平行面体

幾何学において、平行面体とは、ユークリッド空間を埋めるために回転せずに平行移動できる凸多面体である。これにより、多面体のすべてのコピーが面と面を合わせてハニカム構造が形成される。平行面体には、立方体、六角柱、菱形十二面体、細長い十二面体、切頂八面体の 5 種類があり、1885 年にエフグラフ・フョードロフが結晶学システムの研究で初めて特定した。

各平行面体は、ゾノヘドロンおよびプレシオヘドロンである。面と同様に、点対称性を持つ。その辺は、等しい長さの平行辺のサブセットにグループ化できる。平行面体自体は、各平行サブセットから 1 つの代表を選択することによって選択された線分の集合のミンコフスキー和である。これらのサブセットのいずれかの辺の長さを調整するか、より一般的には平行面体のアフィン変換を実行すると、同じ組み合わせタイプの別の平行面体が得られる。平行面体による空間のタイリングにおけるタイルの中心はブラヴェ格子を形成し、すべてのブラヴェ格子はこの方法で形成できる。

3 次元の平行面体は、2 次元の平行四辺形および高次元の平行六面体に類似しています。

すべての平行面体はゾノヘドロン、つまり中心対称の面を持つ中心対称の多面体である。他のゾノヘドロンと同様に、線分のミンコフスキー和として構築することができ、線分は多面体の平行な辺のクラスごとに 1 つずつ存在する。平行面体の場合、これらの平行クラスは 3 つから 6 つある。線分の長さは任意に調整することができ、調整すると、平行面体の対応する辺が拡張または縮小されるが、組み合わせ型やタイリング空間の特性は変わらない。限定的なケースとして、3 つ以上の平行な辺のクラスを持つ平行面体の場合、これらのクラスのいずれか 1 つの長さを 0 に調整して、平行辺のクラスが 1 つ少ない、より単純な形の別の平行面体を生成することができる。^{[1]すべてのゾノヘドロンと同様に、すべての平行面体には}中心反転対称性があるが^[2]、生成線分を適切に選択することで、追加の対称性も可能である。^[3]

平行面体には5つの種類がある: ^[2]

• 平行六面体は、共通平面に平行ではない3本の線分から生成される。最も対称的な形状は、3本の垂直な単位長さの線分から生成される立方体である。 ^{[2]立方体は空間を敷き詰めて}立方体ハニカムを形成する。
• 六角柱は4つの線分から生成され、そのうち3つは共通平面に平行で、4つ目は平行ではない。最も対称的な形は、正六角形上の直角柱である。^[2]空間をタイル状に敷き詰めると、六角柱のハニカムが形成される。
• 菱形十二面体は、4つの線分から生成され、そのうちの2つは共通平面に平行ではありません。最も対称的な形は、立方体の4つ​​の長い対角線によって生成されます。^[2]空間をタイル状に敷き詰めると、菱形十二面体のハニカムが形成されます。
• 細長い十二面体は、5つの線分と、共平面の線分の3つ2つから生成されます。立方体の辺と4つの長い対角線を生成元として使用して生成できます。^[2]空間をタイル張りして、細長い十二面体のハニカムを形成します。
• 切頂八面体は、6本の線分と4つの共平面線分から成る。これは4次元空間に4順列面体として埋め込むことができ、その頂点はすべて数え上げ数（1,2,3,4）の順列である。3次元空間では、最も対称的な形は立方体の面の対角線に平行な6本の線分から生成される。^{[2]これは空間をタイル状に敷き詰め、} 2切頂立方ハニカムを形成する。

これらの 5 つの形状のいずれかと同じ組み合わせ構造を持つ面を持つゾノヘドロンは、その特定の角度や辺の長さに関係なく、平行面体です。たとえば、平行面体の任意のアフィン変換により、同じタイプの別の平行面体が生成されます。^[2] Senechal と Taylor (2023) は、ゾノヘドロンの「ベルト」を、1 つの辺の平行コピーをすべて含む面のサイクルであると定義しています。ベルト内の面の数は偶数でなければなりません。Federov や他の多くの人が示したように、平行面体は、ベルトがすべて 4 つまたは 6 つの面で構成されるゾノヘドロとまったく同じです。^[4]

対称群に従ってさらに細分化すると、平行面体には22の形態がある。各形態において、そのハニカム内のコピーの中心は、14のブラヴェ格子のいずれかの点を形成する。ブラヴェ格子は平行面体の対称形態よりも少ないため、特定の平行面体のペアは同じブラヴェ格子にマッピングされる。^[3]

