ブニャ コフスキー予想 （または ブニアコフスキー予想）は、 整数 係数 を持つ1変数の 多項式 が数列に 無限個の 素数値を与えるため の基準を与える。これは1857年に ロシアの 数学者 ヴィクトル・ブニャコフスキー によって発表された。 望ましい素数生成特性を持つ
ためには、次の3つの条件が必要である 。
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
1
)
,
f
(
2
)
,
f
(
3
)
,
…
.
{\displaystyle f(1),f(2),f(3),\ldots .}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
主係数は 正 で あり 、 多項式は 有理数（および整数）上では 既約であり、 無限に多い値 のすべてに 共通する因数は 存在しません 。(特に、 の係数は 互いに素でなければなりません。値 f(n) が互いに素である必要はありません。)
f
(
1
)
,
f
(
2
)
,
f
(
3
)
,
…
{\displaystyle f(1),f(2),f(3),\ldots }
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
ブニャコフスキーの予想は、次の条件が十分であるというものである： (1)～(3)を満たす場合、 無限個の正の整数に対しては素数である 。
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
n
{\displaystyle n}
ブニャコフスキー予想と同等で、一見弱いと思われる命題は、 (1)–(3) を満たすすべての整数多項式に対して、は 少なくとも 1 つの正の整数に対して 素数である、というものです 。しかし、変換された多項式は 依然として (1)–(3) を満たすので、弱い命題を考慮すると、は 少なくとも 1 つの正の整数に対して素数であり 、したがって は 確かに無限個の正の整数に対して素数です。ブニャコフスキー予想は、数論における最も有名な未解決問題の 1 つである シンツェルの仮説 H の特殊なケースです 。
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
n
{\displaystyle n}
f
(
x
+
n
)
{\displaystyle f(x+n)}
f
(
m
)
{\displaystyle f(m)}
m
>
n
{\displaystyle m>n}
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
n
{\displaystyle n}
3つの条件についての議論 最初の条件が必要なのは、主係数が負の場合、 すべての大きな に対して となり 、したがって は 大きな正の整数 に対して (正の) 素数ではないためです 。(これは単に、素数が正であるという符号規則を満たしているだけです。)
f
(
x
)
<
0
{\displaystyle f(x)<0}
x
{\displaystyle x}
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
n
{\displaystyle n}
2 番目の条件は、 多項式 と が整数係数を持つ場合、 すべての整数 に対して が成り立ちます が 、 と が 0 と の値をとる のは 有限回だけなので、 は すべての大きい に対して合成数であるため必要です 。
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
h
(
x
)
{\displaystyle h(x)}
f
(
n
)
=
g
(
n
)
h
(
n
)
{\displaystyle f(n)=g(n)h(n)}
n
{\displaystyle n}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
h
(
x
)
{\displaystyle h(x)}
±
1
{\displaystyle \pm 1}
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
n
{\displaystyle n}
2 番目の条件は、有理数上で約分可能な多項式に対しても満たされません。
たとえば、 整数値多項式は であるため条件 (2) を満たさないので、 が素数 となるためには 後者の 2 つの因数の少なくとも 1 つは の約数でなければなりませんが 、これは の場合にのみ成立します 。対応する値は である ため、これらの数はすべて素数であるため、これらは積分 の唯一の素数です 。条件 (2) が満たされないため、これはブニャコフスキー予想の反例ではありません。
P
(
x
)
=
(
1
/
12
)
⋅
x
4
+
(
11
/
12
)
⋅
x
2
+
2
{\displaystyle P(x)=(1/12)\cdot x^{4}+(11/12)\cdot x^{2}+2}
P
(
x
)
=
(
1
/
12
)
⋅
(
x
4
+
11
x
2
+
24
)
=
(
1
/
12
)
⋅
(
x
2
+
3
)
⋅
(
x
2
+
8
)
{\displaystyle P(x)=(1/12)\cdot (x^{4}+11x^{2}+24)=(1/12)\cdot (x^{2}+3)\cdot (x^{2}+8)}
12
{\displaystyle 12}
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
|
x
|
≤
3
{\displaystyle |x|\leq 3}
2
,
3
,
7
,
17
{\displaystyle 2,3,7,17}
x
{\displaystyle x}
