シーゲルゼロ

数学、より具体的には解析的整数論の分野において、ランダウ・ジーゲル零点（ランダウ・ジーゲル零点、または単にジーゲル零点、例外零点^[1]とも呼ばれる）は、エドモンド・ランダウとカール・ルートヴィヒ・ジーゲルにちなんで名付けられ、二次数体に関連付けられたディリクレL関数の零点に関する、一般化リーマン予想に対する潜在的な反例の一種である。大まかに言えば、これらは（定量化可能な意味で）に非常に近い可能性のある零点である。（「シーゲル」の発音はZの音で始まる。） ${\displaystyle s=1}$

ディリクレ L 関数の理論において、ジーゲル零点は、古典的な零点のない領域に対する潜在的な例外として現れる。これは、L 関数が実ディリクレ キャラクターに関連付けられている場合にのみ発生する可能性がある。

整数q ≥ 1に対して、q を法とするディリクレ指標は次の性質を満たす 算術関数である。 ${\textstyle \chi \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {C} }$

• （完全に乗法である）すべてのm、nについて；${\textstyle \chi (mn)=\chi (m)\chi (n)}$
• （周期的）すべてのnについて;${\textstyle \chi (n+q)=\chi (n)}$
• (サポート) の場合に限ります。${\textstyle \chi (n)=0}$${\displaystyle \mathrm {gcd} (n,q)>1}$

つまり、χ は準同型 を持ち上げることです。 ${\textstyle {\widetilde {\chi }}:(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$

自明な指標は 1 を法とする指標であり、 で示されるqを法とする主指標は、自明な準同型 を持ち上げたものである。 ${\textstyle \chi _{0}~(\mathrm {mod} ~q)}$${\textstyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\ni a\mapsto 1\in \mathbb {C} ^{*}}$

次のような誘導準同型因子 となる整数が存在するとき、その指標は原始的ではないという。${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$${\textstyle d\neq q}$${\textstyle d\mid q}$${\textstyle {\widetilde {\chi }}\colon (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\twoheadrightarrow (\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} )^{\times }\xrightarrow {\widetilde {\chi '}} \mathbb {C} ^{*}}$

一部の文字の場合は、それ以外の場合はプリミティブと呼ばれます。 ${\textstyle \chi '~(\mathrm {mod} ~{d})}$${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$

指標が実数（または二次）であるとは、その複素共役（ として定義）に等しい場合、または の場合と同義である。実数原始ディリクレ指標は、基本判別式（すなわち、二次数体の判別式）のクロネッカー記号と一対一に対応している。^{[2] を（} p が素数の場合）によって決定される完全乗法算術関数として定義する 1 つの方法は、次のとおりです。 ${\textstyle \chi }$ ${\displaystyle {\overline {\chi}}}$${\displaystyle {\overline {\chi}}(n):={\overline {\chi (n)}}}$${\textstyle \chi ^{2}=\chi _{0}}$ ${\textstyle (D|\,\cdot \,):\mathbb {Z} \to \{-1,0,1\}}$${\textstyle D\in \mathbb {Z} }$${\textstyle (D|\,\cdot \,)}$

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {D}{p}}{\bigg )}={\begin{cases}1,&(p){\text{ }}\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}),\\-1,&(p){\text{ 不活性 }}\cdots ,\\0,&(p){\text{ }}\cdots ,\end{cases}}\quad {\bigg (}{\frac {D}{-1}}{\bigg )}={\text{ }}D の符号。}$

したがって、 を法とする実数プリミティブ文字である と書くことが一般的です。 ${\textstyle \chi _{D}:=(D|\,\cdot \,)}$${\textstyle |D|}$

