下は 1 から 1000 までのすべての強力な数字のリストです。

1、4、8、9、16、25、27、32、36、49、64、72、81、100、108、121、125、128、144、169、196、200、216、225、243、 256、288、289、324、343、361、392、400、432、441、484、500、512、529、576、625、648、675、676、729、784、800、841、864、 0、 961、968、 972、1000、...（OEISの配列A001694）。

m = a ² b ³の場合、aの素因数分解におけるすべての素数は、指数が少なくとも 2 であるmの素因数分解に現れ、 bの素因数分解におけるすべての素数は、指数が少なくとも 3 であるmの素因数分解に現れるため、m は強力です。

逆に、mが素因数分解で強力である と仮定する。

${\displaystyle m=\prod p_{i}^{\alpha _{i}},}$

ここで、各α _i ≥ 2である。α i が奇数の場合はγ i を3、そうでない場合は0と定義し、_β i ₌ α i − γ i と定義する。すると_、 β i_のすべての_値は_非負の偶数であり、γ _{i の}すべての値は0か3のいずれかとなるので、

${\displaystyle m=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}}\right)\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}}\right)=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2}\right)^{2}\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3}\right)^{3}}$

mを平方と立方との積として 必要な表現を提供します。

非公式には、 mの素因数分解が与えられた場合、奇数の指数を持つmの素因数の積をbとします（素因数がない場合はb を1 とします）。m は強力であるため、奇数の指数を持つ各素因数の指数は少なくとも 3 であり、m / b ^{3 は整数です。さらに、} m / b ³の各素因数の指数は偶数であるため、m / b ^{3 は} 完全な平方であり、これをa ²と呼ぶと、m = a ² b ³となります。たとえば、次のようになります。

${\displaystyle m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2}\,,}$

${\displaystyle b=2\times 3=6\,,}$

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {m}{b^{3}}}}={\sqrt {2^{2}\times 5^{2}}}=10\,,}$

${\displaystyle m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}\,.}$

このようにして計算された表現m = a ² b ^3は、 bが平方数でないという性質を持ち、この性質によって一意に定義されます。

強大数の逆数の和は収束する。この和の値は、無限積など、他のいくつかの方法で表すことができる。

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1.9435964368\ldots ,}$

ここでpはすべての素数上で実行され、ζ ( s )はリーマンゼータ関数を表し、ζ (3)はアペリーの定数である。^{[1] （} OEISのシーケンスA082695 ）より一般的には、べき乗数のs乗の逆数の和（ディリクレ級数生成関数）は

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)\zeta (3s)}{\zeta (6s)}}}$

収束するたびに。

k ( x ) を区間 [1, x ]内のべき乗数の個数とします。するとk ( x ) はxの平方根に比例します。より正確には、

${\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\ldots }$

（ゴロム、1970年）。

連続する最も小さい2つの強力な数は8と9です。ペル方程式 x ² − 8 y ² = 1には無限の整数解があるため、連続する強力な数のペアは無限に存在します (Golomb, 1970)。より一般的には、任意の完全立方体nについて同様のペル方程式x ² − ny ² = ±1を解くことで、連続する強力な数を見つけることができます。ただし、このようにして形成されたペアの2つの強力な数のうち1つは平方数でなければなりません。ガイによると、エルデシュは、(23 ³ , 2 ³ 3 ² 13 ² )のように、ペアのどちらの数も平方数ではない連続する強力な数のペアが無限に存在するかどうかを尋ねました。ウォーカー (1976) は、 3 ³ c ² + 1 = 7 ³ d ²には無限の解があることを示して、そのようなペアが確かに無限に存在することを示しこの方程式のウォーカー解は、任意の奇数kに対して、次の数を考慮することによって 生成される。

${\displaystyle (2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{7k}=a{\sqrt {7}}+b{\sqrt {3}},}$

整数aが7で割り切れ、整数bが3で割り切れる場合、aとbから連続する強数7a2と3b2^{を構築し、7a2} = 1 + 3b2とする。この族の最小の連続するペアは、k = 1 、 a = 2637362、^b = 4028637の場合に次のよう に生成される^。

