事実上ハーケン予想

数学の一分野である位相幾何学において、事実上ハーケン予想は、無限基本群を持つコンパクトで向き付け可能な既約な3 次元多様体はすべて事実上ハーケンであるという予想です。つまり、有限被覆 (有限対 1 被覆写像を持つ被覆空間)を持ち、それがハーケン多様体です。

ペレルマンによる幾何化予想の証明後、この予想は双曲型3次元多様体に対してのみ成立するようになった。

この予想は、 1968年の論文^[1]でフリードヘルム・ヴァルトハウゼンが提唱したものとされることが多いが、ヴァルトハウゼン自身が正式に述べたわけではない。この問題は、カービーの問題リスト では問題3.2として正式に述べられている。

この予想の証明は、2012年3月12日にイアン・アゴルがアンリ・ポアンカレ研究所で行ったセミナー講義で発表された。この証明は、その後すぐにプレプリントとして発表され、最終的にはドクメンタ・マセマティカに掲載された。^{[2]この証明は、}ダニエル・ワイズと共同研究者による以前の研究による戦略によって得られ、特定の補助空間（CAT(0)立方体複合体、メディアングラフとしても知られる）に対する基本群の作用に依存していた。 ^{[3]この証明では、}ジェレミー・カーンおよびウラジミール・マルコビッチによる表面部分群予想 の最新の解が不可欠な要素として使われた。^{[4] [5]} アゴルの証明で直接使用された他の結果には、ワイズの異常特殊商定理^[6]や、ニコラス・ベルジェロンとワイズの群の立方化の基準がある。 ^[7]

2018年にピオトル・プリツィティツキとダニエル・ワイズによって関連する結果が得られ、混合3次元多様体も事実上特殊であることが証明されました。つまり、有限被覆を持つ立方体複体に立方化することができ、そこにすべての超平面が埋め込まれ、前述の研究によって事実上ハーケンにすることができるということです。^{[8] [9]}

• 仮想繊維の推測
• 表面部分群の予想
• エーレンプライス予想

• ダンフィールド、ネイサン、サーストン、ウィリアム(2003)、「仮想ハーケン予想: 実験と例」、幾何学とトポロジー、7 : 399–441、arXiv : math/0209214、doi :10.2140/gt.2003.7.399、MR  1988291、S2CID  6265421。
• カービー、ロビオン(1978)、「低次元多様体理論の問題」、代数的および幾何学的位相幾何学 (Proc. Sympos. Pure Math.、スタンフォード大学、スタンフォード、カリフォルニア州、1976)、第 7 巻、pp. 273–312、ISBN 9780821867891、MR  05205​​48。

• Klarreich, Erica (2012-10-02). 「図形を理解する: 双曲幾何学から立方体複合体へ、そしてその逆へ」Quanta Magazine。