特異点の解決

代数幾何学において、特異点の解決の問題は、すべての代数多様体 Vが、真正な双有理写像W → Vを持つ非特異多様体 Wである解決を持つかどうかを問うものである。標数 0の体上の多様体については、これは1964 年に広中平祐によって証明された。 ^{[1]一方、標数}pの体上の次元が 4 以上の多様体については、これは未解決問題である。^[2]

もともと特異点の解決の問題は、多様体 Xの関数体の非特異モデル、つまり同じ関数体を持つ完全な非特異多様体 X′を見つけることでした 。実際には、次のように異なる条件を求める方が便利です。多様体X が特異点の解決を持つためには、非特異多様体X′と、X′からXへの適切な双有理写像を見つける必要があります。写像が適切であるという条件は、X′ をXの非特異点の部分多様体とするなどの自明な解を排除するために必要です。

より一般的には、より大きな多様体Wに埋め込まれた多様体Xの特異点を解決することがしばしば有用である。 Xの正則多様体Wへの閉じた埋め込みがあるとする。Xの強い非特異点化は、次の条件のいくつかに従う正則多様体W ′からWへの適切な双有理射によって与えられる(条件の正確な選択は著者に依存する)。

1. Xの厳密な変換X′ は正則であり、解像写像の例外的軌跡を横切る（したがって特にXの特異点を解決する）。
2. X′からXへの厳密な変換は、Xの特異点から離れた同型です。
3. W ′ は、 Wの正則閉部分多様体またはXのより強く正則な部分多様体を、前回の展開の例外的な軌跡を横切る形で繰り返し展開することによって構築されます。
4. W ′の構成は、 Wへの滑らかな射と、 Wのより大きな多様体への埋め込みに対して関数的です。(すべての (必ずしも滑らかではない) 射に対して合理的な方法で関数にすることはできません。)
5. X′からXへの射は、XのWへの埋め込みに依存しません。または一般に、ブローアップのシーケンスは滑らかな射に関して関数的です。

広中は、 X が特性 0 の体上で定義されている場合は常に、上記の最初の 3 つの条件を満たす強い特異点除去が存在することを示しました。また、彼の構成は複数の著者によって改良され (以下を参照)、上記のすべての条件を満たすようになりました。

すべての代数曲線には、一意の非特異射影モデルがあります。つまり、すべての解決方法はこのモデルを構築するため、本質的に同じです。高次元では、これは当てはまりません。多様体は、多くの異なる非特異射影モデルを持つことができます。

Kollár (2007) は、曲線の特異点の解決を証明する約 20 の方法を列挙しています。

曲線の特異点の解決は、本質的にはニュートン(1676) によって初めて証明されました。ニュートンは、簡単に解決できる曲線の ピュイズー級数 の存在を示しました。

リーマンは、複素代数曲線の関数体から滑らかなリーマン面を構築し、その特異点の解決を与えました。これは、リーマン面の代わりに体の離散値環の集合を使用することで、より一般的な体に対して行うことができます。

アルバネーゼの方法は、十分に大きな次元（曲線の次数の 2 倍以上）の射影空間に張られる曲線を取り、特異点からより小さな次元の射影空間に繰り返し射影するというものです。この方法は高次元多様体に拡張され、任意のn次元多様体には最大でn !の多重特異点を持つ射影モデルがあることを示しています。曲線の場合、n = 1であり、したがって特異点は存在しません。

Muhly と Zariski (1939) は、曲線の正規化を行うことで曲線の特異点を解決する 1 ステップの方法を提示しました。正規化により、共次元1 のすべての特異点が除去されるため、曲線には有効ですが、高次元では有効ではありません。

曲線の特異点を解決するもう 1 つの 1 ステップの方法は、曲線の関数体の付値環の空間を取ることです。この空間は、元の曲線に対して双有理的な非特異射影曲線にすることができます。