${\displaystyle 7\cdot 2637362^{2}=2^{2}\cdot 7^{3}\cdot 13^{2}\cdot 43^{2}\cdot 337^{2}=48689748233308}$

そして

${\displaystyle 3\cdot 4028637^{2}=3^{3}\cdot 139^{2}\cdot 9661^{2}=48689748233307.}$

エルデシュ、モリン、ウォルシュの予想によれば、連続する3つの強力な数は存在しない。連続する3つの強力な数が存在する場合、その最小の項は7、27、または35を36で割ったものと合同でなければならない。^[2]

abc 予想が正しい場合、連続する 3 つの強力な数字のセットは有限の数しかありません。

任意の奇数は、連続する 2 つの平方の差です: ( k + 1) ² = k ² + 2 k + 1 なので、 ( k + 1) ²  −  k ² = 2 k + 1 です。同様に、任意の 4 の倍数は、差が 2 である 2 つの数の平方の差です: ( k + 2) ²  −  k ² = 4 k + 4。ただし、単独の偶数、つまり 2 で割り切れるが 4 で割り切れない数は、平方の差として表すことはできません。このことから、単独の偶数はどれがべき乗数の差として表せるかという問題が生じます。ゴロムは、このタイプの表現をいくつか示しました:

2 = 3 ³  − 5 ²

10 = 13 ³  − 3 ⁷

18 = 19 ²  − 7 ³ = 3 ⁵  − 15 ²。

6はそのような表現は不可能だと推測されており、ゴロムは2つの強力な数の差として表現できない整数が無限に存在すると推測した。しかし、ナルキエヴィッチは6が次のような無限の方法で表現できることを示した。

6 = 5 ⁴ 7 ³  − 463 ²、

そしてマクダニエルは、あらゆる整数にはそのような表現が無限に存在することを示しました (McDaniel, 1982)。

エルデシュは、十分に大きい整数は最大で 3 つのべき乗数の和であると予想しました。これはロジャー・ヒース・ブラウン(1987) によって証明されました。

より一般的には、すべての素因数が少なくともk の指数を持つ整数を考えることができます。このような整数は、k乗数、k満数、またはk満数と呼ばれます。

(2 ^{k +1}  − 1) ^k、2 ^k (2 ^{k +1}  − 1) ^k、(2 ^{k +1}  − 1) ^{k +1}

は等差数列のk乗である。さらに、a ₁、a ₂、 ...、a _sが公差dの等差数列のk乗である場合、

a ₁ ( a _s + d ) ^k、  

a ₂ ( a _s  +  d ) ^k , ..., a _s ( a _s  +  d ) ^k , ( a _s  +  d ) ^{k +1}

等差数列における s + 1 kの強力な数です。

k乗の整数を含む恒等式が存在します。

a ^k ( a ^ℓ + ... + 1) ^k + a ^{k + 1} ( a ^ℓ + ... + 1) ^k + ... + a ^{k + ℓ} ( a ^ℓ + ... + 1) ^k = a ^k ( a ^ℓ + ... +1) ^{k +1}。

これは、合計がk乗であるk乗のl +1 組が無限に存在します。Nitaj は、互いに素な 3 乗の数にx  +  y  =  zの解が無限に存在することを示しています(Nitaj, 1995)。Cohn は、互いに素な非立方体の 3 乗の数にx  +  y  =  zの解の無限の族を次のように構築します。3 組

X = 9712247684771506604963490444281、Y = 32295800804958334401937923416351、Z = 27474621855216870941749052236511

は方程式 32 X ³ + 49 Y ³ = 81 Z ³の解です。X ′ = X (49 Y ³  + 81 Z ³ )、Y ′ = − Y (32 X ³  + 81 Z ³ )、Z ′ = Z (32 X ³  − 49 Y ³ ) と設定し、公約数を省略することで別の解を作成できます。

• アキレス数
• 非常に強力な数字

• Cohn, JHE (1998). 「3乗数に関するエルデシュ予想」. Math. Comp . 67 (221): 439–440. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00881-3 .
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• 数学百科事典の「Power-full number」。
• Weisstein、Eric W.「強力な数」。MathWorld。
• ABC予想
• OEISシーケンス A060355 (n と n+1 が連続する 2 つの強力な数字であるような数字 n)