理想なし

数学、より具体的には環論において、環の左イデアル、右イデアル、または両側イデアルは、その各要素が冪零である場合に零イデアルと呼ばれる。^{[1] [2]}

可換環の零基数は零イデアルの一例である。実際、零であるという性質に関する環極大のイデアルである。残念ながら、零零元の集合は非可換環のイデアルを常に形成するわけではない。零イデアルは、特に未解決のケーテ予想など、依然として興味深い未解決問題と関連している。

可換環では、非可換環よりも零イデアルの理解が深まります。主な理由は、可換環では、冪零元を含む積と冪零元の和は両方とも冪零であるためです。これは、aとb がRの冪零元で、a ⁿ = 0、b ^m = 0 であり、r がRの任意の元である場合、( a · r ) ⁿ = a ⁿ · r ⁿ = 0 となり、二項定理により、( a + b ) ^{m + n} = 0 となるためです。したがって、すべての冪零元の集合は、環の零根基と呼ばれるイデアルを形成します。零根基にはすべての冪零元が含まれるため、可換環のイデアルが零となるのは、それが零根基の部分集合である場合のみであり、したがって零根基は零イデアルの中で最大です。さらに、可換環Rの任意の冪零元aに対して、イデアルaRは nil です。ただし、非可換環の場合、aが冪零であっても、冪零元の集合がイデアルを形成することや、 a  · Rが nil (片側) イデアルであることは一般には当てはまりません。

零イデアルの理論は非可換環論において非常に重要である。特に、零環（すべての元が冪零である環）を理解することで、より一般的な環をより深く理解することができる。^[3]

可換環の場合、常に最大零イデアル、すなわち環の零基数が存在する。非可換環の場合のそのような最大零イデアルの存在は、零イデアルの和が再び零であるという事実によって保証される。しかし、2つの左零イデアルの和が再び左零イデアルであるという主張の真偽は依然として不明であり、ケーテ予想として知られる未解決問題である。^[4]ケーテ予想は1930年に初めて提起され、2023年現在も未解決のままである。

零イデアルの概念は冪零イデアルの概念と深い関係があり、環のいくつかのクラスでは 2 つの概念が一致する。イデアルが冪零であれば、もちろん零である。零イデアルが冪零となるための主な障壁は 2 つある。

1. 要素を消滅させるために必要な指数に上限がある必要はありません。任意の高い指数が必要になる場合があります。
2. n個のべき零元の積は、任意の大きなnに対してゼロ以外になる場合があります。

明らかに、零理想が零零とみなされるためには、これら両方の障壁を回避する必要があります。

右アルティン環では、任意の零イデアルは冪零である。^[5]これは、任意の零イデアルが環のヤコブソン根基に含まれることを観察することによって証明され、ヤコブソン根基は冪零イデアルであるため（アルティン仮説による）、結果は従う。実際、これは右ネーター環に一般化されており、その結果はレビツキーの定理として知られている。Utumiによる特に簡単な証明は（Herstein 1968、定理1.4.5、p. 37）にあります。

• ケーテ予想
• 零位理想
• ニルラディカル
• ジェイコブソンラジカル

• ハースタイン、IN (1968)、非可換環（第1版）、アメリカ数学協会、ISBN 0-88385-015-X
• アイザックス、I. マーティン (1993)、代数学、大学院課程(第 1 版)、ブルックス/コール出版、ISBN 0-534-19002-2
• Smoktunowicz, Agata (2006)、「非可換環理論におけるいくつかの結果」(PDF)、国際数学者会議、第 2 巻、チューリッヒ:ヨーロッパ数学会、pp.  259– 269、ISBN 978-3-03719-022-7, MR  2275597 , 2009-08-19取得