非球面空間

数学の一分野である位相幾何学において、非球面空間は、のときにすべてのホモトピー群が0 に等しい位相空間です。 ${\displaystyle \pi_{n}(X)}$${\displaystyle n\not =1}$

CW 複体を扱う場合、この条件を再定式化できます。非球面 CW 複体とは、普遍被覆が収縮可能なCW複体のことです。確かに、ホワイトヘッドの定理により、普遍被覆の収縮可能性は非球面性と同じです。また、空間の高次ホモトピー群とその普遍被覆が同じであることは、ファイブレーションの正確なシーケンスの応用です。(同じ議論により、E がパス連結空間で任意の被覆マップである場合、Bが非球面である場合に限り、Eは非球面です。) ${\displaystyle p\colon E\to B}$

各非球面空間Xは、定義により、型のアイレンバーグ・マクレーン空間であり、 はXの基本群です。また、定義から直接、非球面空間は その基本群の分類空間です (離散位相が備わっている場合は位相群であると見なされます)。 ${\displaystyle K(G,1)}$${\displaystyle G=\pi _{1}(X)}$

• 上記の定義の 2 番目を使用すると、種数が 0 より大きいすべての向き付け可能なコンパクト面は非球面であることが簡単にわかります (それらは、普遍被覆としてユークリッド平面または双曲面のいずれかを持つため)。
• したがって、実射影平面を除くすべての非有向面は、種数 1 以上の有向面で覆うことができるため、非球面でもあると言えます。
• 同様に、任意の数の円の積は非球面です。任意の完全なリーマン平坦多様体も同様です。
• 任意の3 次元双曲多様体は、定義により、 3 次元双曲空間H ³で覆われているため、非球面です。普遍被覆空間が双曲n空間H ⁿである任意のn次元多様体も同様です。
• X  =  G / K を負のタイプのリーマン対称空間とし、ΓをXに自由に作用するG内の格子とする。すると 局所対称空間は非球面となる。 ${\displaystyle \Gamma \backslash G/K}$
• 離散値を持つ体上の単純代数群のBruhat–Tits 構築は非球面です。
• S ³の結び目の補集合は球面定理により非球面である。
• アレクサンドル・D・アレクサンドロフの意味で非正の曲率を持つ距離空間（局所的にはCAT(0)空間）は非球面である。リーマン多様体の場合、これはカルタン・アダマールの定理に従う。この定理はミハイル・グロモフとハンス・ヴェルナー・バルマンによって測地線距離空間に一般化された。このクラスの非球面空間は、これまでに示した例をすべて包含する。
• あらゆるニル多様体は非球面です。

シンプレクティック多様体の文脈では、「非球面」の意味は少し異なります。具体的には、シンプレクティック多様体 (M,ω) がシンプレクティック非球面であるのは、次の場合のみです。

${\displaystyle \int _{S^{2}}f^{*}\omega =\langle c_{1}(TM),f_{*}[S^{2}]\rangle =0}$

連続マッピングごとに

${\displaystyle f\colon S^{2}\to M,}$

ここで、 ωと互換性のあるほぼ複素構造の最初のチャーン類を表します。 ${\displaystyle c_{1}(TM)}$

ストークスの定理によれば、非球面であるシンプレクティック多様体はシンプレクティック非球面多様体でもあることがわかります。しかし、非球面空間ではないシンプレクティック非球面多様体も存在します。^[1]

いくつかの文献^{[2]では、「シンプレクティック非球面」の定義において}c ₁の要件を省略しています。しかし、この弱い条件のみを満たすシンプレクティック多様体は「弱正確」と呼ばれるのが一般的です。

• 非循環空間
• 必須マニホールド
• ホワイトヘッド予想

• マーティン・R・ブリドソン;ヘフリガー、アンドレ(1999)。非正の曲率の計量空間。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 319. ベルリン、ハイデルベルク：シュプリンガー。土井：10.1007/978-3-662-12494-9。ISBN 978-3-642-08399-0. MR  1744486。

• 多様体アトラス上の非球面多様体。