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リクレル数とは、その桁を繰り返し反転させて得られた数を足し合わせるという反復処理によって回文を形成できない自然数のことです。この処理は、この処理に関連する最も有名な数にちなんで、196アルゴリズムと呼ばれることもあります。10進数では、リクレル数の存在はまだ証明されていませんが、196 を含む多くの数が、経験的[ 1 ]および統計的根拠に基づいて疑われています。「リクレル」という名前は、ウェイド・ヴァン・ランディンガムがガールフレンドのファーストネームである「シェリル」のアナグラムとして考案したものです。[ 2 ]
逆順加算とは、ある数とその桁の順序を逆にした数の合計を求める方法です。例えば、56 + 65 = 121 となります。また、125 + 521 = 646 となります。
一部の数は、繰り返し反転と加算を行うとすぐに回文数になるため、リクレル数ではありません。1桁および2桁の数字はすべて、繰り返し反転と加算を行うと最終的に回文数になります。
10,000未満の数の約80%は4ステップ以下で回文数に分解でき、そのうち約90%は7ステップ以下で分解できます。以下に、リクレル数ではない数の例をいくつか示します。
回文を形成しないことが知られている最小の数は196である。したがって、196は最小のリクレル数候補である。
末尾がゼロでないリクレル数の桁を逆にした数もまたリクレル数である。
させては自然数とする。基数b > 1に対して、リクレル関数を定義する。 以下のとおりとする。
どこは、基数における数値の桁数です。、 そして
は、その数の各桁の値です。自然数が存在しない場合、その数はリクレル数です。そのため、 どこはの 番目の反復
他の基数（これらの基数は2のべき乗、例えば2進数や16進数）では、特定の数は繰り返し反転と加算を行った後も回文を形成しないことが証明されているが[ 3 ] 、 196やその他の10進数についてはそのような証明は見つかっていない。
196や、まだ回文になっていない他の数はリクレル数であると推測されているが、10進数でリクレル数であることが証明された数はまだない。リクレル数ではないことが完全に証明されていない数は、非公式に「候補リクレル数」と呼ばれる。最初のいくつかの候補リクレル数（OEISのシーケンスA023108）は以下のとおりである。
太字で示されている数字は、リクレルシード番号の疑いのある数字です（下記参照）。ジェイソン・ドゥセット、イアン・ピーターズ、ベンジャミン・デプレによるコンピュータプログラムでは、他のリクレル候補が見つかっています。実際、ベンジャミン・デプレのプログラムは、17桁未満のリクレルシード番号の疑いのある数字をすべて特定しています。[ 4 ]ウェイド・ヴァン・ランディンガムのサイトには、桁数ごとに見つかったリクレルシード番号の疑いのある数字の総数がリストされています。[ 5 ]
ジョン・ウォーカーが最初に採用した総当たり法は、反復動作を利用するように改良されてきた。例えば、ヴォーン・スイートは、各反復の最初と最後の数桁だけを保存するプログラムを考案し、各反復全体をファイルに保存することなく、数百万回の反復で数字パターンのテストを実行できるようにした。[ 6 ]しかし、これまでのところ、反転と加算の反復プロセスを回避するアルゴリズムは開発されていない。
ジェイソン・ドゥセットが考案した「スレッド」という用語は、逆順と加算のプロセスを経て回文になる場合とならない場合がある、一連の数字を指します。任意のシードとその関連する親族数は、同じスレッドに収束します。スレッドには元のシードや親族数は含まれず、収束後に両者に共通する数字のみが含まれます。
シード番号はリクレル番号のサブセットであり、回文を生成しない各スレッドの最小値です。シード番号自体が回文である場合もあります。最初の3つの例は、上記のリストで太字で示されています。
キン数はリクレル数の部分集合であり、シードを除くスレッドのすべての数、つまり1回の反復後に特定のスレッドに収束する任意の数を含む。この用語は1997年に山下浩二によって提唱された。
196（10進数）はリクレル数の候補の中で最小であるため、最も注目を集めている。
1980年代には、196 回文問題がマイクロコンピュータ愛好家の注目を集め、ジム・バターフィールドらが作成した検索プログラムがいくつかの一般向けコンピュータ雑誌に掲載された。[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] 1985年には、ジェームズ・キルマンのプログラムが28日以上実行され、12,954回のパスを繰り返し、5366 桁の数に到達したが、成功しなかった。[ 9 ]
ジョン・ウォーカーは、 1987年8月12日にSun 3/260ワークステーションで196回文探索を開始しました。彼は、反転と加算の反復処理を実行し、各ステップ後に回文であるかどうかを確認するC言語プログラムを作成しました。このプログラムは低優先度でバックグラウンドで実行され、2時間ごととシステムシャットダウン時に、到達した回数と反復回数を記録するチェックポイントをファイルに生成しました。シャットダウン後は、最後のチェックポイントから自動的に再開されました。このプログラムはほぼ3年間実行され、1990年5月24日に（指示どおり）次のメッセージとともに終了しました。
196から始まる数列は、2,415,836回の反復を経て100万桁に達したが、回文には到達しなかった。ウォーカーは、最終チェックポイントとともに自身の発見をインターネット上に公開し、これまでに得られた数字を使って他の人たちにも探索を再開するよう呼びかけた。
1995年、ティム・アービンとラリー・シムキンスはマルチプロセッサコンピュータを使用して、回文を見つけることなくわずか3か月で200万桁に到達しました。ジェイソン・ドゥーセットはその後、2000年5月に1250万桁に到達しました。ウェイド・ヴァンランディンガムはジェイソン・ドゥーセットのプログラムを使用して1300万桁に到達し、これはカナダの子供向け科学雑誌「Yes Mag」に掲載された記録です。2000年6月以降、ウェイド・ヴァンランディンガムはさまざまな愛好家が作成したプログラムを使用してこの記録を継承しています。2006年5月1日までに、ヴァンランディンガムは3億桁に到達しました（5～7日ごとに100万桁のペース）。分散処理を用いて、[ 10 ] 2011年にロマン・ドルボーは10億回の反復計算を行い、413,930,770桁の数を生成し、2015年2月には計算によって10億桁の数に到達した。[ 11 ]回文はまだ見つかっていない。
繰り返し逆順加算という同じ総当たり法にかけられた他の潜在的なリクレル数には、879、1997、7059 がある。これらは数百万回の反復にかけられたが、回文は見つからなかった。[ 12 ]
2進数では、10110（10進数では22）はリクレル数であることが証明されています。なぜなら、4ステップ後には10110100、8ステップ後には1011101000、12ステップ後には101111010000となり、一般に4nステップ後には10 、それに続くn + 1個の1、それに続く01、それに続くn + 1個の0からなる数になるからです。この数は明らかに回文数ではなく、数列の他の数も回文数ではありません。
リクレル数は、11、17、20、26、および2のすべてのべき乗の基数で存在することが証明されています。[ 13 ] [ 3 ] [ 14 ]
どの基数にも、基数より小さいリクレル数は含まれません。実際、任意の基数bにおいて、1 桁の数が回文数になるには、2 回以上の反復は必要ありません。b > 4 の場合、 k < b /2 であれば、 kは1回の反復で回文数になります。k + k = 2 kとなり、これは基数bの 1 桁の数（したがって回文数）です。k > b /2 であれば、kは2 回の反復で回文数になります。
リクレル数は、各整数を符号付き数字表現で表すことにより、負の整数にも拡張することができる。
