ホックシルトホモロジー

数学において、ホッホシルトホモロジー（およびコホモロジー）は、環上の結合代数に対するホモロジー理論である。特定の関数のホッホシルトホモロジーに対する理論もある。ホッホシルトコホモロジーは、体上の代数に対してゲルハルト・ホッホシルト （1945）によって導入され、アンリ・カルタンとサミュエル・アイレンバーグ （1956）によってより一般的な環上の代数に拡張された。

k を体、A を結合的 k 代数、 MをA双加群とする。Aの包絡代数は、 Aとその反対の代数とのテンソル積である。A上の双加群は、 Aの包絡代数上の加群と本質的に同じであるため、特にAとM はA ^e加群と見なすことができます。Cartan & Eilenberg (1956) は、係数がMであるAのホックシルトホモロジー群とコホモロジー群をTor 関手とExt 関手を 用いて次の ように定義しました。${\displaystyle A^{e}=A\otimes A^{o}}$

${\displaystyle HH_{n}(A,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{A^{e}}(A,M)}$

${\displaystyle HH^{n}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{n}(A,M)}$

k を環、A を射影k 加群である結合的 k 代数、M をA双加群とする。Aの kに対するn重テンソル積をと書く。ホックシルトホモロジーを生じる 鎖複体は次のように与えられる。${\displaystyle A^{\otimes n}}$

${\displaystyle C_{n}(A,M):=M\otimes A^{\otimes n}}$

境界演算子は次のように定義される。 ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{0}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=ma_{1}\otimes a_{2}\cdots \otimes a_{n}\\d_{i}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}\\d_{n}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=a_{n}m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n-1}\end{aligned}}}$

ここで、 はすべての場合においてAに含まれ、はすべての場合において A に含まれます。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle m\in M}$

${\displaystyle b_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}d_{i},}$

ならば、ホッホシルト複体と呼ばれる鎖複体もであり、そのホモロジーはMに係数を持つAのホッホシルトホモロジーです。今後は単に と書きます。 ${\displaystyle b_{n-1}\circ b_{n}=0}$${\displaystyle (C_{n}(A,M),b_{n})}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle b}$

この写像は、加群をk加群の圏における単体オブジェクトにする面写像、すなわち、関数 Δ ^o → k -mod であり、Δ は単体圏、k -mod はk加群の圏である。ここで、Δ ^{o は}Δの反対の圏である。退化写像は次のように定義される。 ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle (C_{n}(A,M),b)}$

${\displaystyle s_{i}(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{n})=a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{i}\otimes 1\otimes a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}.}$

ホッホシルトホモロジーはこの単体モジュールのホモロジーです。

見た目が似ているバー複合体と呼ばれる複合体があり、形式的にはホッホシルト複合体と非常によく似ています^{[1] 4-5 ページ}。実際、ホッホシルト複合体はバー複合体から明確な同型性を与える形で復元できます。 ${\displaystyle B(A/k)}$${\displaystyle HH(A/k)}$$${\displaystyle HH(A/k)\cong A\otimes _{A\otimes A^{op}}B(A/k)}$$

可換環の場合、より一般的には可換環の層に対するホッホシルト複体の別の有用な解釈があります。それは、ある基本スキーム 上のスキーム(または導来スキーム)の導来自己交差から構築されるというものです。たとえば、導来環の層を持つ導来ファイバー積を形成できます。次に、対角写像 を埋め込むと、ホッホシルト複体は、対角積スキームにおける対角線の導来自己交差の引き戻しとして構築されます。この解釈から、ホッホシルトホモロジーにはケーラー微分と何らかの関係があるはずです。ケーラー微分は対角線からの自己交差を使用して定義できるためです。より一般的には、コタンジェント複体はケーラー微分の導来的な置き換えであるためです。とを設定することで、可換- 代数のホッホシルト複体の元の定義を復元できます。すると、ホッホシルト複体はと準同型になります。 が平坦 - 代数である場合、ホッホシルト複体の代替的だが同等な表現を与える同型連鎖が 存在します。${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle X\times _{S}^{\mathbf {L} }X}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \Delta :X\to X\times _{S}^{\mathbf {L} }X}$$$${\displaystyle HH(X/S):=\Delta ^{*}({\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{X}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{X})}$$${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle S={\text{Spec}}(k)}$$$${\displaystyle X={\text{Spec}}(A)}$$$${\displaystyle HH(A/k)\simeq _{qiso}A\otimes _{A\otimes _{k}^{\mathbf {L} }A}^{\mathbf {L} }A}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle A\otimes _{k}^{\mathbf {L} }A\cong A\otimes _{k}A\cong A\otimes _{k}A^{op}}$$

