対称空間

数学において、対称空間は、等長写像群があらゆる点について反転対称性を含むリーマン多様体（またはより一般的には擬似リーマン多様体）である。これは、リーマン幾何学のツールを用いて研究することができ、ホロノミーの理論における帰結につながる。または、カルタンが完全な分類を与えることを可能にしたリー理論を通して代数的に研究することができる。対称空間は、微分幾何学、表現論、調和解析でよく見られる。

幾何学的に言えば、完備単連結リーマン多様体は、その曲率テンソルが平行移動に対して不変である場合に限り対称空間である。より一般的には、リーマン多様体 ( M、g ) が対称であるとは、Mの各点pに対して、 p を固定し、接空間に単位元のマイナスとして作用するMの等長変換が存在する場合に限ります(すべての対称空間は完備、つまり、任意の測地線は端点の周りの対称性を介して無限に拡張できるため)。両方の記述は、擬似リーマン多様体の設定に自然に拡張することもできます。 ${\displaystyle T_{p}M}$

リー理論の観点から見ると、対称空間は、連結リー群Gと、 Gの反転 の不変群 (の連結成分) であるリー部分群Hとの商G  /  Hです。この定義はリーマン定義以上のものを含んでおり、Hがコンパクトな場合はリーマン定義に簡約されます。

リーマン対称空間は、数学と物理学の両方でさまざまな状況で出現します。ホロノミー理論におけるその中心的な役割は、マルセル・ベルガーによって発見されました。それらは、表現論や調和解析、微分幾何学における重要な研究対象です。

M を連結リーマン多様体、 p を M の点とします。pの近傍の微分同相写像fは、点pを固定し、その点を通る測地線を反転する場合、つまりγ がの測地線である場合、測地線対称であるということになります。したがって、 pにおける写像fの導関数は、 pの接空間上の恒等写像のマイナスになります 。一般のリーマン多様体では、f は等長である必要はなく、一般にpの近傍からM全体に拡張することもできません。 ${\displaystyle \gamma (0)=p}$${\displaystyle f(\gamma (t))=\gamma (-t).}$

M の測地線対称性が等長である場合、 M は局所的にリーマン対称であると言われます。これは、曲率テンソルの共変微分がゼロになることに相当します。局所対称空間は、その測地線対称性がM全体における等長に拡張できる場合、(大域的に)対称空間であると言われます。

カルタン・アンブローズ・ヒックスの定理は、Mが局所リーマン対称であるためにはその曲率テンソルが共変的に一定であること、さらに、単連結な完全な局所リーマン対称空間はすべて実際にリーマン対称であることを意味します。

すべてのリーマン対称空間Mは完備かつリーマン同次です（つまり、Mの等長群はMに対して推移的に作用します）。実際、等長群の恒等成分はすでにMに対して推移的に作用しています（Mは連結であるため）。

リーマン対称でない局所リーマン対称空間は、不動点を持たない等長変換の離散群によるリーマン対称空間の商として、また（局所）リーマン対称空間の開集合として構成することができる。

リーマン対称空間の基本的な例としては、ユークリッド空間、球面、射影空間、双曲空間があり、それぞれに標準的なリーマン計量があります。双不変リーマン計量を備えた コンパクトで半単純なリー群によって、さらに多くの例が提供されます。

種数が 1 より大きい すべてのコンパクトリーマン面(通常の計量は定曲率 -1) は、局所対称空間ではあるが、対称空間ではない。

すべてのレンズ空間は局所的に対称ですが、対称ではありません。ただし、 は対称です。レンズ空間は、3 次元球面を不動点を持たない離散等長変換で割ったものです。 ${\displaystyle L(2,1)}$

非リーマン対称空間の例としては、反ド・ジッター空間があります。

G を連結リー群とする。すると、Gの対称空間は、典型点の安定化因子HがAut( G ) の反転σの不動点集合の開部分群であるような同次空間G  /  Hとなる。したがって、σ はGの自己同型でσ ² = id _Gであり、H は不変集合の開部分群である 。

${\displaystyle G^{\sigma }=\{g\in G:\sigma (g)=g\}.}$

Hは開行列なので、 G ^σの成分の和集合です(もちろん恒等成分も含まれます)。

Gの自己同型として、σ は単位元を固定し、したがって、単位元で微分することにより、σとも表記されるGのリー代数の自己同型を誘導し、その平方は単位元である。したがって、 σの固有値は±1 である。+1 固有空間はHのリー代数であり（これはG ^σのリー代数であるため）、-1 固有空間は と表記される。 σ はの自己同型であるため、これは直和分解 を与える。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$

