収縮可能な空間

数学において、位相空間 X は、X上の恒等写像がヌルホモトピックである場合、つまり、ある定数写像にホモトピックである場合に収縮可能である。 ^{[1] [2]}直感的には、収縮可能な空間とは、その空間内のある点に連続的に収縮できる空間である。

収縮可能な空間は、まさに点のホモトピー型を持つ空間です。したがって、収縮可能な空間のすべてのホモトピー群は自明です。したがって、非自明なホモトピー群を持つ空間は収縮できません。同様に、特異ホモロジーはホモトピー不変量であるため、収縮可能な空間の 縮小ホモロジー群はすべて自明です。

空でない位相空間Xに対して、以下はすべて同値です。

• X は収縮可能です (つまり、恒等写像はヌルホモトピックです)。
• X は1 点空間と同値のホモトピーです。
• X 変形は点に収縮します。(ただし、点に強く変形収縮しない収縮可能な空間も存在します。)
• 任意の経路連結空間Yに対して、任意の 2 つの写像f、g : X → Yはホモトピックである。
• 任意の空でない空間Yに対して、任意の写像f : Y → Xはヌルホモトピックである。

空間X上の円錐は常に収縮可能です。したがって、任意の空間は収縮可能な空間に埋め込むことができます (これは、収縮可能な空間の部分空間が必ずしも収縮可能である必要がないことも示しています)。

さらに、Xが収縮可能であるのは、 Xの円錐からXへの収縮が存在する場合のみです。

すべての収縮可能空間は経路連結かつ単連結である。さらに、高次のホモトピー群はすべて消滅するため、すべての収縮可能空間はn ≥ 0 に対してn連結である。

位相空間Xが点 xで局所収縮可能であるとは、 xのすべての近傍 Uに対して、 Uに含まれるxの近傍V が存在し、 VをUに包含することがヌルホモトピックであることを意味する。空間が局所収縮可能であるとは、すべての点で局所収縮可能であることを意味する。この定義は「幾何学的位相学者の局所収縮可能」と呼ばれることもあるが、この用語の最も一般的な用法である。ハッチャーの標準的な代数的位相学のテキストでは、この定義は「弱局所収縮可能」と呼ばれているが、この用語には他の用法もある。

すべての点が収縮可能な近傍の局所基底を持つ場合、 X は強く局所収縮可能であると言えます。収縮可能な空間は必ずしも局所収縮可能ではなく、その逆も同様です。たとえば、くし形空間は収縮可能ですが、局所収縮可能ではありません (もしそうであれば、局所連結になりますが、実際はそうではありません)。局所収縮可能な空間は、すべてのn ≥ 0に対して局所n連結です。特に、局所単純連結、局所パス連結、および局所連結です。円は (強く) 局所収縮可能ですが、収縮可能ではありません。

強い局所縮約性は、局所縮約性よりも厳密に強い特性です。反例は複雑で、最初の反例は、BorsukとMazurkiewiczが論文Sur les rétractes absolus indécomposables、CR. Acad. Sci. Paris 199 (1934)、110-112 で示しています。

どの定義が局所収縮性の「標準」定義であるかについては意見の相違があります。最初の定義は、特に歴史的に幾何学的位相幾何学でより一般的に使用されていますが、2 番目の定義は、位相特性に関する用語「局所」の一般的な使用法に適しています。これらの特性に関する結果を解釈するときは、常に定義に注意する必要があります。

• 任意のユークリッド空間は収縮可能であり、ユークリッド空間上の任意のスタードメインも同様です。
• ホワイトヘッド多様体は収縮可能である。
• 有限次元の球体は収縮できません。
• 無限次元ヒルベルト空間内の単位球面は収縮可能である。
• 2 つの部屋がある家は、収縮可能な空間の標準的な例ですが、直感的にはそうではありません。
• ドゥンセハットは収縮可能ですが、折り畳むことはできません。
• ハワイアンイヤリングの円錐は収縮可能ですが（円錐なので）、局所的に収縮可能ではなく、局所的に単連結でもありません。
• すべての多様体とCW 複合体は局所的には収縮可能ですが、一般には収縮可能ではありません。
• ワルソー円は、位相幾何学者の正弦曲線を(0,−1) と (1,sin(1)) を結ぶ円弧で「閉じる」ことによって得られる。これはホモトピー群がすべて自明な 1 次元連続体であるが、収縮可能ではない。

• フェイク4ボール – 数学的位相多様体