曲線の特異点を繰り返し拡大すると、最終的に特異点は解決されます。この方法の主なタスクは、特異点の複雑さを測定する方法を見つけ、拡大するとこの測定値が向上することを示すことです。これを行うには多くの方法があります。たとえば、曲線の 算術種数を使用できます。

ノイマン法は、平面曲線を取り、二次変換を繰り返し適用します (特異点と一般的な位置にある 2 つの点によって決定されます)。最終的に、この方法で、通常の多重点のみが特異点である平面曲線が生成されます (すべての接線の多重度は 2 です)。

ベルティーニ法はノイマン法に似ています。平面曲線から始めて、平面に双有理変換を繰り返し適用して曲線を改善します。双有理変換はノイマン法で使用される二次変換よりも複雑ですが、特異点が通常の二重点のみになるというより良い結果が得られます。

サーフェスには、さまざまな非特異射影モデルがあります (非特異射影モデルが一意である曲線の場合とは異なります)。ただし、サーフェスには、他のすべての要素が通過する一意の最小解像度があります (他のすべての要素はその解像度です)。高次元では、最小解像度が存在する必要はありません。

複素数上の曲面の分解を証明する試みは Del Pezzo (1892)、Levi (1899)、Severi (1914)、Chisini (1921)、および Albanese (1924) によっていくつか行われたが、Zariski (1935、第 1 章第 6 節) は、これらの初期の試みはどれも完全ではなく、議論の重要なポイントですべてが曖昧 (または間違っている) であると指摘している。最初の厳密な証明は Walker (1935) によって与えられ、特性 0 のすべての体に対する代数的証明は Zariski (1939) によって与えられた。Abhyankar (1956) は特性が 0 でない曲面に対する証明を与えた。特異点の分解は、Lipman (1978) によってもすべての優れた2 次元スキーム (すべての算術曲面を含む) に対して示されている。

ザリスキの曲面の特異点解決法は、曲面の正規化 (余次元 1 の特異点を解消) と点の爆発 (余次元 2 の特異点を改善するが、余次元 1 の新しい特異点を導入する可能性がある) を交互に繰り返し行うというものである。これは曲面の特異点を単独で解決するが、ザリスキはより回りくどい方法を使用した。彼はまず、曲面のすべての付値が解決できることを示す局所均一化定理を証明し、次にザリスキ-リーマン面のコンパクト性を使用して、各付値の中心がこれらの曲面の少なくとも 1 つ上で単純であるような有限の曲面集合を見つけることが可能であることを示し、最後に、曲面間の双有理写像を調べることにより、この有限の曲面集合を単一の非特異曲面に置き換えることができることを示した。

曲線に強い埋め込み分解を適用することで、ユング (1908) は、特殊な特異点 (アーベル商特異点) のみを持つ曲面に縮小し、これを明示的に処理します。この方法の高次元バージョンがデ ジョンの方法となります。

一般に、曲線に対するアルバネーゼ法の類似物は、任意の多様体に対して、最大でn ! のオーダーの特異点に還元できることを示しています。ここで、nは次元です。曲面の場合、これはオーダー 2 の特異点の場合に還元され、明示的に行うのは簡単です。

Abhyankar (1956) は、付値環の局所的均一化定理を証明することによって、任意の特性を持つ体上の曲面の特異点の解決を証明しました。最も難しいケースは、付値群が有理数の非離散部分群であるランク 1 の付値環です。残りの証明は、Zariski の方法に従います。

任意の特性多様体に対する広中法は、特異集合内の点または滑らかな曲線を繰り返し拡大することを伴う、曲面の解決法を与えます。

Lipman (1978) は、曲面Y (2 次元の縮小ノイザン スキーム) が非特異点化を持つのは、その正規化が Y 上で有限かつ解析的に正規(その特異点の完備化が正規) であり、有限個の特異点しかない場合のみであることを示しました。特に、Yが優れた場合、非特異点化を持ちます。

彼の方法は、 Yへの双有理真写像を持つ正規曲面Z を考え、可能な算術種数が最小である極小の曲面が存在することを示すというものでした。次に、この極小Zのすべての特異点は擬似有理数であることを示し、擬似有理数特異点は点を繰り返し爆破することで解決できることを示しています。