指標に関連付けられたディリクレの L 関数は、に対して定義されるディリクレ級数の解析接続として定義されます。ここで、は複素変数です。が主でない場合、この接続は完全です。それ以外の場合は、 s = 1で留数の単純な極を唯一の特異点として持ちます。 の場合、ディリクレの L 関数はオイラー積に展開でき、ここからこの領域に零点がないことがわかります。等差数列の素数定理は、(ある意味で) ( ) と同等です。さらに、関数方程式を介して、これらの領域を を通して反映して、 χと同じ偶奇の負の整数を除いて、^[3]の他のすべての零点はの内側にある必要があると結論付けることができます。この領域は臨界ストリップと呼ばれ、この領域内の零点は非自明な零点と呼ばれます。 ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ ${\textstyle L(s,\chi )=\sum _{n\geq 1}\chi (n)n^{-s}}$${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$${\displaystyle \chi}$ ${\textstyle \prod _{p\mid q}(1-p^{-1})}$${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$ ${\textstyle L(s,\chi )=\prod _{p}(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}}$${\textstyle L(s,\chi )}$${\textstyle L(1+it,\chi )\neq 0}$${\textstyle \forall t\in \mathbb {R} }$${\textstyle s\mapsto 1-s}$${\textstyle L(s,\chi )}$${\displaystyle \{0<\mathrm {Re} (s)<1\}}$

零点のない領域に関する古典的な定理（グロンウォール、^[4]ランダウ、^[5]ティッチマーシュ^[6] ）は、複素変数について書くと、関数が領域内に零点を持たないような、 実質的に計算可能な実数が存在することを述べている。${\textstyle A>0}$${\displaystyle s=\sigma +it}$${\textstyle L(s,\chi )}$

${\displaystyle \sigma >1-{\frac {A}{(\log q(|t|+2))}}}$

が非実数の場合。が実数の場合、この領域には零点が最大で 1 つ存在し、それは必ず実数かつ単純でなければなりません。この零点の可能なものは、いわゆるジーゲル零点です。 ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$${\textstyle \chi }$

一般化リーマン予想(GRH) は、任意の に対して、 のすべての非自明な零点は直線 上にあると主張します。 ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$${\textstyle L(s,\chi )}$${\textstyle \mathrm {Re} (s)={\frac {1}{2}}}$

数学における未解決の問題:

与えられたすべての基本判別式Dに対して が存在するか?${\textstyle \delta >0}$${\textstyle L(\sigma ,\chi _{D})\neq 0}$${\textstyle 1-{\frac {\delta }{\log |D|}}<\sigma <1}$

（数学における未解決の問題がさらに増える）

提示されたシーゲル零点の定義は、零点のない領域における定数Aと結びついています。多くの場合、定数Aの特定の値はあまり問題にならないため、これらのオブジェクトを扱うのはしばしば困難です。^{[1]したがって、通常は、次のような、そのような零点の}無限族の存在を主張または否定する、より明確なステートメントを使用します。

• 予想（「シーゲル零点は存在しない」）：が の最大の実零点を表す場合${\textstyle \beta _{D}}$、${\textstyle L(s,\chi _{D})}$${\displaystyle 1-\beta _{D}\gg {\frac {1}{\log |D|}}.}$

シーゲル零点の存在または非存在の可能性は、密接に関連する数論の主題に大きな影響を与えており、「シーゲル零点なし」の予想は、GRH の弱い（ただし強力で、時には十分に十分な）代替として機能します（シーゲル-立沢の定理とイドネアル数問題を含む例については以下を参照）。ゼロを明示的に参照しない「シーゲル零点なし」の同等の定式化は、次のステートメントです。

${\displaystyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=O(\log |D|).}$

この等価性は、例えば零点のない領域と、ある高さまでの非自明な零点の数の古典的な推定値を使用することによって推論することができる。^[7]${\textstyle L(s,\chi )}$

これらの零点を扱う最初のブレークスルーはランダウによるもので、彼は異なるモジュライの任意のおよび実数原始指標に対して、それぞれが実零点である場合、 ${\displaystyle B>0}$${\textstyle \chi _{D}}$${\textstyle \chi _{D'}}$${\textstyle \beta ,\beta '}$${\textstyle L(s,\chi _{D}),L(s,\chi _{D'})}$