3 番目の条件、つまり数が 最大公約数 1 であるという条件は、明らかに必要ですが、やや微妙で、反例を挙げた方が理解しやすいでしょう。 を考えてみましょう 。これは正の最高係数を持ち、既約であり、係数は互いに素です。しかし、 は すべての整数 に対して 偶数で あり 、したがって が素数となるのは有限回だけです (つまり、 のとき 、 において )。
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
f
(
x
)
=
x
2
+
x
+
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}+x+2}
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
n
{\displaystyle n}
n
=
0
,
−
1
{\displaystyle n=0,-1}
f
(
n
)
=
2
{\displaystyle f(n)=2}
実際には、3 番目の条件を検証する最も簡単な方法は、 と が 互いに素と なるような正の整数 とのペアを 1 つ見つけることです 。一般に、 任意の整数値多項式 に対して、任意の整数 に対して を使用できるため、最大公約数は 任意の連続する整数における の値によって与えられます 。 [1] 上記の例では、 であり 、したがって最大公約数は であり 、これは が 整数上で偶数値を持つことを意味します。
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
f
(
m
)
{\displaystyle f(m)}
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
f
(
x
)
=
c
0
+
c
1
x
+
⋯
+
c
d
x
d
{\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{d}x^{d}}
gcd
{
f
(
n
)
}
n
≥
1
=
gcd
(
f
(
m
)
,
f
(
m
+
1
)
,
…
,
f
(
m
+
d
)
)
{\displaystyle \gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=\gcd(f(m),f(m+1),\dots ,f(m+d))}
m
{\displaystyle m}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
d
+
1
{\displaystyle d+1}
f
(
−
1
)
=
2
,
f
(
0
)
=
2
,
f
(
1
)
=
4
{\displaystyle f(-1)=2,f(0)=2,f(1)=4}
2
{\displaystyle 2}
x
2
+
x
+
2
{\displaystyle x^{2}+x+2}
あるいは、整数多項式が 二項係数 多項式に基づいて書かれる場合 :
各係数は 整数であり、 上記の例では、これは次のようになります:
式の右側の係数は gcd 2 を持ちます。
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
=
a
0
+
a
1
(
x
1
)
+
⋯
+
a
d
(
x
d
)
,
{\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}{\binom {x}{1}}+\cdots +a_{d}{\binom {x}{d}},}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
gcd
{
f
(
n
)
}
n
≥
1
=
gcd
(
a
0
,
a
1
,
…
,
a
d
)
.
{\displaystyle \gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=\gcd(a_{0},a_{1},\dots ,a_{d}).}
x
2
+
x
+
2
=
2
(
x
2
)
+
2
(
x
1
)
+
2
,
{\displaystyle x^{2}+x+2=2{\binom {x}{2}}+2{\binom {x}{1}}+2,}
この gcd 公式を使用すると、および が互いに素 である 正の整数が存在する場合にのみ、 が証明できます 。 [ 引用が必要 ]
gcd
{
f
(
n
)
}
n
≥
1
=
1
{\displaystyle \gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=1}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
f
(
m
)
{\displaystyle f(m)}
f
(
n
)
{\displaystyle f(n)}
例
単純な二次多項式 多項式の素数値のいくつかを 次の表に示します。( OEIS シーケンス A005574 形式の値、 A002496 形式の値)
f
(
x
)
=
x
2
+
1
{\displaystyle f(x)=x^{2}+1}
x
{\displaystyle x}
x
2
+
1
{\displaystyle x^{2}+1}
が 無限に素数であるべきという問題は、オイラーが最初に提起した問題であり、 ハーディ・リトルウッド予想の5番目、 ランダウの問題 の4番目でもある 。広範な数値的証拠 [2] にもかかわらず
、この数列が無限に拡張されることは知られていない。
n
2
+
1
{\displaystyle n^{2}+1}
円分多項式 の円分多項式は ブニャ コフスキー 予想の 3 つの条件を満たす ので、すべての k に対して、が素数と なる 自然数 n は無限に存在するはずです。すべての k に対して 、 が素数となる整数 n > 1が存在する場合、すべての k に対して、 が素数 となる 自然数 n は 無限に存在することが示されます [ 要出典 ]。