単体円は、有限点集合のカテゴリにおける単体オブジェクト、つまり関数です。したがって、Fが関数である場合、 F をと合成することで単体モジュールが得られます。 ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \operatorname {Fin} _{*}}$${\displaystyle \Delta ^{o}\to \operatorname {Fin} _{*}.}$${\displaystyle F\colon \operatorname {Fin} \to k-\mathrm {mod} }$${\displaystyle S^{1}}$

${\displaystyle \Delta ^{o}{\overset {S^{1}}{\longrightarrow }}\operatorname {Fin} _{*}{\overset {F}{\longrightarrow }}k{\text{-mod}}.}$

この単体モジュールのホモロジーは、関数 Fのホッホシルトホモロジーです。可換代数のホッホシルトホモロジーの上記の定義は、Fがローデイ関数である場合の特別なケースです。

有限点集合のカテゴリの骨組みは、オブジェクトによって与えられる。

${\displaystyle n_{+}=\{0,1,\ldots ,n\},}$

ここで 0 は基点であり、射は基点保存集合写像である。Aを可換 k-代数、M を対称A -双加群とする^{[さらなる説明が必要]}。Loday 関手は、 のオブジェクト上で次のように 与えられる。${\displaystyle L(A,M)}$${\displaystyle \operatorname {Fin} _{*}}$

${\displaystyle n_{+}\mapsto M\otimes A^{\otimes n}.}$

射影

${\displaystyle f:m_{+}\to n_{+}}$

は、 ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle f_{*}(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{m})=b_{0}\otimes \cdots \otimes b_{n}}$

どこ

${\displaystyle \forall j\in \{0,\ldots ,n\}:\qquad b_{j}={\begin{cases}\prod _{i\in f^{-1}(j)}a_{i}&f^{-1}(j)\neq \emptyset \\1&f^{-1}(j)=\emptyset \end{cases}}}$

対称A双加群Mに係数を持つ可換代数Aのホックシルトホモロジーは、合成に関連するホモロジーである。

${\displaystyle \Delta ^{o}{\overset {S^{1}}{\longrightarrow }}\operatorname {Fin} _{*}{\overset {{\mathcal {L}}(A,M)}{\longrightarrow }}k{\text{-mod}},}$

この定義は上記の定義と一致します。

ホックシルトホモロジー計算の例は、結合代数に対するホモロジー群とホモロジー環の構造を記述するかなり一般的な定理を持つ、いくつかの異なるケースに分類できます。可換代数の場合、特性 0 上の計算を記述する定理がいくつかあり、ホモロジーとコホモロジーが計算するものを簡単に理解できます。 ${\displaystyle HH_{*}(A)}$${\displaystyle A}$

となる可換代数の場合、ホッホシルトホモロジーには滑らかな代数と、より一般的な非平坦代数に関する 2 つの主な定理がありますが、2 つ目の定理は最初の定理を直接一般化したものです。滑らかな場合、つまり滑らかな代数 の場合、ホッホシルト-コスタント-ローゼンバーグ定理^{[2]の 43-44 ページ}には、すべての に対して同型が存在すると述べられています。この同型は、反対称化マップを使用して明示的に記述できます。つまり、微分-形式にはマップ が存在します。 代数が滑らかでない場合、または平坦でさえない場合は、コタンジェント複素数を使用した類似の定理があります。単体解析 の場合、 と設定します。すると、上の次数付き部分が に同型である降順の-フィルタリングが存在する 。この定理により、滑らかな代数だけでなく、局所完全交差代数に対してもホッホシルトホモロジーを計算できるようになることに注意する。この場合、の表現が与えられている場合、コタンジェント複素数は 2 項複素数 である。 ${\displaystyle A/k}$${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \Omega _{A/k}^{n}\cong HH_{n}(A/k)}$$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle a\,db_{1}\wedge \cdots \wedge db_{n}\mapsto \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sign} (\sigma )a\otimes b_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes b_{\sigma (n)}.}$$${\displaystyle A/k}$${\displaystyle P_{\bullet }\to A}$${\displaystyle \mathbb {L} _{A/k}^{i}=\Omega _{P_{\bullet }/k}^{i}\otimes _{P_{\bullet }}A}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle F_{\bullet }}$${\displaystyle HH_{n}(A/k)}$$${\displaystyle {\frac {F_{i}}{F_{i+1}}}\cong \mathbb {L} _{A/k}^{i}[+i].}$$${\displaystyle A=R/I}$${\displaystyle R=k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$${\displaystyle I/I^{2}\to \Omega _{R/k}^{1}\otimes _{k}A}$