高次元における特異点の解決の問題は、多くの誤った証明が公表されたり、証明が発表されたにもかかわらず発表されなかったりすることで有名です。

3 次元多様体の場合、特異点の解決は、特性 0 でザリスキ (1944) によって証明されました。彼はまず、特性 0 の任意の体上の任意の次元の多様体に対して有効な、付値環の局所的均一化に関する定理を証明しました。次に、付値のザリスキ-リーマン空間が準コンパクトであることを示しました (任意の体上の任意の次元の任意の多様体に対して)。これは、任意の射影多様体のモデルの有限族が存在し、任意の付値はこれらのモデルの少なくとも 1 つに対して滑らかな中心を持つことを意味します。証明の最後の最も難しい部分は、多様体が次元 3 であるがすべての特性に対して機能するという事実を使用し、2 つのモデルが与えられた場合、2 つのモデルのそれぞれが解決する特異点を解決する 3 番目のモデルを見つけることができることを示すことです。

Abhyankar (1966) は、特性が 6 より大きい 3 次元多様体の特異点の解決を証明しました。特性の制限は、Abhyankar が、特性より小さい多重度の 3 次元多様体の任意の特異点を解決できることを示し、次に Albanese の方法を使用して、特異点は多重度が最大で (次元)! = 3! = 6 の特異点にまで縮小できることを示したために生じます。Cutkosky (2009) は、Abhyankar の証明の簡略版を示しました。

Cossart と Piltant (2008、2009) は、最大 3 次元での局所均一化を証明し、これが 3 次元多様体の特異点の解決を意味するという Zariski の証明が正の特性の場合にも依然として機能することを確認することで、すべての特性における 3 次元多様体の特異点の解決を証明しました。

すべての次元における標数 0 の特異点の解決は、弘中 (1964) によって初めて証明されました。彼は、標数 0 の体上の多様体の特異点を、特異でない部分多様体に沿って繰り返し爆発させることによって解決できることを、次元に関する帰納法による非常に複雑な議論を用いて証明しました。彼の強力な証明の簡略化されたバージョンは、Bierstone & Milman (1991)、Bierstone & Milman (1997)、Villamayor (1992)、Encinas & Villamayor (1998)、Encinas & Hauser (2002)、Wlodarczyk (2005)、Kollár (2007) を含む数人の人々によって与えられました。最近の証明のいくつかは、弘中の元の証明の約 10 分の 1 の長さであり、大学院の入門コースで提供できるほど簡単です。定理の解説については(Hauser 2003)を、歴史的な議論については(Hauser 2000)を参照してください。

de Jong (1996) は、特異点の解決に対する別のアプローチを発見し、Jung の曲面法を一般化しました。これは Bogomolov & Pantev (1996) および Abramovich & de Jong (1997) によって、特性 0 における特異点の解決を証明するために使用されました。De Jong の方法は、特性pにおけるすべての次元の多様体に対して弱い結果を与えましたが、これは多くの目的で解決の代替として機能するのに十分強力です。De Jong は、体上の任意の多様体Xに対して、正則多様体からXへの次元を保存する優勢な固有射が存在することを証明しました。これは双有理写像である必要はなく、したがって特異点の解決ではありません。これは一般に 1 に有限であり、そのためXの関数体の有限拡大を伴う可能性があるためです。 De Jong のアイデアは、曲線であるファイバーを持つより小さな空間Y上のファイバー化としてX を表現し(これにはX の修正が含まれる場合があります)、次元の帰納法によってYの特異点を除去し、最後にファイバー内の特異点を除去するというものでした。

