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離散幾何学と組合せ幾何学は、離散的な幾何学的対象の組み合わせ的性質と構成方法を研究する幾何学の一分野です。離散幾何学における問題のほとんどは、点、線、平面、円、球、多角形など、有限または離散的な基本幾何学的対象の集合に関係します。この分野では、これらの対象の組み合わせ的性質、例えば、それらが互いにどのように交差するか、あるいはどのように配置してより大きな対象を覆うことができるかといった点に焦点を当てます。
離散幾何学は凸幾何学や計算幾何学と大きく重なり合っており、有限幾何学、組合せ最適化、デジタル幾何学、離散微分幾何学、幾何学的グラフ理論、トーリック幾何学、組合せトポロジーなどの分野と密接に関連している。
多面体とテセレーションは、ケプラーやコーシーといった人々によって長年研究されてきましたが、現代の離散幾何学は19世紀後半にその起源を持ちます。初期に研究されたテーマとしては、トゥーによる円充填の密度、レイとシュタイニッツによる射影配置、ミンコフスキーによる数の幾何学、テイト、ヒーウッド、ハドウィガーによる地図彩色などがあります。
László Fejes Tóth、HSM Coxeter、Paul Erdősは離散幾何学の基礎を築きました。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]
多面体とは、平面を持つ幾何学的オブジェクトであり、任意の次元数で存在します。2次元では多角形が多面体、3次元では多面体、そしてより高次元では多面体（例えば4次元では4次元多面体）となります。一部の理論では、この概念をさらに一般化し、非有界多面体（アペイロトープやテセレーション）や抽象多面体といったオブジェクトも包含しています。
離散幾何学において研究される多面体の側面には、以下のようなものがある。
パッキング、カバーリング、タイリングはすべて、均一な物体（通常は円、球、またはタイル）を表面または多様体上に規則的に配置する方法です。
球体充填とは、包含空間内に重なり合わない球体を配置することです。通常、考慮される球体はすべて同じ大きさであり、空間は通常3次元ユークリッド空間です。しかし、球体充填問題は、大きさが異なる球体、 n次元ユークリッド空間（この場合、問題は2次元の円充填、またはより高次元の超球体充填になります）、あるいは双曲空間などの非ユークリッド空間を考慮するように一般化できます。
平面のテセレーションとは、タイルと呼ばれる1つまたは複数の幾何学的形状を用いて、重なりや隙間なく平面を敷き詰めることを指します。数学においては、テセレーションはより高次元に一般化することができます。
この分野における具体的なトピックは以下のとおりです。
構造剛性とは、柔軟な連結部やヒンジで接続された剛体によって形成される集合体の柔軟性を予測するための組み合わせ理論である。
この分野のトピックには以下が含まれます。
連結構造は、公理的な定義からもわかるように、平面（アフィン平面、射影平面、メビウス平面など）を一般化したものです。連結構造は、より高次元の類似構造も一般化しており、有限構造は有限幾何学と呼ばれることもあります。
正式には、インシデンス構造は三重構造である。
ここで、Pは「点」の集合、Lは「線」の集合であり、は発生関係です。これらは旗と呼ばれます。
点pは直線上にあると言う。
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有向マトロイドは、有向グラフと順序付き体上のベクトル空間におけるベクトルの配置（特に半順序付きベクトル空間の場合）の特性を抽象化した数学的構造である。 [ 4 ]それに対し、通常の（つまり、無向の）マトロイドは、必ずしも有向ではないグラフと、必ずしも順序付けられていない体上のベクトルの配置の両方に共通する依存性特性を抽象化する。[ 5 ] [ 6 ]
幾何学的グラフとは、頂点または辺が幾何学的オブジェクトに関連付けられたグラフのことです。例としては、ユークリッドグラフ、多面体または多面体の1次元骨格、単位円盤グラフ、可視性グラフなどがあります。
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単体複体は、点、線分、三角形、およびそれらのn次元対応物を「貼り合わせる」ことによって構築される、ある種の位相空間です（図を参照）。単体複体は、現代の単体ホモトピー理論に現れる、より抽象的な単体集合の概念と混同してはなりません。単体複体の純粋に組み合わせ論的な対応物は、抽象単体複体です。ランダム幾何複体も参照してください。
組合せトポロジーという学問分野は、トポロジーに組合せ論的な概念を取り入れており、20世紀初頭にはこれが代数トポロジーという分野へと発展した。
1978年、状況は一転し、代数トポロジーの手法が組み合わせ論の問題解決に用いられるようになった。ラースロー・ロヴァースがクネーザー予想を証明し、位相的組み合わせ論という新たな研究分野が幕を開けたのである。ロヴァースの証明にはボルスク＝ウラムの定理が用いられ、この定理はこの新しい分野において重要な役割を担っている。この定理には多くの同値なバージョンや類似の定理が存在し、公平な分割問題の研究にも用いられてきた。
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離散群とは、離散位相を備えた群Gのことである。この位相により、Gは位相群となる。位相群Gの離散部分群とは、相対位相が離散位相である部分群Hのことである。例えば、整数Zは実数Rの離散部分群を形成する（標準的な距離位相を持つ）が、有理数Qは形成しない。
局所コンパクト位相群における格子とは、商空間が有限不変測度を持つという性質を持つ離散部分群のことである。 R nの部分群の特殊な場合、これは通常の幾何学的格子の概念に相当し、格子の代数的構造とすべての格子の全体の幾何学は比較的よく理解されている。 1950 年代から 1970 年代にかけてBorel、Harish-Chandra、Mostow、Tamagawa、MS Raghunathan、Margulis、Zimmer らが得た深い研究成果は、冪零リー群や局所体上の半単純代数群の設定に多くの例を示し、理論を一般化した。 1990 年代にはBassとLubotzky が木格子の研究を開始し、これは現在も活発な研究分野となっている。
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デジタル幾何学は、2Dまたは3Dユークリッド空間のオブジェクトのデジタル化されたモデルまたは画像とみなされる離散集合（通常は離散点集合）を扱います。
簡単に言えば、デジタル化とは、物体をその物体を構成する点の集合に置き換えることです。テレビ画面やコンピュータのラスター画像、新聞などで目にする画像は、実際にはデジタル画像です。
主な応用分野はコンピュータグラフィックスと画像解析である。[ 7 ]
離散微分幾何学は、微分幾何学における概念の離散的な対応物を研究する分野である。滑らかな曲線や曲面の代わりに、多角形、メッシュ、単体複体などが用いられる。コンピュータグラフィックスや位相的組み合わせ論の研究に利用されている。
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