ダンザーセット

幾何学において、ダンツァー集合とは単位体積の凸体すべてに接する点の集合である。ルートヴィヒ・ダンツァーは、そのような集合が有限の密度を持つことが可能かどうかを問うた。^{[1] [2]}この問題にはいくつかのバリエーションがあり、未解決のままである。^[3]

n次元ユークリッド空間におけるダンザー集合は、 n次元の体積が 1 であるすべての凸体と空でない交差を持つ空間内の点の集合である。空間全体はそれ自体がダンザー集合であるが、ダンザー集合は任意の境界領域内に有限個の点のみを持つ離散集合であることが可能である。 ^[4]ダンザーの問いは、より強く、単位面積あたりの点の平均数が境界付けられるかどうかを問うものであった。^[1]

この問題をより正式に定義する方法の 1 つは、次元ユークリッド空間における集合の成長率を考えることです。成長率は、実数を原点からの距離内にある の点の数にマッピングする関数として定義されます。Danzer の疑問は、Danzer 集合がビッグ O 表記法で表された成長率を持つことが可能かどうかです。もし可能であれば、これは整数格子(Danzer 集合ではない)のような十分に間隔が空いた点集合の成長率に等しくなります。^[1]${\displaystyle S}$${\displaystyle d}$${\displaystyle r}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r}$${\displaystyle O(r^{d})}$

同等の定式化は、次のように定義される集合 の密度を伴う。 ここで、 は原点を中心とする次元ユークリッド空間における半径 のユークリッド球を表し、 はその体積 を表す。ダンザーの問いは、有限密度のダンザー集合が存在するかどうか、あるいは、有限密度のすべての集合に、それと交わらない任意の高体積の凸集合があるかどうかを問うものである。^[3]${\displaystyle S}$$${\displaystyle \limsup _{r\to \infty }{\frac {|S\cap B_{d}(r)|}{V_{d}(r)}},}$$${\displaystyle B_{d}(r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle d}$${\displaystyle V_{d}(r)}$

任意の単位体積の凸集合と交差する境界密度集合を求める代わりに、単位体積のすべての楕円体、または単位体積のすべての超長方形と交差する境界密度集合を求めるのと同等である。たとえば、平面では、これらの交差集合の形状は楕円または長方形に制限される可能性がある。ただし、これらの形状は必ずしも側面または軸が座標軸と平行である必要はない。^[3]

成長率が の${\displaystyle O(r^{d})}$多重対数係数以内である Danzer 集合を構成することは可能です。たとえば、セルの体積は一定だがアスペクト比が異なる長方形グリッドを重ねると、成長率を${\displaystyle O(n^{d}\log ^{d-1}n)}$達成できます。^[5] Danzer 集合の構成は、成長率がやや遅い であることが知られています。[ ^{3] [4]}この構成は、エルゴード理論におけるMarina Ratnerの深い結果( Ratner の定理)に基づいています。 ^[4]重ね合わせたグリッドと改良された構成の両方の成長率が よりも速いため、これらの集合は有界密度を持たず、Danzer の質問に対する答えは不明のままです。^{[3] [4]}${\displaystyle O(r^{d}\log r)}$${\displaystyle O(r^{d})}$

密度が限定されたダンツァー集合の存在は未解決のままであるが、密度以外の方法でダンツァー集合となり得る点集合のクラスを制限することは可能であり、ダンツァーの問いに対するある種の解決法を排除することができる。特に、ダンツァー集合は有限個の格子の和集合にはならず、 [ ^5]置換タイリングの各タイルの点を選択することによって生成できず（同じタイプの各タイルに対して同じ位置）、非周期タイリングを構築するためのカットアンドプロジェクション法によって生成することもできない。したがって、風車タイリングとペンローズタイリングの頂点はダンツァー集合ではない。^[4]

ティモシー・ガワーズによって提起されたこの問題の強化版は、単位体積の任意の凸体と との交点の数に有限の上限があるダンツァー集合が存在するかどうかを問うものである。 ^[6]このバージョンは解決されており、この性質を持つダンツァー集合は存在することが不可能である。^[7]${\displaystyle S}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S}$

この問題のもう一つの強化されたバリエーションで、まだ解決されていないのが、コンウェイの死んだハエ問題である。ジョン・ホートン・コンウェイは、子供の頃、花柄の壁紙が死んだハエの列に似ている部屋で寝たこと、そして死んだハエがいない凸領域を見つけようとしたことを思い出した。^[8] コンウェイの定式化では、問題は、集合の点（死んだハエ）が互いに制限された距離で離れているダンザー集合が存在するかどうかである。そのような集合は必然的に、平面の各点から死んだハエまでの距離に上限も持つ（単位面積のすべての円に触れるため）、したがって、点の間隔に下限と上限の両方を持つデローネ集合を形成する。また、必然的に成長率を持つため、${\displaystyle O(r^{d})}$それが存在すれば、ダンザー問題の元のバージョンも解決されることになる。コンウェイは、彼の問題の解決に1000ドルの賞金を出すと発表しました。^{[8] [9]}この問題には、コンウェイの99グラフ問題、銀貨の分析、およびトラックル予想も含まれていました。^[9]

• ハイルブロンの三角形問題、小さな面積の三角形を形成しない点の集合について
• ミンコフスキーの定理、原点を中心に対称な単位体積の閉凸体は半整数格子の非ゼロ点を含む