${\displaystyle \min\{\beta ,\beta '\}<1-{\frac {B}{\log |DD'|}}.}$

これは、シーゲル零点が存在する場合、その数が多すぎることはないということを意味しています。これは、「ねじれ」の議論によって証明され、問題を双二次体のデデキントゼータ関数にまで引き上げます。この手法は、現代の研究でも広く適用されています。 ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}},{\sqrt {D'}})}$

この「反発効果」（デューリング・ハイルブロン現象を参照）は、より慎重な分析の後、ランダウを1936年の定理^[8]へと導きました。これは、任意の に対して、 が存在し、 がの実数零点である場合、 となるというものです。しかし、同年、同じ雑誌の同じ号で、シーゲル^[9]はこの推定値を直接改良し、 ${\textstyle \varepsilon >0}$${\textstyle C(\varepsilon )\in \mathbb {R} _{+}}$${\textstyle \beta }$${\textstyle L(s,\chi _{D})}$${\textstyle \beta <1-C(\varepsilon )|D|^{-{\frac {3}{8}}-\varepsilon }}$

${\displaystyle \beta <1-C(\varepsilon )|D|^{-\varepsilon }.}$

ランダウとシーゲルの証明は両方とも を計算する明示的な方法を提供していないため、無効な結果の例となります。 ${\textstyle C(\varepsilon )\in \mathbb {R} _{+}}$

1951年、立沢智雄はシーゲルの定理の「ほぼ」有効なバージョンを証明し、^[10]任意 の固定された に対して、${\textstyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{11.2}}}$${\textstyle |D|>e^{1/\varepsilon }}$

${\displaystyle L(1,\chi _{D})>0.655\varepsilon |D|^{-\varepsilon },}$

ただし、最大で1つの基本判別式が例外となる可能性がある。この結果の「ほぼ有効性」を利用して、PJ Weinberger (1973) ^{[11] は、オイラーの65個の}イドネアル数のリストは最大で2つの要素を除いて完全であることを示した。^[12]

ゼロのない領域を推定する議論では、シーゲル零点は単なる人為的な問題以上のものとしてしばしば登場する。ゼロのない領域の推定は、二次体の算術と深い関係があるからだ。例えば、この恒等式は、二次の相互性の解析的定式化として解釈できる（アルティンの相互性法則 §L関数による記述を参照）。s = 1付近のゼロの分布と算術の正確な関係は、ディリクレの類数公式から得られる。 ${\textstyle \zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}(s)=\zeta (s)L(s,\chi _{D})}$

${\displaystyle L(1,\chi _{D})={\begin{cases}{\dfrac {2\pi }{w_{D}{\sqrt {|D|}}}}\,h(D),&{\text{if }}D<0\\[.5em]{\dfrac {\log \varepsilon _{D}}{\sqrt {D}}}\,h(D),&{\text{if }}D>0,\end{cases}}}$

どこ：

• ${\textstyle h(D)}$は の理想的なクラス番号です。${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$
• ${\textstyle w_{D}}$は（D < 0 ）における1の根の数である。${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$
• ${\textstyle \varepsilon _{D}}$は（D > 0 ）の基本単位である。${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

このようにして、 の最大の実数零点の推定値は の推定値に変換することができ（例えば、 に対してであるという事実を介して）、^[13]これは今度は の推定値になります。この分野の古典的な研究では、これら3つの量は基本的に同じものとして扱われていますが、 D > 0の場合は基本単位に関連する追加の複雑さが生じます。 ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$${\textstyle L(1,\chi _{D})}$${\textstyle |L'(\sigma ,\chi )|=O(\log ^{2}q)}$${\textstyle 1-{\frac {1}{\log q}}\leq \sigma \leq 1}$${\textstyle h(D)}$

