ハンナ・ノイマン予想

数学の分野である群論において、ハンナ・ノイマン予想は、自由群の2つの有限生成部分群の交差の階数に関する予想である。この予想は1957年にハンナ・ノイマンによって提起された。^[1] 2011年に、この予想の強化版（下記参照）がジョエル・フリードマン^{[2]とイゴール・ミネエフ[3]} によって独立に証明された。

2017年に、プロp群の考察に触発されたホモロジー論的議論に基づく強化ハンナ・ノイマン予想の3番目の証明が、アンドレイ・ジャイキン・ザピラインによって発表されました。^[4]

この予想の主題は、もともとは1954年のハウソンの定理^{[5]に端を発するものであり、}自由群の任意の2つの有限生成 部分群の交差は常に有限生成である、つまり有限ランクを持つことを証明した。この論文でハウソンは、HとKが有限ランクn  ≥ 1およびm ≥ 1の自由群F ( X )の部分群である場合、 H  ∩  Kの ランクsは以下を満たすことを証明した。

s  − 1 ≤ 2 mn  −  m  −  nです。

1956年の論文^[6]で、 ハンナ・ノイマンは次のように示してこの境界を改善した。

s  − 1 ≤ 2 mn  −  2m  −  n です。

1957年の補遺^[1]で、ハンナ・ノイマンはこの境界をさらに改良し、上記の仮定の下で

s − 1 ≤ 2( m − 1)( n − 1) である。

彼女はまた、上記の不等式における2の因数は必ずしも必要ではなく、常に

s  − 1 ≤ ( m  − 1)( n  − 1) である。

この主張はハンナ・ノイマン予想として知られるようになりました。

H , K ≤ F ( X )を自由群 F ( X )の2つの非自明な有限生成部分群とし、 L  =  H  ∩  K をHとKの共通部分とする。この場合、予想は次のように述べている。

ランク( L )−1≤(ランク( H )−1)(ランク( K )−1)。

ここで、グループGの場合、量 rank( G ) はGのランク、つまりGの生成セットの最小サイズです。自由グループのすべてのサブグループ自体は自由であることがわかっており、自由グループのランクはその自由グループの任意の自由基底のサイズに等しくなります。

H , K ≤ Gが群 Gの 2 つの部分群であり、a , b ∈ G が同じ二重剰余類 HaK = HbK を定義する場合、部分群H ∩ aKa −1 とH ∩ bKb  −1 は^Gで共役 で あり^、したがって同じランクを持ちます。 H , K ≤ F ( X ) が有限生成自由群 F ( X ) の有限生成部分群である場合、 F ( X )にはH ∩ aKa −1 ≠ {1}となるような二 重 剰余^類クラスHaK が最大で有限個存在することが 知られています。 そのような二重剰余類が少なくとも 1 つ存在し、a ₁ ,..., a _nをそのような二重剰余類のすべての異なる代表とします。息子のWalter Neumann (1990)によって定式化された強化された Hanna Neumann 予想^[7]は、この状況で

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}[{\rm {rank}}(H\cap a_{i}Ka_{i}^{-1})-1]\leq ({\rm {rank}}(H)-1)({\rm {rank}}(K)-1).}$

強化されたハンナ・ノイマン予想は2011年にジョエル・フリードマンによって証明されました。^[2] その後すぐに、イゴール・ミネエフによって別の証明が与えられました。^[3]

• 1971年にバーンズは^[8]ハンナ・ノイマンの1957年の境界を改良し、ハンナ・ノイマンの論文と同じ仮定のもとで、

s≤2mn  − 3m  − 2n + 4です 。

• 1990年の論文^[7]で、ウォルター・ノイマンは強化されたハンナ・ノイマン予想を定式化した（上記の記述を参照）。
• Tardos (1992) ^[9]は、 F ( X ) の部分群HとKの少なくとも 1 つがランク 2 である場合に強化されたハンナ・ノイマン予想を確立しました。ハンナ・ノイマン予想に対する他の多くのアプローチと同様に、Tardos は自由群の部分群とその交差を解析するために Stallings の部分群グラフ^[10]の手法を使用しました。
• ウォーレン・ディックス（1994）^{[11]は、強化されたハンナ・ノイマン予想と、彼が}融合グラフ予想と呼ぶグラフ理論的命題との同等性を確立した。
• Arzhantseva (2000)は^{[12] 、} HがF ( X )の無限指数の有限生成部分群である場合、ある統計的な意味で、の一般有限生成部分群に対して、Fのすべてのgに対してH∩gKg − ¹  ={1} が 成り立つことを証明した。したがって、強化されたハンナ・ノイマン予想はすべてのHと一般Kに対して成り立つ。${\displaystyle K}$${\displaystyle F(X)}$
• 2001年にディックスとフォルマネクは、F ( X )のサブグループHとKの少なくとも1つのランクが最大3である場合の強化ハンナ・ノイマン予想を確立した。 ^[13]
• Khan (2002) ^[14]および独立にMeakinとWeil (2002) ^[15]は、強化されたハンナ・ノイマン予想の結論は、F ( X )のサブグループH、Kの1つが正に生成される場合、つまり、文字としてXの要素のみを含みX ⁻¹の要素を含まない有限の単語集合によって生成される場合に成り立つことを示した。
• イワノフ^{[16] [17]}とディックスとイワノフ^{[18]は、複数の群の}自由積の部分群 HとKの交差に対するハンナ・ノイマンの結果の類似物と一般化を得た。
• ワイズ（2005）は^[19]、強化されたハンナ・ノイマン予想は、捩れを持つすべての1関係群は首尾一貫している（つまり、そのような群のすべての有限生成部分群は有限に提示される）という、もう一つの長年の群論的予想を意味すると主張した。

• 幾何群論