解決の定義をすべてのスキームに拡張するのは簡単です。すべてのスキームが特異点の解決を持つわけではありません。Grothendieck & Dieudonné (1965、セクション 7.9) は、局所ノイザン スキームXが、 X上の任意の有限積分スキームの特異点を解決できるという特性を持つ場合、X は準優秀でなければならないことを示しまし た。Grothendieck はまた、その逆が成り立つ可能性を示唆しました。言い換えると、局所ノイザン スキームXが簡約され、準優秀である場合、その特異点を解決できます。X が特性 0 の体上で定義され、ノイザンである場合、これは弘中の定理から従い、 X の次元が最大で 2 である場合はLipman によって証明されました。

Hauser (2010) は、未解決の特性p解決問題に関する研究の調査を行いました。

強い非特異化の構成は多数あるが、それらはすべて本質的に同じ結果をもたらす。どの場合も、グローバル オブジェクト (非特異化される多様体) はローカル データ (多様体のイデアル層と例外因子のイデアル層、およびそのステップでイデアルをどれだけ解決するかを表すいくつかの順序) に置き換えられる。このローカル データを使用して、爆発の中心が定義される。中心はローカルに定義されるため、それらがグローバル中心に一致することを保証するのは困難である。これは、各イデアルを解決するためにどのような爆発が許されるかを定義することによって実行できる。適切に実行すれば、中心は自動的に一致する。別の方法は、多様体と解決の履歴 (以前のローカル中心) に応じてローカル不変量を定義し、中心が不変量の最大軌跡で構成されるようにすることです。この定義は、この選択を行うことが意味を持ち、例外因子を横断する滑らかな中心を与えるように行われます。

どちらの場合でも、問題は、イデアル層と追加データ (例外的な因子と、そのイデアルの解決が到達すべき順序d ) によって形成される組の特異点を解決することに帰着します。この組はマークされたイデアルと呼ばれ、イデアルの順序がdより大きい点の集合はその共サポートと呼ばれます。マークされたイデアルに解決が存在することの証明は、次元に関する帰納法によって行われます。帰納法は 2 つのステップに分かれています。

1. n − 1次元のマーク付きイデアルの関数的非特異化は、n 次元の最大位数のマーク付きイデアルの関数的非特異化を意味します 。
2. n次元の最大位数のマーク付きイデアルの関数的非特異化は、n次元の（一般の）マーク付きイデアルの関数的非特異化を意味します 。

ここで、マーク付きイデアルが最大位数であるとは、その共台のある点においてイデアルの位数が dに等しい場合を言います。強分解の重要な要素は、多様体内の点の局所環のヒルベルト・サミュエル関数の使用です。これは、分解不変量の要素の 1 つです。

特異点の最も明白な不変量はその多重度です。しかし、これは爆発しても減少する必要はないので、改善を測定するにはより微妙な不変量を使用する必要があります。

たとえば、斜方尖 y ² = x ⁵は原点で 2 次の特異点を持ちます。特異点で爆発すると、通常の尖y ² = x ³になりますが、重複度は依然として 2 です。

多項式を定義する次数が減ったので、特異点が改善されたことは明らかです。これは一般には起こりません。そうならない例としては、 原点におけるx ² + y ³ z + z ³ = 0 の孤立した特異点が挙げられます。これを拡大すると、特異点 x 2 + y 2 z + yz 3 = 0 になります。両方^の特異点^の重複度は²で、次数 2、3、4 の単項式の合計で与えられるため、この新しい特異点が優れていることはすぐにはわかりません。

特異点を改善する自然なアイデアは、「最悪の」特異点の軌跡を爆破することです。 ホイットニー傘 x ² = y ² z はz軸を特異点とし、その点のほとんどは通常の二重点ですが、原点にはより複雑なピンチ ポイント特異点があるため 、最悪の特異点を爆破するには、まず原点を爆破する必要があります。ただし、原点を爆破すると、座標チャートの 1 つに同じ特異点が再現されます。したがって、(明らかに)「最悪の」特異点を爆破しても、特異点は改善されません。代わりに、特異点はz軸に沿って爆破することで解決できます。