Φ
k
(
x
)
{\displaystyle \Phi _{k}(x)}
k
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle k=1,2,3,\ldots }
Φ
k
(
n
)
{\displaystyle \Phi _{k}(n)}
Φ
k
(
n
)
{\displaystyle \Phi _{k}(n)}
Φ
k
(
n
)
{\displaystyle \Phi _{k}(n)}
次の数列は、 が素数となるような 最小の自然数 n > 1を与えます 。
Φ
k
(
n
)
{\displaystyle \Phi _{k}(n)}
k
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle k=1,2,3,\ldots }
3、2、2、2、2、2、2、2、2、2、5、2、2、2、2、2、2、6、2、4、3、2、10、2、22、 2、2、4、6、2、2、2、2、2、14、3、61、 2、10、2、14、2、15、25、11、2、5、5、2、6、30、11、24、7、7、2、5、7、19、3、2、2、 3、30、2、9、46、85、2、3、3、3、 11、16、 59、7、2、2、22、2、21、61、41、7、2、2、8、5、2、2、...（ OEIS の配列 A085398 ）。 この数列には大きな項がいくつか含まれていることが知られています。545 番目の項は 2706、601 番目の項は 2061、943 番目の項は 2042 です。ブニャコフスキーの予想のこのケースは広く信じられていますが、数列が無限に拡張されることは知られていません。
通常、 2 と (ここで は オイラー のトーティエント関数 、の 次数 )の間には 、 が素数 となる 整数が存在します [ 要出典 ]。ただし、例外もあります。最初のいくつかは次の とおり です。
n
{\displaystyle n}
ϕ
(
k
)
{\displaystyle \phi (k)}
ϕ
{\displaystyle \phi }
ϕ
(
k
)
{\displaystyle \phi (k)}
Φ
k
(
n
)
{\displaystyle \Phi _{k}(n)}
Φ
k
(
n
)
{\displaystyle \Phi _{k}(n)}
1、2、25、37、44、68、75、82、99、115、119、125、128、159、162、179、183、188、203、213、216、229、233、243、277、 289、292、...。
部分的な結果: ディリクレの定理のみ 現在までに証明された ブニャコフスキー予想の唯一のケースは、 次数 1 の多項式の場合です。これは ディリクレの定理 で、と が 互いに素な整数である場合、素数 は無限に存在する ことを述べています。これは、 に対する (または の場合) ブニャコフスキー予想です 。線型多項式に対するブニャコフスキー予想の 3 番目の条件は 、 と が 互いに素であること
に相当します。
a
{\displaystyle a}
m
{\displaystyle m}
p
≡
a
(
mod
m
)
{\displaystyle p\equiv a{\pmod {m}}}
f
(
x
)
=
a
+
m
x
{\displaystyle f(x)=a+mx}
a
−
m
x
{\displaystyle a-mx}
m
<
0
{\displaystyle m<0}
m
x
+
a
{\displaystyle mx+a}
a
{\displaystyle a}
m
{\displaystyle m}
ブニャコフスキーの予想が 1 より大きい次数で証明されたケースは 1 つもありませんが、より高い次数での数値的証拠は予想と一致しています。
一般化されたブニャコフスキー予想 それぞれが 3 つの条件を満たす、正の次数と整数係数を持つ多項式が与えられ 、任意の素数に対して、 における多項式 の値のいずれも で割り切れない が 存在すると仮定します。これらの仮定から、 におけるこれらの多項式 の値がすべて素数となるような 正の整数が無限に存在すると予想されます。この予想は、 一般化されたディクソン予想 および シンツェルの仮説 H と同等です 。
k
≥
1
{\displaystyle k\geq 1}
p
{\displaystyle p}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
p
{\displaystyle p}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
x
=
n
{\displaystyle x=n}
参照
参考文献
^ クルト・ヘンゼル (1896)。 「Ueber den grössten gemeinsamen Theiler aller Zahlen, welche durch eine ganze Function von n Veränderlichen darstellbar sind」。 数学に関するジャーナル 。 1896 (116): 350–356。 土井 ：10.1515/crll.1896.116.350。 S2CID 118266353。 ^ Wolf, Marek (2013)、「m2 + 1 形式の素数に関するいくつかの予想」 (PDF) 、 組合せ論と数論ジャーナル 、 5 : 103–132
文献 Ed Pegg, Jr. 「Bouniakowsky 予想」 。MathWorld 。 Rupert, Wolfgang M. (1998-08-05). 「 pを法とする多項式 f ( x , y )の可約性 」 arXiv : math/9808021 . ブニアコウスキー、V. (1857)。 「すべての機能を不変に管理する数値を管理する」。 メム。アカド。 Sc.サンクトペテルブール 。 6 : 305–329。