と

${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}},\;[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}},\;[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}.}$

最初の条件は任意の同次空間に対して自動的に成り立ちます。つまり、無限小安定子が のリー部分代数であるというだけです。2 番目の条件は、が におけるの -不変補集合であることを意味します。したがって、任意の対称空間は簡約同次空間ですが、対称空間ではない簡約同次空間も多数存在します。対称空間の重要な特徴は、を に括弧で囲む3 番目の条件です。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

逆に、これら 3 つの条件を満たす直和分解を持つ任意のリー代数が与えられた場合、上の恒等写像と 上の恒等写像の差に等しい線型写像σは、反転自己同型写像​​である。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

M がリーマン対称空間である場合、 Mの等長群の単位元成分G は、 Mに推移的に作用するリー群である（つまり、Mはリーマン同次である）。したがって、 Mのある点p を固定すると、M は商G/Kに微分同相である。ここで、K はpにおけるMへのGの作用の等方性群を表す。 pでの作用を微分すると、T _p MへのKの等長作用が得られる。この作用は忠実であり（たとえば、コスタントの定理により、単位元成分の任意の等長は、任意の点でのその1 ジェットによって決定される）、したがってK はT _p Mの直交群の部分群であり、したがってコンパクトである。さらに、 pにおけるMの測地線対称性をs _p : M → Mで表すと、写像

${\displaystyle \sigma :G\to G,h\mapsto s_{p}\circ h\circ s_{p}}$

は、等方性群Kが不動点群とその単位元成分の間に含まれるような、反転リー群の自己同型です(したがって、開いた部分群です) 。詳細については、Helgason の「微分幾何学、リー群、対称空間」の第 4 章第 3 節、209 ページの定義とそれに続く命題を参照してください。 ${\displaystyle G^{\sigma }}$${\displaystyle (G^{\sigma })_{o}\,,}$

まとめると、M は、コンパクト等方性群Kを持つ対称空間G  /  Kです。逆に、コンパクト等方性群を持つ対称空間は、必ずしも一意的ではありませんが、リーマン対称空間です。リーマン対称空間構造を得るには、恒等剰余類eKでのG  /  Kへの接空間上のK不変内積を固定する必要があります。 Kはコンパクトであるため、このような内積は平均化によって常に存在し、Gと作用することで、 G  /  K上のG不変リーマン計量gを取得します。

G  /  Kがリーマン対称であることを示すために、任意の点p = hK （ Kの剰余類、ただしh ∈ G）を考え、定義する。

${\displaystyle s_{p}:M\to M,\quad h'K\mapsto h\sigma (h^{-1}h')K}$

ここでσ はK を固定したGの反転です。すると、s _{p は}等長写像であり、（明らかに）s _p ( p ) = pであり、（微分することにより） d s _{p はT p} M 上の単位元を引いたものに等しいことが確認できます。したがって、s _{p は}測地線対称であり、p は任意であるため、Mはリーマン対称空間です。

リーマン対称空間Mから始めて、これら 2 つの構成を順に実行すると、得られるリーマン対称空間は元のものと等長になります。これは、「代数データ」( G、K、σ、g ) がMの構造を完全に記述していることを示しています。

リーマン対称空間の代数的記述により、エリー・カルタンは1926 年にそれらの完全な分類を得ることができました。

与えられたリーマン対称空間Mについて、それに関連付けられた代数データを( G , K , σ , g ) とします。 Mの可能な等長類を分類するには、まず、リーマン対称空間の普遍被覆が再びリーマン対称であり、被覆写像が被覆の連結な等長群Gをその中心の部分群で割ることによって記述されることに留意してください。したがって、一般性を失うことなく、 Mは単連結であると仮定できます。 (これは、 Gが仮定によって連結されているため、Kがファイバレーションの長完全列によって連結されていることを意味します。)

単連結リーマン対称空間は、 2 つ以上のリーマン対称空間の積でない場合、既約であると言われます。この場合、任意の単連結リーマン対称空間は既約な空間のリーマン積であることが示されます。したがって、既約な単連結リーマン対称空間の分類にさらに限定することができます。

