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数学では、連結性[ 1 ]は、ある意味で「すべてが一体である」ことを意味するさまざまな性質を指すために使用されます。数学的対象がそのような性質を持つ場合、それは連結されていると言い、そうでない場合は非連結であると言います。非連結な対象が自然に連結された部分に分割できる場合、各部分は通常、コンポーネント（または連結コンポーネント）と呼ばれます。
位相空間は、互いに素な2つの空でない開集合の和集合でない場合、連結であると言われます。[ 2 ]集合は、その境界上に存在する点を含まない場合、開集合であると言われます。したがって、非公式で直感的な意味では、空間が互いに素な開集合に分割できるという事実は、2つの集合間の境界が空間の一部ではないことを示唆しており、したがって空間を2つの別々の部分に分割します。
数学の分野では、通常、特殊な種類の対象が扱われます。多くの場合、そのような対象は、位相空間として考えたときに連結空間である場合に連結であると言われます。したがって、多様体、リー群、グラフはすべて、位相空間として連結である場合に連結であると言われ、それらの構成要素は位相的構成要素です。このような分野では、連結性の定義を改めて述べると便利な場合があります。たとえば、グラフの各頂点のペアがパスで結ばれている場合、そのグラフは連結であると言われます。この定義は、グラフに適用した場合の位相的定義と同等ですが、グラフ理論の文脈では扱いやすいです。グラフ理論では、連結性の文脈に依存しない尺度として、クラスタリング係数と呼ばれるものも提供されています。
数学の他の分野では、位相空間として扱われることは稀な対象が扱われる。しかしながら、連結性の定義は、何らかの形で位相的な意味を反映していることが多い。例えば、圏論では、圏内の対象のペアが射の列によって結ばれている場合、その圏は連結であると言われる。したがって、圏は直感的に言えば、全体が一体となっている場合に連結であると言える。
連結性には、直感的には似ているものの、形式的に定義された概念としては異なる様々な概念が存在する可能性がある。位相空間内の任意の2点がパスで結ばれている場合、その空間は連結であると定義したいと考えるかもしれない。しかし、この条件は標準的な位相連結性よりも強いことが分かっている。特に、この性質を満たさない連結位相空間も存在する。そのため、異なる用語が用いられる。この性質を持つ空間はパス連結であると言われる。すべての連結空間がパス連結であるとは限らないが、すべてのパス連結空間は連結である。
連結性に関連する用語は、連結性とは関連しているものの、明らかに異なる性質にも使用されます。たとえば、パス連結な位相空間は、その中の各ループ（ある点からその点へのパス）が縮約可能である場合、つまり直感的に言えば、任意の点から他の任意の点へ到達する方法が実質的に1つしかない場合、単連結であると言えます。したがって、球と円盤はそれぞれ単連結ですが、トーラスは単連結ではありません。別の例として、有向グラフは、各頂点の順序対が有向パス（つまり、「矢印に従う」パス）で結ばれている場合、強連結であると言えます。
他の概念は、オブジェクトが接続されていない状態を表す。例えば、位相空間は、その構成要素がすべて一点である場合、完全に非連結である。
連結性の概念に基づく特性やパラメータには、しばしば「連結性」という言葉が用いられます。例えば、グラフ理論では、連結グラフとは、少なくとも１つの頂点を削除して非連結グラフを作成する必要があるグラフのことです。[ 3 ]このことを認識して、このようなグラフは１連結とも呼ばれます。同様に、グラフから少なくとも２つの頂点を削除して非連結グラフを作成する必要があるグラフは２連結です。３連結グラフでは少なくとも３つの頂点を削除する必要があり、以下同様です。グラフの連結性とは、グラフを非連結にするために削除しなければならない最小の頂点数です。言い換えれば、グラフの連結性とは、グラフがk連結となる最大の整数kです。
用語は様々ですが、連結性に関連する特性を表す名詞形には、しばしば「連結性」という用語が含まれます。したがって、単連結な位相空間について議論する際には、 「単連結性」よりも「単連結性」という表現を用いる方がはるかに一般的です。一方、「連結性」という概念が正式に定義されていない分野では、 「連結性」の同義語としてこの言葉が用いられることがあります。
接続性の別の例として、規則的なタイル配置が挙げられます。ここでは、接続性とは、1つのタイルからアクセスできる隣接タイルの数を表します。