(Bierstone & Milman 1997) のように、ある意味で「最悪の」特異点を爆発させることで機能するアルゴリズムがありますが、この例は、「最悪の」点の定義が非常に微妙である必要があることを示しています。

x = yz =0に沿って特異なx ² = y ^m z ⁿなどのより複雑な特異点の場合、原点で最悪の特異点を拡大すると、mとnが両方とも 3 以上であれば、元の特異点よりも悪い特異点x ² = y ^{m + n −2} z ⁿ とx ² = y ^m z ^{m + n −2}が生成されます。

解決後、全変換 (厳密な変換と例外的な因子の和) は、単純正規交差タイプの特異点を持つ多様体です。このタイプの特異点を解決せずに特異点を解決する可能性を考慮するのは自然であり、これは滑らかで単純な正規交差点の集合上の同型である解決を見つけることです。厳密な変換が因子である場合 (つまり、滑らかな多様体の余次元1 のサブ多様体として埋め込むことができる場合)、単純正規交差点を回避する強い解決が存在することが知られています。ホイットニーの傘は、正規交差特異点を爆破することを避けて特異点を解決することは不可能であることを示しています。

特異点を解決する自然な方法は、標準的に選択された滑らかな部分多様体を繰り返し拡大することです。これは次の問題にぶつかります。x ² = y ² z ^{2の特異集合は、} y軸とz軸によって与えられる直線のペアです。拡大する合理的な多様体は、原点、これら 2 つの軸の 1 つ、または特異集合全体 (両方の軸) のみです。ただし、特異集合全体は滑らかでないため使用できず、2 つの軸の 1 つを選択するとそれらの間の対称性が壊れるため標準的ではありません。つまり、原点を拡大することから始めなければなりませんが、これは元の特異点を再現するため、堂々巡りをしているように見えます。

この問題の解決方法は、原点を爆破しても特異点の種類は変わりませんが、微妙な改善が見られるというものです。つまり、2 つの特異軸の 1 つが以前の爆破の例外的な約数であるため、2 つの特異軸間の対称性が崩れ、そのうちの 1 つだけを爆破することが許されるようになります。ただし、これを利用するには、解決手順で、これら 2 つの特異点を、局所的には同一であっても、別々に扱う必要があります。これは、解決手順にメモリを与えることによって行われる場合があり、各ステップでの爆破の中心は、特異点だけでなく、それを生成するのに使用された以前の爆破にも依存します。

いくつかの分解法（特性 0 の場合）は、すべての滑らかな射に対して関数的です。しかし、すべての（滑らかでない可能性のある）射に対して強い分解関数を見つけることはできません。例として、アフィン平面A ²から円錐特異点x ² + y ² = z ^{2への写像（ (} X , Y ) を (2 XY , X ² − Y ² , X ² + Y ² )に取る）が挙げられます。 XY平面は既に特異ではないため、分解によって変更されるべきではなく、円錐特異点の分解は、特異点をブローアップすることによって与えられる最小の分解を通じて因数分解されます。しかし、 XY平面からこのブローアップへの有理写像は、通常の写像には拡張されません。

最小解法（あらゆる解法がそれを通り抜けるような解法）は次元 1 と 2 に存在するが、より高次元では必ずしも存在するわけではない。アティヤ・フロップは、最小解法のない特異点の 3 次元の例を示している。Y をA ⁴におけるxy = zwの零点とし、V をYの原点における爆発とする。この爆発の例外的な軌跡はP ¹ × P ¹と同型であり、 2 つの異なる方法でP ¹に爆発させることができ、 Yの2 つの小さな解法X ₁とX ₂を与えるが、どちらもそれ以上爆発させることはできない。

Kollár (2007、例 3.4.4、121 ページ) は、十分に優れた解決手順が積と可換であるとは期待できないことを示す次の例を示しています。f : A → Bがアフィン3 次元空間の2 次円錐Bの原点の爆発である場合、例外的な軌跡には交差する 2 つの要素があるため、基本的にエタールの局所解決手順ではf × f : A × A → B × Bを生成することはできません。