次のステップは、任意の既約単連結リーマン対称空間Mが次の 3 つのタイプのいずれかであることを示すことです。

1. ユークリッド型: M は曲率がゼロなので、ユークリッド空間に等長です。
2. コンパクト型: M は非負の（ただしゼロではない）断面曲率を持ちます。
3. 非コンパクト型: M は非正の（ただし完全にゼロではない）断面曲率を持ちます。

より洗練された不変量は階数で、これは曲率が恒等的にゼロとなる接空間（任意の点に対して）の部分空間の最大次元です。階数は常に少なくとも 1 であり、断面曲率が正でも負でも等しくなります。曲率が正の場合、空間はコンパクト型であり、負の場合は非コンパクト型です。ユークリッド型の空間は、階数が次元に等しく、その次元のユークリッド空間に等長です。したがって、コンパクト型と非コンパクト型の既約単連結リーマン対称空間を分類することが残っています。どちらの場合も、2 つのクラスがあります。

A. G は（実）単純リー群である。

B. G は、コンパクトな単純リー群とそれ自身との積（コンパクト型）、またはそのようなリー群の複素化（非コンパクト型）のいずれかです。

クラス B の例は、単純リー群の分類によって完全に説明されます。コンパクト型の場合、Mはコンパクトな単連結単純リー群、GはM × M、Kは対角部分群です。非コンパクト型の場合、Gは単連結複素単純リー群、Kはその最大コンパクト部分群です。どちらの場合も、階数はGの階数です。

コンパクト単連結リー群は、古典的なリー群 SO( n )、SU( n )、Sp( n ) と 5 つの例外的なリー群 E ₆、E ₇、E ₈、F ₄、G ₂の普遍被覆です。

クラス A の例は、非コンパクト単連結実単純リー群の分類によって完全に記述されます。非コンパクト型の場合、G はそのような群であり、K はその最大コンパクト部分群です。このような各例には、Kを含むGの複素化の最大コンパクト部分群を考慮することにより、対応するコンパクト型の例があります。より直接的には、コンパクト型の例は、コンパクト単連結単純リー群Gの反転自己同型(共役まで) によって分類されます。このような反転は、Gの複素化の反転にまで拡張され、これらは今度はGの非コンパクト実形式を分類します。

したがって、クラス A とクラス B の両方において、コンパクト型と非コンパクト型の対称空間の間には対応関係があります。これは、リーマン対称空間の双対性として知られています。

カルタンは、クラス A およびコンパクト型のリーマン対称空間に特化して、次の 7 つの無限級数と 12 の例外的なリーマン対称空間G  /  Kがあることを発見しました。これらは、容易に入手できる場合は幾何学的解釈とともに、ここでGとKで示されます。これらの空間のラベルはカルタンによって与えられたものです。

より現代的な分類法 (Huang & Leung 2010) では、コンパクトと非コンパクトの両方のリーマン対称空間を、フロイデンタールの魔方陣構成によって一様に分類しています。 既約コンパクト リーマン対称空間は、有限被覆を除けば、ノルム分割代数AとB のの部分空間のコンパクト単純リー群、グラスマン多様体、ラグランジアン グラスマン多様体、または二重ラグランジアン グラスマン多様体のいずれかです。 同様の構成により、既約非コンパクト リーマン対称空間が生成されます。 ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{n},}$

リーマン対称空間を一般化する対称空間の重要なクラスは擬リーマン対称空間であり、そこではリーマン計量が擬リーマン計量（各接空間上で正定値ではなく非退化）に置き換えられている。特に、ローレンツ対称空間、すなわち符号 ( n − 1,1) のn次元擬リーマン対称空間は一般相対性理論 で重要であり、最も顕著な例はミンコフスキー空間、ド・ジッター空間、反ド・ジッター空間（それぞれ曲率がゼロ、正、負）である。n次元のド・ジッター空間は、 n + 1次元のミンコフスキー空間の 1 枚双曲面と同一視できる 。

一般に対称空間および局所対称空間は、アフィン対称空間とみなすことができます。M = G  /  Hが対称空間である場合、野水は、曲率が平行であるM上に、 G不変の捩れのないアフィン接続（つまり、捩れテンソルが消えるアフィン接続）が存在することを示しまし た。逆に、そのような接続を持つ多様体は局所対称です（つまり、その普遍被覆は対称空間です）。そのような多様体は、測地線対称性がすべて大域的に定義されたアフィン微分同相であるアフィン多様体として記述することもでき、リーマンおよび擬リーマンの場合を一般化します。

