ジャグラーシーケンス

数論において、ジャグラー数列は正の整数a ₀で始まり、数列内の後続の各項が再帰関係によって定義される整数列です。 $${\displaystyle a_{k+1}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{\frac {1}{2}}\right\rfloor 、&{\text{if }}a_{k}{\text{ is even}}\\\\\left\lfloor a_{k}^{\frac {3}{2}}\right\rfloor 、&{\text{if }}a_{k}{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$$

ジャグラー数列は、アメリカの数学者で作家のクリフォード・A・ピックオーバーによって発表されました。^{[1]この名前は、数列が}ジャグラーの手の中のボールのように上下に動くことに由来しています。^[2]

例えば、0 = 3で始まるジャグラーのシーケンス _は

${\displaystyle a_{1}=\lfloor 3^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 5.196\dots \rfloor =5,}$

${\displaystyle a_{2}=\lfloor 5^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 11.180\dots \rfloor =11,}$

${\displaystyle a_{3}=\lfloor 11^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 36.482\dots \rfloor =36,}$

${\displaystyle a_{4}=\lfloor 36^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 6\rfloor =6,}$

${\displaystyle a_{5}=\lfloor 6^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 2.449\dots \rfloor =2,}$

${\displaystyle a_{6}=\lfloor 2^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 1.414\dots \rfloor =1.}$

ジャグラー数列が 1 に達すると、後続の項はすべて 1 に等しくなります。すべてのジャグラー数列は最終的に 1 に達すると推測されます。この推測は 10 ⁶までの初期項に対して検証されていますが、^{[3]証明されていません。したがって、ジャグラー数列は}コラッツ予想に似た問題を提示します。これについて、ポール・エルデシュは「数学はまだそのような問題を扱う準備ができていない」と述べています。

与えられた初期項nについて、l ( n ) をnから始まるジャグラー シーケンスが最初に 1 に到達するまでのステップ数と定義し、 h ( n ) をnから始まるジャグラー シーケンスの最大値と定義します。 nの値が小さい場合、次の式が成り立ちます。

ジャグラー数列は、1に下がる前に非常に大きな値に達することがあります。たとえば、0 = 37 から始まるジャグラー数列は、最大値 24906114455136 に達します。ハリー・J・スミスは、0 = 48443 から始まるジャグラー数列は_、 972,463_桁で60_で最大値に達し、その後157で 1 に達することを突き止めました_。^[4]

• 算術ダイナミクス
• コラッツ予想
• 再帰関係

• Weisstein, Eric W.「ジャグラーシーケンス」。MathWorld。
• 整数シーケンスのオンライン百科事典の Juggler シーケンス (A094683) 。次も参照してください。
  • n で開始されたジャグラー シーケンス (A094683) が 1 に到達するまでに必要なステップ数。
  • n は、ジャグラーシーケンス問題で 1 に到達するまでの反復回数の新記録を樹立しました。
  • ジャグラーシーケンスが新しいレコードに到達するステップ数。
  • ジャグラーシーケンス問題で 1 に到達するまでに n 回の反復が必要となる最小の数。
  • 小さい開始値よりも大きいジャグラー番号を生成する開始値。
• コラッツ予想計算センターのジャグラーシーケンス計算機
• ハリー・J・スミスによるジャグラーナンバーページ