簡単な例として、 -生成元を持つの多項式環のホックシルトホモロジーを計算することが挙げられます。HKR 定理は、代数が -生成元上の自由反対称代数である場合の同型を与えます。その積構造はベクトルのウェッジ積で与えられるため、に対してはとなります。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle n}$$${\displaystyle HH_{*}(\mathbb {Q} [x_{1},\ldots ,x_{n}])=\mathbb {Q} [x_{1},\ldots ,x_{n}]\otimes \Lambda (dx_{1},\dotsc ,dx_{n})}$$${\displaystyle \bigwedge (dx_{1},\ldots ,dx_{n})}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\begin{aligned}dx_{i}\cdot dx_{j}&=-dx_{j}\cdot dx_{i}\\dx_{i}\cdot dx_{i}&=0\end{aligned}}}$$${\displaystyle i\neq j}$

p 特性の場合、ホックシルト-コスタント-ローゼンベルグ定理の有用な反例があり、ホックシルトホモロジーを定義するために単体代数を超える理論が必要であることを明らかにする。-代数について考える。 の分解を自由微分次数代数として計算することができ、導出された交差を与える。ここで、微分はゼロ写像である。これは、上の複素数を でテンソル化し、の二乗になる次数の生成元を持つ形式複素数を与えるためである。すると、ホックシルト複素数は で与えられる。これを計算するには、 -代数として分解する必要がある。代数構造が ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} \xrightarrow {\cdot p} \mathbb {Z} }$$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}\cong \mathbb {F} _{p}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})}$${\displaystyle {\text{deg}}(\varepsilon )=1}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbb {L} }\mathbb {F} _{p}}^{\mathbb {L} }\mathbb {F} _{p}}$$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})\to \mathbb {F} _{p}}$

力。これにより、複素数の次数ゼロの項が得られます。次に、カーネル を解決しなければならないため、次数 をシフトしたのコピーを取り、次数 のカーネルを使用して、それを にマップすることができます。これを再帰的に実行して、次数がで、である除算ベキ代数の基礎モジュールを取得できます。つまり、 です。この代数を でテンソル化すると、の任意の要素を乗じるとゼロになるため、が得られます。代数構造は、除算ベキ代数と微分次数代数の一般理論に由来します。^[3]この計算は、リングの振る舞いが適切ではないため、技術的なアーティファクトと見なされることに注意してください。たとえば、 です。この問題に対する技術的な回答の 1 つは、基本リングを球面スペクトルに置き換えるトポロジカル ホックシルト ホモロジーを使用することです。 ${\displaystyle \varepsilon \mapsto 0}$${\displaystyle \varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}={\text{Ker}}({\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}\to {\displaystyle \varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}).}$$${\displaystyle (\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p})\langle x\rangle ={\frac {(\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p})[x_{1},x_{2},\ldots ]}{x_{i}x_{j}={\binom {i+j}{i}}x_{i+j}}}}$$${\displaystyle dx_{i}=\varepsilon \cdot x_{i-1}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle 2i}$${\displaystyle |x_{i}|=2i}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$$${\displaystyle HH_{*}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}\langle x\rangle }$$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\langle x\rangle }$${\displaystyle x^{p}=0}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$

上記のホッホシルト複体の構成は、より一般的な状況にも適用できます。つまり、 - 加群（の複体）のカテゴリを（テンソル積を備えた）∞-カテゴリと、このカテゴリの結合代数に置き換えることによってです。これをスペクトルのカテゴリ に適用し、通常の環に関連付けられたEilenberg–MacLane スペクトルを とすると、位相ホッホシルトホモロジー が得られ、 と表記されます。上で紹介した（非位相的）ホッホシルトホモロジーは、 - 加群の導来カテゴリを（∞-カテゴリとして）とすることで、この方向に沿って再解釈できます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {C}}={\textbf {Spectra}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle THH(R)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}=D(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

球面スペクトル上のテンソル積を（またはアイレンバーグ・マクレーンスペクトル）上のテンソル積に置き換えると、自然な比較写像 が得られる。これは、次数 0、1、2 のホモトピー群に同型写像を誘導する。しかし、一般にはそれらは異なり、HH よりも単純な群になる傾向がある。たとえば、 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle H\mathbb {Z} }$${\displaystyle THH(R)\to HH(R)}$${\displaystyle THH}$

${\displaystyle THH(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}[x],}$

${\displaystyle HH(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}\langle x\rangle }$

は、 1 つの変数の 等分されたべき乗の環と比較される、多項式環 ( xの次数が 2) です。

Lars Hesselholt  (2016)は、上の滑らかな真多様体のハッセ・ヴェイユゼータ関数が、位相的ホックシルトホモロジーを含む正規化された行列式を使用して表現できることを示しました。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

• 巡回ホモロジー

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