リーマン対称空間の分類は、対称空間を既約積に分解する一般的な方法が存在しないという単純な理由から、一般の場合に容易に拡張できない。ここで 、 リー代数

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$

が の既約表現である場合、 は既約であるといわれます。 は一般に半単純(または既約でさえない)ではないため、 は既約ではない分解不可能な表現を持つことがあります。 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

しかし、既約対称空間は分類することができます。野水克己によって示されたように、二分法があります。既約対称空間G  /  Hは平坦 (つまり、アフィン空間) であるか、半単純であるかのどちらかです。これは、ユークリッド空間とコンパクトまたは非コンパクト型の空間との間のリーマン二分法の類似物であり、これが M. Berger が半単純対称空間 (つまり、 半単純なもの) を分類し、どれが既約であるかを決定する動機となりました。後者の問題は、リーマンの場合よりも微妙です。が単純であっても、G  /  H は既約ではない可能性があります。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

リーマンの場合と同様に、G = H × Hとなる半単純対称空間が存在する。任意の半単純対称空間は、この形式の対称空間と、 が単純となるような対称空間との積である。残っているのは後者の場合の記述である。このためには、（実）単純リー代数の反転σを分類する必要がある。が単純でない場合、 は複素単純リー代数であり、対応する対称空間は形式G  /  Hを持ち、ここでH はGの実形式である。これらは、 Gが複素単純リー群でKが最大コンパクト部分群であるリーマン対称空間G  /  Kの類似物である。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

したがって、 は単純であると仮定できます。実部分代数はの複素反線型反転τの不動点集合として見ることができますが、σ はτと可換なの複素反線型反転に拡張され、したがって複素線型反転σ ∘ τにも拡張されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}}$

したがって、この分類は、複素リー代数の反線型反転の可換なペアの分類に帰着します。合成σ ∘ τ は複素対称空間を決定し、τ は実形式を決定します。このことから、任意の に対する対称空間の表を簡単に構築でき、さらに、 σとτ を交換することで明らかな双対性が与えられます。これは、 σまたはτのいずれかがカルタン反転である、つまりその不動点集合が最大コンパクト部分代数である リーマンの場合からコンパクト/非コンパクト双対性を拡張したものです。${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}}$

次の表は、古典的および例外的な複素単純リー群ごとに、実対称空間を複素対称空間と実形式でインデックスします。

例外的な単純リー群については、 σ を恒等反転 (ダッシュで示す) とすることで、リーマンの場合が以下に明示的に含められます。上の表では、これはkl = 0 の場合によって暗黙的にカバーされています。

1950 年代に、アトル・セルバーグはカルタンの対称空間の定義を弱対称リーマン空間、または現在の用語で弱対称空間の定義に拡張しました。これらは、 推移連結な等長写像Gのリー群と、 G を正規化する等長写像σ を持ち、 Mのx、y が与えられたときに、 sx = σyかつsy = σxとなるような等長写像sがGに存在する、というリーマン多様体Mとして定義されます。( σ ^{2 は}Gの要素でなければならないというセルバーグの仮定は、後にアーネスト・ヴィンバーグによって不必要であることが示されました。) セルバーグは、弱対称空間からゲルファント対が生成され、特にL ² ( M )上のGのユニタリ表現は重複度フリーであることを証明しました。

セルバーグの定義は、測地線対称性の一般化という観点からも同等に表現できる。M内のあらゆる点xとxにおける接線ベクトルXに対して、 xとXに依存したMの等長写像sが存在し、

• s はx を修正します。
• sのxにおける導関数はXを − Xに送る。

sがXから独立している場合、M は対称空間です。

弱対称空間とその分類については、複素半単純リー代数の周期的自己同型の分類に基づいて、Akhiezer と Vinberg によって説明されており、Wolf (2007) に掲載されています。

対称空間のいくつかの特性と形式に注目することができます。

リーマン多様体M上の計量テンソルは、キリング形式と組み合わせることでG上のスカラー積に持ち上げることができる。これは次のように定義される。

${\displaystyle \langle X,Y\rangle _{\mathfrak {g}}={\begin{cases}\langle X,Y\rangle _{p}\quad &X,Y\in T_{p}M\cong {\mathfrak {m}}\\-B(X,Y)\quad &X,Y\in {\mathfrak {h}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

