均質な空間

数学において、同質空間とは、非常に非公式な言い方をすれば、群の作用によって移動する際に、どこへ行っても同じように見える空間のことである。同質空間は、リー群、代数群、位相群の理論に現れる。より正確には、群Gの同質空間とは、Gが推移的に作用する空でない多様体または位相空間Xのことである。Gの要素はXの対称性と呼ばれる。

この特殊なケースとして、問題となっている群G が空間Xの自己同型群である場合が挙げられます。ここで「自己同型群」とは、等長変換群、微分同相変換群、または同相変換群を意味します。この場合、X は、各点において局所的に同じように見える場合、すなわち、等長変換（剛体幾何学）、微分同相変換（微分幾何学）、または同相変換（位相幾何学）のいずれかの意味で、X が同質であると言えます。

一部の著者は、 Gの作用は忠実である（非恒等要素は非自明に作用する）と主張しているが、本稿ではそうではない。したがって、X上に何らかの「幾何学的構造」を保存し、Xを単一のG軌道にするものとして考えられる、 Xに対するGの群作用が存在する。

X を空でない集合、Gを群とする。このとき、XにGの作用が備わっている場合、XはG空間と呼ばれる。^{[ 1 ]} G は自動的に集合に自己同型写像​​ (全単射) で作用することに注意する。さらにX がある圏に属する場合、 Gの要素は同じ圏の自己同型写像​​として作用すると仮定する。つまり、Gの要素からXに写像される写像は、その圏に関連付けられた構造を保持する (例えば、XがDiffの対象である場合、作用は微分同相写像によるものでなければならない)。同質空間とは、G が推移的に作用するG空間のことである。

XがカテゴリーCの対象である場合、 G空間の構造は準同型写像である。

${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} _{\mathbf {C} }(X)}$

対象XのカテゴリーCにおける自己同型群に。ペア( X , ρ )は、 ρ ( G ) がXの基礎となる集合の推移的対称群である場合に、同質空間を定義する。 

エアランゲン・プログラムの観点からすれば、 Xの幾何学においては「すべての点が同じである」と理解できるだろう。これは、19世紀半ばのリーマン幾何学以前に提案されたほぼすべての幾何学に当てはまった。

したがって、例えば、ユークリッド空間、アフィン空間、射影空間は、それぞれ対称群に関して自然な形で均質な空間である。双曲空間のような、曲率が一定の非ユークリッド幾何学のモデルについても同様である。

さらに古典的な例として、3次元射影空間における直線の空間（あるいは、4次元ベクトル空間の2次元部分空間の空間）が挙げられます。GL _{4がこれらの空間に推移的に作用することは、簡単な}線形代数で示すことができます。直線の座標によってこれらの空間をパラメータ化することができます。これは、部分空間の2つの基底ベクトルを列とする4×2行列の2×2小行列式です。結果として得られる同次空間の幾何学は、ユリウス・プリュッカーの直線幾何学です。

一般に、XがGの同次空間であり、H _oがX内の何らかのマークされた点oの安定化群(原点の選択) である場合、 Xの各点は左剰余類G / H _oに対応し、マークされた点oは恒等剰余類に対応します。逆に、剰余類空間G / Hが与えられた場合、それはGの同次空間であり、その点には恒等剰余類という特別な点があります。したがって、同次空間は原点の選択のない剰余類空間と考えることができます。

例えば、Hが恒等部分群{ e }である場合、XはG -torsorであり、これがG -torsor がしばしば直感的に「恒等性を忘れたG」と表現される理由です。

一般に、異なる原点oの選択は、 Gの内部自己同型によってH _oと関連付けられる異なる部分群H _o′によるGの商群をもたらします。具体的には、  

ここで、gはgo = o ′となるGの任意の要素である。内部自己同型 (1) は、そのようなgがどれに選ばれるかには依存せず、 gを法とするH _oにのみ依存することに注意されたい。 

GのXへの作用が連続であり、Xがハウスドルフ多様体である場合、HはGの閉部分群である。特に、Gがリー群である場合、カルタンの定理によりHはリー部分群である。したがって、G / Hは滑らかな多様体であり、X は群作用と両立する一意の滑らかな構造を持つ。

さらに、二重剰余類空間、特にクリフォード・クライン形式Γ\ G / Hまで進むことができます。ここでΓは、適切に不連続に作用する（ Gの）離散部分群です。

例えば、線幾何学の場合、H は、行列の要素に関する条件によって定義される16 次元一般線形群GL(4)の 12 次元部分群として識別できます。

h ₁₃ = h ₁₄ = h ₂₃ = h ₂₄ = 0、

最初の2つの標準基底ベクトルによって張られる部分空間の安定化群を探すことによって、Xの次元が4であることが分かります。

小行列式によって与えられる同次座標は6つあるため、これらの小行列式は互いに独立ではない。実際、19世紀の幾何学者たちが知っていたように、6つの小行列式の間には単一の二次関係が成り立つ。

この例は、射影空間以外のグラスマン多様体として初めて知られた例である。数学で一般的に用いられる古典的な線形群の同次空間は他にも多数存在する。

前均質ベクトル空間の概念は佐藤幹雄によって導入された。

これは、代数群Gの群作用を持つ有限次元ベクトル空間Vであり、ザリスキ位相に対して開軌道（したがって稠密）を持つGの軌道が存在する。例としては、1 次元空間に作用する GL(1) が挙げられる。

この定義は、一見したところよりも制約が厳しい。このような空間は注目すべき特性を持ち、「キャスリング」と呼ばれる変換を除いて、既約な前均質ベクトル空間の分類が存在する。

ポアンカレ群Gとその部分群であるローレンツ群Hが与えられたとき、剰余類G / Hの空間はミンコフスキー空間である。^{[ 3 ]}これらは、ド・ジッター空間および反ド・ジッター空間とともに、最大対称ローレンツ時空である。物理学において関連する非ローレンツ的同質空間も存在し、例えばガリレオ時空、キャロル時空、アリストテレス時空などがある。^{[ 2 ]}

一般相対性理論を用いた物理宇宙論では、ビアンキ分類システムが利用される。相対性理論における均質空間は、いくつかの宇宙論モデルの背景計量の空間部分を表す。例えば、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量の3つのケースは、ビアンキI（平坦）、V（開放）、VII（平坦または開放）、IX（閉鎖）タイプのサブセットで表すことができ、ミックスマスター宇宙はビアンキIX宇宙論の異方性例を表す。^{[ 4 ]}

N次元の同質空間は、少なくともN 個、最大で 1/2 N ( N + 1) 個のキリングベクトルの集合を許容します。 [ 5 ] 3次元の場合、これ^は合計で最大6 つの線形独立なキリングベクトル場を与えます。同質 3 次元空間は、これらの線形結合を使用して、至るところでゼロにならない 3 つのキリングベクトル場ξ ^{( a )} _iを見つけることができるという性質を持っています。

${\displaystyle \xi _{[i;k]}^{(a)}=C_{\ bc}^{a}\xi _{i}^{(b)}\xi _{k}^{(c)},}$

ここで、オブジェクトC ^a _bc、「構造定数」は、下位 2 つのインデックスに関して反対称な定数3 階テンソル を形成します(左辺では、括弧は反対称化を表し、「;」は共変微分演算子を表します)。平坦な等方性宇宙の場合、1 つの可能性はC ^a _bc = 0 (タイプ I) ですが、閉じた FLRW 宇宙の場合は、C ^a _bc = ε ^a _bcとなります。ここで、ε ^a _bcはレヴィ・チヴィタ記号です。

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