ハッセ原理

数学において、ヘルムート・ハッセの局所-大域原理（ハッセ原理とも呼ばれる）は、中国式剰余定理を用いて、異なる素数それぞれのべき乗を法として解をつなぎ合わせることで、方程式の整数解を見つけることができるという考え方である。これは、有理数の完備化、すなわち実数とp進数で方程式を調べることで処理されます。ハッセ原理のより正式なバージョンでは、特定のタイプの方程式が有理数解を持つのは、各素数pに対して実数とp進数で解を持つ場合のみであると述べられています。

有理係数の多項式方程式が与えられた場合、それが有理解を持つなら、有理数が実数と p 進数に埋め込まれるので、実数解と p 進数解も得られます。つまり、大域解は各素数で局所解を生み出します。ハッセ原理は、逆のことがいつできるか、あるいはむしろ何が障害であるかを尋ねます。つまり、実数とp進数上の解をつなぎ合わせて有理数上の解を生み出すことができるのはいつか、つまり局所解を結合して大域解を形成できるのはいつか、ということです。

これを他の環や体、たとえば整数や数体にも求めることができます。数体の場合、実数やp進数ではなく、素イデアルに対して複素埋め込みと - 進数を使用します。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

ハッセ・ミンコフスキーの定理は、局所大域原理が、すべての適切な局所体必要条件を用いると、有理数上の二次形式で 0 を表現する問題(ミンコフスキーの結果) およびより一般的には任意の数体(ハッセによって証明された)に対して成立することを述べています。巡回拡大に関するハッセの定理は、局所大域原理が数体の巡回拡大の相対ノルムであるという条件に適用されることを述べています。

エルンスト・S・セルマーによる反例は、ハッセ・ミンコフスキーの定理が3次の形式に拡張できないことを示している。3次方程式3 x ³  + 4 y ³  + 5 z ³  = 0は実数とすべてのp進体で解を持つが、x、y、zがすべて有理数である非自明な解は存在しない。^[1]

ロジャー・ヒース・ブラウンは^[2]、少なくとも14個の変数を持つ整数上のすべての3次形式は0を表すことを示しました。これは、ダベンポートの以前の結果を改善したものです。^[3]少なくとも10個の変数を持つp進数上のすべての3次形式は0を表すので、^[2]局所-大域原理は少なくとも14個の変数を持つ有理数上の3次形式に対して自明に成り立ちます。

非特異形式に限定すれば、これよりも良い方法がある。ヒース＝ブラウンは、少なくとも 10 変数の有理数上のすべての非特異 3 次形式は 0 を表すことを証明し、^[4]この形式のクラスに対するハッセ原理を自明に確立した。ヒース＝ブラウンの結果は、0 を表しない 9 変数の有理数上の非特異 3 次形式が存在するという意味で最良であることが知られている。^[5]しかし、フーリーは、ハッセ原理は、少なくとも 9 変数の有理数上の非特異 3 次形式による 0 の表現に対して成り立つことを示した。^{[6]ダベンポート、ヒース＝ブラウン、フーリーは、いずれも証明に}ハーディ＝リトルウッド円法を使用した。マニンのアイデアによれば、ハッセ原理が 3 次形式で成り立つことに対する障害は、ブラウアー群の理論に結び付けることができる。これはブラウアー・マニン障害であり、これはハッセ原理がいくつかの種類の多様体に対して成り立たないことを完全に説明する。しかし、スコロボガトフはブラウアー・マニン障害がハッセ原理の成り立たないことのすべてを説明できるわけではないことを示した。^[7]

藤原と須藤による反例は、ハッセ・ミンコフスキーの定理が10n+5次の形式には拡張できないことを示している。ここでnは非負の整数である。^[8]

一方、バーチの定理は、d が任意の奇数の自然数である場合、 N ( d )を超える変数の次数dの任意の形式が0 を表す数N ( d ) が存在することを示しています。つまり、ハッセ原理は自明に成り立ちます。

アルバート・ブラウアー・ハッセ・ノイマンの定理は、代数体K上の中心単純代数 Aの分割に対する局所-大域原理を確立します。これは、A がすべての完備化K _v上で分割される場合、 K上の行列代数と同型であると述べています。

代数群のハッセ原理は、Gが大域体 k上で定義された単連結代数群である場合、写像

${\displaystyle H^{1}(k,G)\rightarrow \prod _{s}H^{1}(k_{s},G)}$

は単射であり、積はkのすべての位置sにわたって存在します。

直交群のハッセ原理は、対応する二次形式のハッセ原理と密接に関連しています。

Kneser (1966) と他の数人は、各グループについてケースごとに証明することでハッセ原理を検​​証しました。最後のケースはグループE ₈で、これは他のケースより何年も後に Chernousov (1989) によってようやく完成されました。

代数群のハッセ原理は、玉川数に対するヴェイユ予想や強近似定理の証明に使われた。

• ローカル分析
• グルンワルド・ワンの定理
• グロタンディーク・カッツの p-曲率予想

• チェルノソフ、VI (1989)、「E8 型群のハッセ原理」、ソビエト数学文書、39 :592–596、MR  1014762
• Kneser, Martin (1966)、「単純連結群の H¹ に対するハッセ原理」、代数群と不連続部分群 (Proc. Sympos. Pure Math.、コロラド州ボルダー、1965)、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、pp. 159–163、MR  0220736
• セルジュ・ラング(1997)。ディオファントス幾何学の調査。スプリンガー・フェルラーグ。 250–258ページ。ISBN 3-540-61223-8。
• アレクセイ・スコロボガトフ (2001)。トルソルと有理点。ケンブリッジ数学論文集。第 144 巻。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。pp. 1–7, 112。ISBN 0-521-80237-7。

• 「ハッセ原理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• PlanetMath の記事は 2004-03-13 にWayback Machineでアーカイブされています
• スウィナートン・ダイアー『ディオファントス方程式：進歩と問題』オンラインノート
• J.フランクリン、「グローバルとローカル」、Mathematical Intelligencer 36 (4) (2014年12月)、4-9。