二重バブル定理

極小曲面の数学的理論において、二重バブル定理は、与えられた2つの体積を囲み分離し、表面積が最小となる形状は標準的な二重バブル、すなわち共通の円上で120°の角度で交わる3つの球面であると述べている。二重バブル定理は19世紀に定式化され、真実であると考えられ、1989年までに「真剣な研究の焦点」となったが、^[1] 2002年まで証明されなかった。

証明は複数の要素を組み合わせています。整流可能電流のコンパクト性(曲面の一般化された定義) は、解が存在することを示しています。対称性の議論は、解が回転面である必要があることを証明し、さらに限られた数の滑らかな部分を持つように制限できます。Jean Taylorによるプラトーの法則の証明は、これらの部分がどのように形作られ、互いに接続されなければならないかを記述し、最後のケース分析は、このように接続された回転面の中で、標準的な二重バブルだけが局所的に最小の面積を持つことを示しています。

二重気泡定理は等周不等式を拡張したもので、これによれば、任意の領域の最小周囲の囲みは円であり、任意の単一の体積の最小表面積の囲みは球である。2 つの体積の最適囲みに関する類似の結果は、表面エネルギーの重み付き形式、表面のガウス測度、および任意の次元のユークリッド空間に一般化される。

等周不等式によれば、任意の領域の最小周囲は円であり、任意の単一体積の最小表面積囲は球である。2つの体積を囲む有界表面積の形状の存在は明らかである。単に 2 つの別々の球でそれらを囲むだけである。2 つの体積を囲み、表面積が最小となる形状が存在することはそれほど明らかではない。むしろ、一連の形状が最小値 (またはゼロ) に達することなく収束する可能性がある。この問題は、定義上の難しい問題も引き起こす。形状、形状の表面積、およびそれが囲む体積とは、滑らかでなかったりフラクタルであったりする可能性があるのに、何を意味するのか。それでも、整流性電流の理論を使用して最適な囲いの問題を厳密に定式化し、整流性電流の空間におけるコンパクト性を使用して、2 つの体積ごとに最小面積の囲いがあることを証明することは可能である。^[2]

プラトーの法則によれば、任意の体積または体積の集合を囲む最小面積の区分的に滑らかな形状は、一定の平均曲率を持つ表面が3つで出会い、120°（ラジアン）の二面角を形成する、シャボン玉でよく見られる形状をとらなければならないとされています。 ^[2]標準的な二重泡では、3つの球のパッチがこの角度で共有円に沿って出会います。これらの球面のうち2つは二重泡の外側の境界を形成し、内部の3つ目の球面は2つの体積を互いに分離します。物理的な泡では、ヤング・ラプラス方程式に従って、球の半径はそれらが分離する体積間の圧力差に反比例します。^[3]圧力と半径のこの関係は、標準的な二重泡では、 3つの球面の3つの半径、、が次式に従うという事実に数学的に反映されています。ここで、は2つの外側の泡の小さい方の半径です。^[4] 2つの体積と2つの外半径が等しい特別なケースでは、この式を使用して中間半径を計算すると、ゼロ除算になります。この場合、中間面は平らな円盤であり、無限半径の球の一部と解釈できます。二重バブル定理は、任意の2つの体積に対して、標準的な二重バブルがそれらを囲む最小面積の形状であり、これより小さい総面積で同じ量の空間を囲む表面セットは存在しないことを示しています。^[1]${\displaystyle 2\pi /3}$ ${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{3}}$$${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{3}}},}$$${\displaystyle r_{1}}$

同様に、ユークリッド平面では、与えられた 2 つの領域を囲む曲線系の最小周囲は、半径の関係が同じで、同じ角度 120° で交わる 3 つの円弧で形成されます。2 つの等しい面積の場合、中央の円弧は直線分に縮退します。^[5] 3 次元の標準的な二重バブルは、この 2 次元の二重バブルの回転面と見ることができます。 ^[6]より高い次元では、2 つの体積の最適な囲みは、同じ角度 120° で交わる 3 つの超球面のパッチで再び形成されます。^{[1] [7]}

球はその体積に対して表面積が最小であるという三次元等周不等式はアルキメデスによって定式化されたが、19世紀になってヘルマン・シュワルツによって厳密に証明されるまでは存在しなかった。19世紀にはジョセフ・プラトーが二重泡を研究し、二重泡定理の真実性は1912年版のシャボン玉に関する著書の中でCV・ボーイズによって証明なしに仮定された。 ^{[8] [4]}プラトーは複合シャボン玉の滑らかな表面の形状と接続を記述するプラトーの法則を定式化した。これは1976年にジーン・テイラーによって最小体積の囲みに対して数学的に証明された。^[9]

1989年までに、二重バブル問題は「真剣な研究の焦点」となった。^{[1] 1991年、}ウィリアムズ大学の学部生だったジョエル・フォイジーは、二重バブル予想の2次元類似物を証明した学部生チームのリーダーだった。^{[5] [8]}フォイジーは学部論文で、3次元の二重バブル予想の正確な記述を初めて提供したが、証明することはできなかった。^[10]

