エルデシュ・グラハム問題

組合せ数論において、エルデシュ・グラハム問題とは、集合が${\displaystyle \{2,3,4,\dots \}}$1より大きい整数の集合が有限個のサブセットに分割されると、そのサブセットの1つを使用して、1のエジプト式分数表現を形成できます。つまり、すべての整数に対して、${\displaystyle r>0}$、そしてすべての${\displaystyle r}$1より大きい整数の彩色では、有限個の単色部分集合が存在する。${\displaystyle S}$これらの整数のうち、次のもの。

$\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.}$

さらに詳しく言うと、ポール・エルデシュとロナルド・グラハムは、十分に大きな${\displaystyle r}$最大のメンバー${\displaystyle S}$制限される可能性がある${\displaystyle b^{r}}$ある定数に対して${\displaystyle b}$独立して${\displaystyle r}$これが真実であるためには、${\displaystyle b}$少なくともオイラー定数でなければならない${\displaystyle e}$[ ^{1 ]​}

アーニー・クルートは博士論文の一部としてこの予想を証明し^{[ 2 ]} 、後に（カリフォルニア大学バークレー校の博士研究員時代に）その証明をAnnals of Mathematics誌に発表した^{[ 3 ]}。クルートが与えた値は${\displaystyle b}$非常に大きい: 最大で${\displaystyle e^{167000}}$クルートの結果は、集合の単位のエジプト式分数表現の存在を述べるより一般的な定理の系として導かれる。${\displaystyle C}$滑らかな数の区間の形式${\displaystyle [X,X^{1+\delta }]}$、 どこ${\displaystyle C}$には、それらの逆数の和が少なくとも 6 になるような十分な数が含まれている。エルデシュ・グラハム予想は、この結果から、すべての滑らかな数の逆数の和が少なくとも 6 になるようなこの形式の区間を見つけることができることを示すことによって導かれる。${\displaystyle 6r}$;したがって、整数が${\displaystyle r}$-色付きの場合、単色部分集合が存在する必要がある${\displaystyle C}$クルートの定理の条件を満たす。

結果のより強い形式、すなわち正の上限密度を持つ任意の整数の集合には、1 のエジプト分数表現の分母が含まれるという結果は、2021 年にオックスフォード大学の博士研究員であるThomas Bloomによって発表された。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

• エルデシュの推測

• アーニー・クルートのウェブページ