セルバーグ級

数学において、セルバーグ類はL関数の類の公理的定義である。この類の要素はディリクレ級数であり、これは一般にL関数またはゼータ関数と呼ばれるほとんどの関数が満たす本質的な性質を捉えていると思われる 4 つの公理に従う。この類の正確な性質は推測の域を出ないが、類の定義によってその内容の分類や性質の解明、さらには保型形式やリーマン予想との関係についての洞察につながることが期待されている。この類は (Selberg 1992) でアトル・セルバーグによって定義されたが、彼は後の著者が使用した「公理」という言葉を好んで使用しなかった。^[1]

Sクラスの正式な定義は、すべてのディリクレ級数の集合である。

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

Re( s ) > 1に対して絶対収束し、4つの公理（セルバーグの言う仮定）を満たす：

_{μ i}の実部が非負であるという条件は、μ _iが負のときにリーマン予想を満たさないL関数が知られているためです。具体的には、例外的な固有値に関連付けられたマアス形式があり、ラマヌジャン-ピーターセン予想が成り立ち、関数方程式を持ちますが、リーマン予想を満たしません。

θ = 1 の場合、零点が臨界線上にない場合が 含まれるため、θ < 1/2 という条件は重要です。${\displaystyle (1-2^{-s})(1-2^{1-s})}$

この条件がなければ、リーマン予想に違反すること になります。${\displaystyle a_{n}\ll _{\varepsilon }n^{\varepsilon }}$${\displaystyle L(s+1/3,\chi _{4})L(s-1/3,\chi _{4})}$

4. の帰結として、a _nは乗法であり、

${\displaystyle F_{p}(s)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {a_{p^{n}}}{p^{ns}}}{\text{ Re}}(s)>0の場合。}$

Sの元の典型的な例はリーマンゼータ関数である。^[2]別の例としては、モジュラー判別式Δ のL関数がある。

${\displaystyle L(s,\Delta )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

ここでτ( n )はラマヌジャンのタウ関数である。^[3]${\displaystyle a_{n}=\タウ (n)/n^{11/2}}$

既知の例はすべて自己同型L関数であり、F _p ( s )の逆数はp ^{− s}の制限次数の多項式である。^[4]

セルバーグ類の構造に関する最も優れた結果はカチョロウスキーとペレリによるもので、彼らはディリクレL関数（リーマンゼータ関数を含む）が2未満の次数を持つ唯一の例であることを示した^。[5]

リーマンゼータ関数と同様に、 Sの元Fはガンマ因子 γ( s )の極から生じる自明な零点を持つ。その他の零点はFの非自明な零点と呼ばれる。これらはすべて1 − A ≤ Re( s ) ≤ Aの帯に位置する。0 ≤ Im( s ) ≤ TとなるFの非自明な零点の数をN _F ( T )とすると、 ^[6]セルバーグは次を示した。

${\displaystyle N_{F}(T)=d_{F}{\frac {T\log(T+C)}{2\pi}}+O(\log T).}$

ここで、d _{F は}Fの次数（または次元）と呼ばれ、^[7]で与えられる。

${\displaystyle d_{F}=2\sum _{i=1}^{k}\omega _{i}.}$

F = 1 はS内で次数が 1 未満の  唯一の関数であることが示されます。

FとGがセルバーグ類に属する 場合、それらの積もセルバーグ類に属し、

${\displaystyle d_{FG}=d_{F}+d_{G}.}$

Sの関数F ≠ 1は、 SのF _iに対してF  =  F ₁ F ₂と書くと必ずF  =  F ₁またはF  =  F ₂となるとき、原始関数と呼ばれます。d F = 1 の場合、  Fは原始関数です。 Sの関数 F ≠ 1 はすべて_、原始関数の積として書くことができます。以下に説明するセルバーグの予想は、原始関数への因数分解が一意であることを示しています。

原始関数の例としては、リーマンゼータ関数や原始ディリクレ指標のディリクレL関数などがある。以下の予想1と2を仮定すると、ラマヌジャン予想を満たす既約尖点自己同型表現のL関数は原始的である。^[8]

(Selberg 1992)において、SelbergはSの関数に関して次のような予想を立てた。

• 予想1: S内のすべてのFに対して、 Fが原始的である場合は常にn _F  = 1 となる整数n _Fが存在する。$${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {|a_{p}|^{2}}{p}}=n_{F}\log \log x+O(1)}$$
• 予想2: 異なる原始関数F、  F ′ ∈  Sに対して、$${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {a_{p}{\overline {a_{p}^{\prime }}}}{p}}=O(1).}$$
• 予想 3: F がSに含まれ、原始因数分解χ が原始ディリクレ指標であり、関数もSに含まれる場合、関数F _i ^{χ は}Sの原始元である(したがって、それらはF ^χの原始因数分解を形成する)。$${\displaystyle F=\prod _{i=1}^{m}F_{i},}$$$${\displaystyle F^{\chi }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)a_{n}}{n^{s}}}}$$
• Sのリーマン予想: S内のすべてのFに対して、 Fの非自明な零点はすべて直線 Re( s ) = 1/2 上にある。

予想1と予想2は、Fがs = 1でm次の極を持つ場合 、F ( s )/ζ( s ) ^mが完全であることを意味します。特に、これらはデデキントの予想を意味します。^[9]

M. ラム・マーティは(Murty 1994) で、予想 1 と 2 がアルティン予想を意味することを示した。実際、マーティは、有理数体の可解な拡大のガロア群の既約表現に対応するアルティンL関数が、ラングランズ予想で予測されるように保型であることを示した。^[10]

Sの関数は素数定理の類似物も満たす。すなわち、 F ( s ) は直線 Re( s ) = 1 上に零点を持たない。前述のように、予想 1 と 2 はSの関数が原始関数に一意に分解されることを意味している。もう 1 つの帰結は、 Fの原始性がn _F  = 1に等しいことである。 ^[11]

• ゼータ関数の一覧

• セルバーグ、アトレ (1992)、「ディリクレ級数のクラスに関する新旧の予想と結果」、アマルフィ解析数論会議議事録 (マイオーリ、1989)、サレルノ: サレルノ大学、pp. 367–385、MR  1220477、Zbl  0787.11037シュプリンガー・フェアラーク社（ベルリン、1991年）のCollected Papers、第2巻に再録
• Conrey, J. Brian ; Ghosh, Amit (1993)、「ディリクレ級数のセルバーグ類について: 小さな次数」、Duke Mathematical Journal、72 (3): 673–693、arXiv : math.NT/9204217、doi :10.1215/s0012-7094-93-07225-0、MR  1253620、Zbl  0796.11037

• マーティ、M. ラム(1994)、「セルバーグの予想とアルティンのL関数」、アメリカ数学会報、新シリーズ、31 (1): 1–14、arXiv : math/9407219、doi :10.1090/s0273-0979-1994-00479-3、MR  1242382、S2CID  265909、Zbl  0805.11062

• マーティ、M. ラム(2008)、「解析的数論の問題」、Graduate Texts in Mathematics、Readings in Mathematics、第 206 巻 (第 2 版)、Springer-Verlag、第 8 章、doi :10.1007/978-0-387-72350-1、ISBN 978-0-387-72349-5、MR  2376618、Zbl  1190.11001