トーリック多様体の特異点は、明示的に解決しやすい高次元特異点の例です。トーリック多様体は、格子内の円錐の集合である扇によって定義されます。特異点は、各円錐を格子の基底によって生成される円錐の和集合に細分化し、対応するトーリック多様体を取ることで解決できます。

多様体Xの非特異化の構成は、 Xの滑らかな部分多様体である爆発の中心を生成しない可能性がある。抽象多様体 X の非特異化の構成の多くは、 Xを滑らかな多様体Wに局所的に埋め込み、 Wにおけるそのイデアルを考慮し、このイデアルの標準的な非特異化を計算することによって進められる。イデアルの非特異化では、イデアルの位数を、イデアルがどれだけ特異であるかの尺度として使用する。イデアルの非特異化は、局所中心がパッチを当てて大域中心を与えることを正当化できるように作成することができる。この方法は、特異点の悪さの尺度としてヒルベルト-サミュエル関数を使用する弘中の元の証明と比較して、提示が比較的簡単な証明につながる。たとえば、Villamayor (1992)、Encinas & Villamayor (1998)、Encinas & Hauser (2002)、および Kollár (2007) の証明はこのアイデアを使用している。ただし、この方法では、 W内で正規の爆発中心のみが保証されます。

次の例は、この方法が（の厳密な変換） Xと滑らかでない交差を持つ中心を生成できることを示しています。^{[3]したがって、結果として得られる特異点除去は、抽象多様体}Xに制限された場合、 Xの通常の部分多様体を爆破することによっては得られません。

X を、 y ² - x ³とx ⁴ + xz ² - w ³によって生成される、座標x、y、z、wを持つ 4 次元アフィン平面の部分多様体とします。これらの生成元によるイデアルの標準的な非特異点化は、x = y = z = w =0で与えられる中心C _{0を爆発させます。} xチャートでのイデアルの変換は、 x - y ²とy ² ( y ² + z ² - w ³ )によって生成されます。 C _{1 を}爆発させる次の中心は、 x = y =0で与えられます。ただし、 Xの厳密な変換はX ₁であり、 x - y ²とy ² + z ² - w ³によって生成されます。これは、 C ₁とX ₁の交差がx = y =0 およびz ² - w ³ =0で与えられることを意味し、これは正則ではありません。

Xの正規部分多様体である爆発の中心を生成するには、 Wの局所埋め込みにおけるイデアルの順序ではなく、Xの局所環のヒルベルト・サミュエル関数を使用する方がより強い証明となる。^[4]

解決後、全変換、すなわち厳密な変換Xと例外因子の和集合は、せいぜい単純な正規交差特異点を持つようにできる多様体である。すると、この種の特異点を解決せずに特異点を解決する可能性を考えるのは自然なことである。問題は、滑らかで単純な正規交差点の集合上の同型である解決を見つけることである。Xが因子である場合、つまり滑らかな多様体の余次元 1 の部分多様体として埋め込むことができる場合、単純な正規交差点を回避する強い解決が存在することが知られている。一般的な場合や、さまざまなタイプの特異点を回避するための一般化はまだわかっていない。^[5]

特定の特異点を回避することは不可能です。たとえば、法線交差特異点を爆破せずに特異点を解決することはできません。実際、ピンチ ポイント特異点を解決するには、法線交差特異点が存在するポイントを含め、特異点軌跡全体を爆破する必要があります。

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• 特異点の解決 I、弘中氏の講演のビデオ。
• 代数幾何学における特異点の解決、弘中氏の講演のビデオ。
• 特異点とその解決のいくつかの写真
• SINGULAR: 特異点を解決するためのパッケージを備えたコンピュータ代数システム。
• 1997 年 9 月 7 日～14 日、オーストリア、チロル州オーバーグルグルで開催された「特異点解決に関するワーキング ウィーク チロル 1997」のノートと講義
• 2006 年 6 月、イタリアのトリエステで開催された「特異点の解決」に関するサマー スクールの講義ノート。
• desing - 特異点を解決するためのコンピュータプログラム
• 特異点の解決に関するいくつかの解説論文が掲載されているハウザーのホームページ