二重バブル予想の限定されたケース、すなわち二つの等しい体積に対する証明は、1995年にジョエル・ハスとロジャー・シュラフリーによって発表され、2000年に出版された。 ^{[11] [12]}ハッチングス、モーガン、リトレ、ロスによる完全な予想の証明は2000年に発表され、2002年に出版された。 ^{[6] [10] [13]} 4次元の場合に関する初期の研究の後、^[14]より高次元への完全な一般化が2008年にライヒャルトによって出版され、^[7] 2014年にローラーは、高次元と表面エネルギーの重み付き形式の両方に一般化した二重バブル定理の代替証明を発表した。^[1]ガウス測度などの、囲む表面のサイズの他の測度を考慮した問題のバリエーションも研究されている。^[15]

ブライアン・ホワイトの補題は、最小面積の二重バブルは回転面である必要があることを示している。もしそうでない場合は、ハムサンドイッチ定理と同様の議論を使用して、両方の体積を二等分する2つの直交平面を見つけ、4つの象限のうち2つの象限の表面を他の象限の表面の反射に置き換え、反射面での特異点を滑らかにして、総面積を減らすことができる。^[8]この補題に基づいて、マイケル・ハッチングスは、非標準の最適二重バブルの可能な形状を、トロイダルチューブの層で構成されるように制限することができた。^[16]

さらに、ハッチングスは、非標準だが最小となる二重バブル内のトロイドの数は、2 つの体積の関数によって制限できることを示した。特に、2 つの等しい体積の場合、唯一の可能な非標準二重バブルは、単一の中心バブルとその赤道の周りの単一のトロイドで構成される。この問題の簡略化に基づいて、ジョエル・ハスとロジャー・シュラフリーは、この二重バブル予想のケースの証明を、1995 年のパソコンで 20 分かかる大規模なコンピュータ化されたケース分析に縮小することができた。 ^{[8] [12]}完全な二重バブル予想の最終的な証明でも、問題を有限ケース分析に縮小するハッチングスの方法を使用しているが、コンピュータ計算の使用を避け、代わりに、すべての可能な非標準二重バブルが不安定であることを示すことによって機能する。つまり、任意の小さな量でそれらを摂動させることで、より小さい面積の別の表面を生成できる。この結果を証明するために必要な摂動は、慎重に選択された一連の回転である。最小面積の表面が存在し、他の候補となる表面はいずれも最小面積を持たないため、最小面積の表面は標準的な二重バブルのみとなる。^{[8] [2]}

ジョン・M・サリバンは、任意の次元 に対して、最大 の体積（必ずしも等しいとは限らない）の最小の囲みは、単体の立体投影の形をとると予想した。^[17]特に、この場合、バブル間のすべての境界は球のパッチになる。この予想の 2 次元の 3 つのバブルに関する特別なケースは証明されている。この場合、3 つのバブルは 6 つの円弧と直線セグメントによって形成され、四面体のエッジと同じ組み合わせパターンで交わる。^[18]フランク・モーガンは、 3 次元の 3 つの体積の場合でさえ「アクセス不可能」と呼んだが、^[19] 2022 年に、すべての次元での 3 つの体積の場合の証明と、高次元での追加の部分的な結果が発表された。^{[20] [21]}数値実験により、3 次元で 6 つ以上の体積の場合、バブル間の境界の一部が非球形になる可能性があることが示された。^[17]${\displaystyle d}$${\displaystyle d+1}$

平面上に無限の等しい領域がある場合、これらの領域を分離する曲線の最小の長さの集合は、ミツバチが蜂の巣を作るときに使うことで知られる六角形のタイリングであり、その最適性（ハニカム予想）は2001年にTCヘイルズによって証明されました。 ^[22]同じ問題を3次元で解くと、最適解はわかっていません。ケルビン卿は、最適解は二分円立方ハニカムと組み合わせ的に等価な構造によって与えられると予想しましたが、この予想は、ウィア・フェラン構造の発見によって反証されました。ウィア・フェラン構造とは、セルあたりの平均表面積を小さくして、空間を2つの異なる形状の等体積セルに分割する構造です。^[23]

研究者たちはまた、一対の泡が合体して二重泡になる物理的過程のダイナミクスを研究してきた。^{[24] [25]}このトピックは、曲線や曲面を連続的に変化させるさまざまな過程における曲線や曲面の動的挙動に関する微分幾何学のより一般的なトピックに関連している。たとえば、曲線短縮フローとは、平面上の曲線が曲率に比例した速度で移動するプロセスである。直線で区切られた 2 つの無限領域と、その間にある 3 番目の有限領域の場合、曲線短縮フローはその境界上で (有限領域の面積を保存するように再スケール)、退化した二重泡、つまり2 つの境界のない領域の間の直線に沿ったvesica piscisという極限形状に向かって収束する。^[26]

• ワイスシュタイン、エリック W.、「ダブルバブル」、MathWorld