従順定理

数学において、従順性定理は、有限生成基本群を持つすべての完全な3 次元双曲多様体は位相的に従順である、つまりコンパクトな3 次元多様体の内部に同相であるということを述べています。

従順定理は、Marden (1974) によって予想されました。これは Agol (2004) によって証明され、独立にDanny CalegariとDavid Gabaiによって証明されました。これは、 Klein 群の密度定理や終了積層定理とともに、幾何学的に無限の 3 次元双曲多様体の基本的な性質の 1 つです。また、これはAhlfors 測度予想も意味します。

位相的な従順さは、多様体の端の特性、つまり局所積構造を持つことと見なすことができます。2 次元、つまり表面では、同様の記述がよく知られています。ただし、アレクサンダーの角球の例が示すように、3 次元多様体間にはワイルドな埋め込みがあるため、この特性は自動的ではありません。

この予想は、任意の幾何学的に有限な3 次元双曲多様体は位相的に従順であることを証明したアルバート・マーデンによって疑問の形で提起されました。この予想はマーデン予想または従順な終わり予想とも呼ばれています。

予想が解決される前に、飼い慣らしの理解は着実に進んでいた。部分的な結果は、サーストン、ブロック、ブロンバーグ、カナリー、エヴァンス、ミンスキー、オオシカによって得られていた。^{[引用が必要]}飼い慣らしの重要な十分条件は、基本群の分割に関して、ボナホンによって得られていた。^{[引用が必要]}

この予想は 2004 年にイアン・アゴルによって証明され、さらに独立してダニー・カレガリとデイビッド・ガバイによっても証明された。アゴルの証明は、圧縮された負の曲率を持つ多様体の使用と、圧縮端を非圧縮端に置き換えることを可能にするカナリアの「ディスクバスティング」のトリックに依存しており、この予想については既に証明されている。カレガリとガバイの証明は、彼らが「シュリンクラップ」と呼ぶ、特定の閉じた非正曲面の存在を中心にしている。

• 飼いならされた多様体
• 飼いならされたトポロジー

• Agol, Ian (2004)、双曲型 3 次元多様体の Tameness、arXiv : math.GT/0405568。
• Calegari, Danny ; Gabai, David (2006)、「シュリンクラッピングと双曲型 3 次元多様体の制御」、Journal of the American Mathematical Society、19 (2): 385–446、arXiv : math/0407161、doi :10.1090/S0894-0347-05-00513-8、MR  2188131。
• Gabai, David (2009)、「双曲幾何学と 3 次元トポロジー」、Mrowka, Tomasz S. ; Ozsváth, Peter S. (編)、Low Dimensional Topology、IAS/Park City Math. Ser.、vol. 15、Providence、RI: American Mathematical Society、pp. 73–103、MR  2503493
• マッケンジー、ダナ (2004)、「手に負えない境界を刈り込むことで双曲的ジャングルを飼いならす」、サイエンス、306 (5705): 2182–2183、doi :10.1126/science.306.5705.2182、PMID  15618501。
• マーデン、アルバート (1974)、「有限生成クライン群の幾何学」、数学年報、第 2 シリーズ、99 : 383–462、doi :10.2307/1971059、ISSN  0003-486X、JSTOR  1971059、MR  0349992、Zbl  0282.30014
• マーデン、アルバート（2007）、アウターサークル：双曲型3次元多様体入門、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-83974-7、MR  235538​​7。