一般にシーゲル零点の現象に関連する困難は、完全に二次拡大に限定されているという見方もある。例えば、アーベル数体のデデキントゼータ関数はディリクレL関数の積として表すことができるというのは、クロネッカー・ウェーバーの定理の結果である。 ^[14]したがって、がシーゲル零点を持つ場合、がシーゲル零点を持つ ようなサブフィールドが存在する必要がある。 ${\textstyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathfrak {O}}_{K}}[{\mathfrak {O}}_{K}:I]^{-s}}$ ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$${\textstyle \zeta _{K}(s)}$${\textstyle F\subseteq K}$${\textstyle [F:\mathbb {Q} ]=2}$${\textstyle \zeta _{F}(s)}$

非可換の場合、 はより複雑なArtin L 関数にのみ因数分解できますが、同じことが当てはまります。 ${\textstyle \zeta _{K}(s)}$

• 定理（スターク、1974年）。^[15]をn > 1の次数体とする。定数（が正規分布の場合は定数、そうでない場合は定数）が存在し、その範囲に実数が存在する場合、${\textstyle K/\mathbb {Q} }$${\textstyle c(n)}$${\textstyle =4}$${\textstyle K/\mathbb {Q} }$${\textstyle =4n!}$${\textstyle \beta }$

$1-{\frac {c(n)}{\log |\Delta _{K}|}}\leq \beta <1$

のとき、となる二次部分体が存在する。ここで、は拡大 の体判別式である。${\textstyle \zeta _{K}(\beta )=0}$${\textstyle F\subseteq K}$${\textstyle \zeta _{F}(\beta )=0}$${\textstyle \Delta _{K}}$${\textstyle K/\mathbb {Q} }$

2 次体を扱う場合、基本単位の振る舞いにより、ケースはわかりにくい傾向があります。したがって、ケースとケースを別々に扱うのが一般的です。負の判別式の場合については、さらに多くのことが分かっています。 ${\textstyle D>0}$${\textstyle D<0}$${\textstyle D>0}$

1918年、エーリッヒ・ヘッケは、に対して「シーゲル零点がない」ということは、^[5]を意味することを示した（比較のためにクラス数問題を参照）。これは、グランビル・スターク（2000）の定理3の帰結であるため、同値に拡張できる。^[16]${\textstyle D<0}$${\textstyle h(D)\gg {\sqrt {|D|}}(\log |D|)^{-1}}$

${\displaystyle {\text{“No Siegel zeros” for }}D<0\quad \iff \quad h(D)\gg {\frac {\sqrt {|D|}}{\log |D|}}\sum _{(a,b,c)}{\frac {1}{a}},}$

ここで、和は判別式の簡約された2進 二次形式 にわたって実行されます。これを使用して、グランビルとスタークは、数体に対するabc予想の特定の均一な定式化により、負の判別式に対して「シーゲル零点がない」ことが示されることを示しました。 ${\textstyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$${\textstyle D}$

1976年にドリアン・ゴールドフェルド^[17]は、の無条件有効下限値を証明した。 ${\textstyle h(D)}$

${\displaystyle h(D)\gg \prod _{p\mid D}{\bigg (}1-{\frac {2{\sqrt {p}}}{p+1}}{\bigg )}\,\log |D|.}$

に対する「シーゲル零点がない」ことの別の同値性は、特異モジュライの高さの上限によって与えることができる。 ${\textstyle D<0}$

${\displaystyle h(j(\tau _{D}))\ll \log |D|,}$

どこ：

• ${\textstyle h}$数体に対する絶対対数ナイーブ高さです。
• ${\textstyle j}$はj不変関数です。
• ${\textstyle \tau _{D}:=(D+{\sqrt {D}})/2}$。