ここで、は 上で定義されたリーマン計量であり、はキリング形式です。 マイナス記号が表示されるのは、キリング形式が 上で負定値であるため、 が正定値に なるためです。${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{p}}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle B(X,Y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} X\circ \operatorname {ad} Y)}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}~;}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathfrak {g}}}$

接空間はさらにキリング形式によって分類される固有空間に分解することができる。^[1]これは、次のような 随伴写像を定義することによって達成される。${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}\to {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle Y\mapsto Y^{\#}}$

${\displaystyle \langle X,Y^{\#}\rangle =B(X,Y)}$

ここで は上のリーマン計量であり、 はキリング形式である。この写像は一般化転置と呼ばれることもあり、 は直交群の転置、ユニタリ群のエルミート共役に対応する。これは線型関数であり、自己随伴であるため、の正規直交基底 が存在すると結論付けられる。${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle Y_{i}^{\#}=\lambda _{i}Y_{i}}$

これらは、計量に関して直交しており、

${\displaystyle \langle Y_{i}^{\#},Y_{j}\rangle =\lambda _{i}\langle Y_{i},Y_{j}\rangle =B(Y_{i},Y_{j})=\langle Y_{j}^{\#},Y_{i}\rangle =\lambda _{j}\langle Y_{j},Y_{i}\rangle }$

キリング形式は対称なので、これは固有空間に 分解される。${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {m}}_{d}}$

と

${\displaystyle [{\mathfrak {m}}_{i},{\mathfrak {m}}_{j}]=0}$

について。半単純な場合、キリング形式は非退化なので、計量は同様に因数分解されます。 ${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ={\frac {1}{\lambda _{1}}}\left.B\right|_{{\mathfrak {m}}_{1}}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{d}}}\left.B\right|_{{\mathfrak {m}}_{d}}}$

特定の実際のアプリケーションでは、この因数分解は、キリング形式の固有値が軌道の角運動量のさまざまな値に対応する、たとえば水素原子のスペクトルなどの演算子のスペクトルとして解釈できます (つまり、キリング形式は、さまざまな軌道が変換されるさまざまな表現を分類できるカシミール演算子です)。

対称空間の分類は、キリング形式が定形であるかどうかに基づいて行われます。

ある点におけるリーマン多様体のホロノミー群の恒等成分が接空間に既約に作用する場合、その多様体は局所リーマン対称空間であるか、7 つのファミリーのいずれかに属します。

リーマン対称空間に、リーマン計量と互換性のある平行複素構造を追加で備えたものをエルミート対称空間と呼びます。例としては、通常のリーマン計量を持つ複素ベクトル空間と複素射影空間、および適切な計量によって完全かつリーマン対称になる複素単位球などがあります。

既約対称空間G  /  Kは、 K が中心円を含む場合に限り、エルミートである。この円の 1/4 回転は、恒等剰余類における接空間上のiの乗算として作用する。したがって、エルミート対称空間は分類から簡単に読み取ることができる。コンパクトおよび非コンパクトな両方のケースにおいて、4 つの無限級数、すなわち AIII、 p = 2 のBDI 、DIII、CI と、2 つの例外空間、すなわち EIII および EVII が存在することがわかる。非コンパクトなエルミート対称空間は、複素ベクトル空間内の有界対称領域として実現できる。

各点で虚数四元数に同型で、リーマン計量と互換性のあるEnd(T M )の平行部分束をさらに備えたリーマン対称空間は、四元数-ケーラー対称空間と呼ばれます。

既約対称空間G  /  Kが四元数ケーラー対称空間であるためには、 Kの等方性表現に、四元数ベクトル空間上の単位四元数のように振舞う Sp(1) 加数が含まれる必要がある。したがって、四元数ケーラー対称空間は分類から簡単に読み取ることができる。コンパクトな場合とコンパクトでない場合の両方において、複素単純リー群ごとに 1 つだけ存在することが判明している。すなわち、p  = 2 またはq  = 2 の AI (これらは同型)、p  = 4 またはq  = 4 の BDI、p  = 1 またはq  = 1 の CII、EII、EVI、EIX、FI、および G である。

ボット周期性定理では、安定直交群のループ空間は簡約対称空間として解釈できます。

• 直交対称リー代数
• 相対ルートシステム
• 佐竹図
• カルタン退縮

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