平行面体の各生成線分の一方の端点を 3 次元空間の原点に配置することにより、生成元を、反対側の端点の位置である 3 次元ベクトルとして表すことができます。この線分の配置では、平行面体の 1 つの頂点自体が原点にあり、残りはこれらのベクトルの特定のサブセットの合計によって指定された位置にあります。ベクトルを持つ平行面体は、このようにして各ベクトルに対して 3 つの座標でパラメーター化できますが、これらの組み合わせのうち有効なのは一部だけです (特定の線分の 3 つが平行平面にある、または同等に特定のベクトルの 3 つが同一平面にあるという要件のため)。また、異なる組み合わせでは、回転、スケーリング変換、またはより一般的にはアフィン変換によってのみ異なる平行面体が生成される可能性があります。アフィン変換を除外すると、平行六面体の形状を記述する自由パラメータの数は、平行六面体の場合は0（すべての平行六面体はアフィン変換の下では互いに等価である）、六角柱の場合は2、菱形十二面体の場合は3、細長い十二面体の場合は4、切頂八面体の場合は5となる。^[5]${\displaystyle g}$${\displaystyle 3g}$

平行面体を5つのタイプに分類したのは、ロシアの結晶学者エフグラフ・フェドロフが1885年に初めて出版したロシア語の本の第13章で、その題名は『図形理論入門』として英訳されている。^{[6]フェドロフは}結晶構造に関する誤った理論に基づいて研究していた。それによれば、すべての結晶は平行面体の形の繰り返し構造を持ち、平行面体は1つ以上の同じ形（立体面体）をとる分子から形成されるという。この理論は、1913年に岩塩（食塩）が別々の分子に分割されていない構造であることが発見されたことで誤りであることが証明され、さらにその後の準結晶の発見によってさらに強力に誤りであることが証明された。^[4]

フェドロフの本の数学の一部には誤りがある。例えば、平面上のあらゆる単面体のタイリングは最終的には周期的であるという補題の誤った証明が含まれているが、^{[7]これは2023年に}アインシュタインの問題の解決の一部として誤りであることが証明された。^[8]平行面体の場合、フェドロフは証明なしにあらゆる平行面体が中心対称であると仮定し、この仮定を使用して分類を証明した。平行面体の分類は後にヘルマン・ミンコフスキーによってより確固たる基盤に置かれ、ミンコフスキーは与えられた面法線と面積を持つ多面体の一意性定理を使用して平行面体が中心対称であることを証明した。^[2]

2次元において、平行面体と類似の図形は平行四辺形であり、平行移動によって平面を端から端まで敷き詰めることができる多角形である。平行四辺形には、各対辺が平行で長さが等しい平行四辺形と六角形の2種類がある。 ^[9]

5 つのフェデロフ平行面体以外にも、平行移動によって空間を敷き詰める非凸多面体が複数存在する。これらはゾノヘドラではなく、中心対称である必要はない。たとえば、これらのいくつかは、菱形三十面体の特定の 3 つの面をくぼみに置き換えることで得られる。ブランコ・グリュンバウムの予想によれば、位相的に球体であり、平行移動によって空間を敷き詰めることができるすべての多面体について、その面をパッチ (面の連結されたサブセットの和集合) にグループ化することができ、これらのパッチの組み合わせ構造は、5 つのフェデロフ平行面体の 1 つの面の組み合わせ構造と同じになる。この予想は未証明のままである。^[4]

高次元では、平行移動によって空間を敷き詰める凸多面体は平行六面体と呼ばれる。4 次元平行六面体は 52 種類あり、最初にボリス・ドローネによって列挙された（1 つの平行六面体は欠落しており、後にミハイル・シュトーグリンによって発見された）^[10]。5次元では 100,000 種類以上ある。^{[11] [12]} 3 次元の場合とは異なり、すべてがゾノトープというわけではない。4 次元平行六面体のうち 17 種類はゾノトープであり、1 種類は通常の24 セルで、残りの 34 種類は24 セルを含むゾノトープのミンコフスキー和である。 ^[13]次元平行六面体は最大で 個の面を持つことができ、この最大値はパームトヘドロンによって達成される。 ^[1]${\displaystyle d}$${\displaystyle 2^{d+1}-2}$

プレシオヘドロン（ plesiohedron ）は、周期的な点の集合のボロノイ図から形成される、3次元空間充填多面体のより広いクラスである。 ^[9]ボリス・ドローネが1929年に証明したように、 ^[14]すべての平行面体はアフィン変換によってプレシオヘドロンにすることができるが、^[2]これは高次元では未解決のままであり、^[1] 3次元では平行面体ではない他のプレシオヘドロンも存在する。プレシオヘドロンによる空間のタイリングには、任意のセルを他の任意のセルに移動させる対称性があるが、平行面体とは異なり、これらの対称性には並進だけでなく回転も含まれる可能性がある。^[9]

• Weisstein、Eric W.「一次平行面体」。MathWorld。