数はのヒルベルト類体を生成するが、これはその最大非分岐アーベル拡大である。^{[18]この同値性は、Granville–Stark (2000)、 [16]}の結果の直接的な帰結であり、C. Táfula (2019) にも見られる。^[19]${\textstyle j(\tau _{D})}$${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

L関数の高さと値の間の正確な関係はピエール・コルメズ（1993、^[20] 1998 ^[21] ）によって得られ、彼は、による複素乗算を伴う楕円曲線に対して、 ${\textstyle E_{D}/\mathbb {C} }$${\textstyle \mathbb {Z} [\tau _{D}]}$

${\displaystyle -2h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})-{\frac {1}{2}}\log |D|={\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})+\log 2\pi ,}$

ここで、はファルティングスの高さを表します。^[22]恒等式^[23]および^[24]を使用すると、コルメズの定理は上記の同値性の証明も提供します。 ${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }}$${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})={\frac {1}{12}}h(j(\tau _{D}))+O(\log h(j(\tau _{D})))}$${\textstyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=-{\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})-\log |D|+\log 2\pi +\gamma }$

一般化リーマン予想は正しいと期待されているが、「シーゲル零点がない」という予想は未解決のままであるため、一般化リーマン予想に対するこのような厳しい反例がどのような結果を意味するのかを研究することは興味深い。この可能性を研究するもう 1 つの理由は、特定の無条件定理の証明では、2 つのケースに分割する必要があることです。最初の証明はシーゲル零点が存在しないと仮定し、次にシーゲル零点が存在すると仮定します。このタイプの古典的な定理は、等差数列の最小の素数に関するリンニクの定理です。

以下は、シーゲルゼロの存在から導かれる事実のいくつかの例です。

この方向での印象的な結果は、ロジャー・ヒース・ブラウンの1983年の結果^[25]であり、テレンス・タオ^[26]に従って、次のように述べることができます。

• 定理（ヒース・ブラウン、1983年）。少なくとも次の1つが真である：（1）シーゲル零点は存在しない。（2）双子素数は無限に存在する。

ふるい理論におけるパリティ問題とは、ふるい分けの議論では、一般的に言えば、整数に素因数が偶数か奇数かを判断できないという事実を指します。これにより、線型ふるい^[27]からの推定値のように、ふるい分けの推定値の上限が期待値から2倍ずれることがよくあります。2020年に、グランビル^[28]は、シーゲル零点の存在を前提とすると、ふるい分け区間の問題の一般的な上限が最適であることを示しました。つまり、パリティ現象から生じる余分な2倍の係数は、この方法の人為的な制限にはならないということです。

• 一般化されたリーマン予想
• デューリング・ハイルブロン現象
• クラス番号の問題
• ブラウアー・ジーゲル定理
• シーゲル・ワルフィスの定理

• ダベンポート、H. (1980)。乗法数論。数学の大学院テキスト。第74巻。doi :10.1007/ 978-1-4757-5927-3。ISBN 978-1-4757-5929-7. ISSN  0072-5285.
• Iwaniec, H. (2006)、Friedlander, JB、Heath-Brown, DR、Iwaniec, H.、Kaczorowski, J. (編)、「例外的な性質に関する会話」、解析的数論: 2002 年 7 月 11 日から 18 日までイタリアのチェトラーロで開催された CIME サマー スクールでの講義、数学の講義ノート、第 1891 巻、ベルリン、ハイデルベルク: Springer、pp. 97–132、doi :10.1007/978-3-540-36364-4_3、ISBN 978-3-540-36364-4
• Montgomery, HL ; Vaughan, RC (2006)。乗法数論 I: 古典理論。Cambridge Studies in Advanced Mathematics。ケンブリッジ: Cambridge University Press。ISBN 978-0-521-84903-6。
• ザギール、DB (1981)。 Zetafunktionen undquadratische Körper: Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie。 Hochschultext (ドイツ語)。ベルリン ハイデルベルク: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-10603-6。