ホップ予想

数学において、ホップ予想は、ハインツ・ホップに帰せられる微分幾何学と位相幾何学からのいくつかの予想的命題の 1 つを指す場合があります。

ホップ予想は、大域リーマン幾何学における未解決問題です。これは、 1931 年のハインツ ホップの疑問に遡ります。現代の定式化は次のようになります。

正の断面曲率を持つコンパクトな偶数次元リーマン多様体は、正のオイラー特性を持ちます。負の断面曲率を持つコンパクトな (2 d ) 次元リーマン多様体は、符号 のオイラー特性を持ちます。${\displaystyle (-1)^{d}}$

面の場合、これらのステートメントはガウス・ボネ定理から従います。4次元多様体の場合、これは基本群の有限性と ポアンカレ双対性、および4 次元多様体に対するオイラー特性とSynge の定理を等しくするオイラー・ポアンカレ公式 から従い、これにより配向被覆 が単連結であることが保証され、ベッティ数はが消えます。4 次元多様体の場合、ステートメントは1955 年にJohn Milnorによって指摘されたチャーン・ガウス・ボネ定理( 1955 年にShiing-Shen Chernによって書き留められました。 ^{[1] ) からも従います。6 次元以上の多様体の場合、この予想は未解決です。Robert} Gerochの例は、チャーン・ガウス・ボネ積分関数が に対して負になる可能性があることを示していました。^[2]ただし、正の曲率の場合は、 (ホップ)内の超曲面または に埋め込まれた余次元 2 つの曲面に対して成り立つことが知られています。^[3] 十分にピンチされた正の曲率多様体の場合、ホップ予想 (正の曲率の場合) は球面定理から従います。この定理もホップによって最初に予想されました。攻撃方法の 1 つは、より対称性の高い多様体を探すことです。たとえば、既知の正の断面曲率の多様体はすべて等長円作用を許容するなど、特別な点があります。対応するベクトル場はキリング ベクトル場と呼ばれます。この予想（正の曲率の場合）は、k次元トーラスの等長トーラス作用を許容する次元またはの多様体、および主等方性部分群Hと共同性kを持つコンパクトリー群Gの等長作用を許容する多様体Mに対しても証明されている。対称性を持つ多様体に関する参考文献としては、 ^[4]と^[5]がある。${\displaystyle b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}}$${\displaystyle b_{1}=b_{3}=0}$${\displaystyle d>2}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2d+1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2d+2}}$${\displaystyle 4k+2}$${\displaystyle 4k+4}$ ${\displaystyle k-(\operatorname {rank} G-\operatorname {rank} H)\leq 5.}$

この問題の歴史について：この予想が最初に文書で明示的に登場したのは、ドイツ数学会の議事録^[6]である。これは、ハインツ・ホップが1931年春にスイスのフリブー​​ルで、 1931年秋にバート・エルスターで行った講演を基にした論文である。マルセル・ベルガーは彼の著書^[7]でこの予想について論じており、1920年代のホップの研究がこの種の問題に影響を受けたと指摘している。この予想は、1982年の「ヤウの問題」^{[8]に問題8（正曲率の場合）と問題10（負曲率の場合）として挙げられている。}

曲率がゼロになることも許される場合、類似の予想が存在する。この発言はホップの発言とみなされるべきである（例えば1953年にイタリアで行われた講演）。^[9]

非負の断面曲率を持つコンパクトな偶数次元リーマン多様体は、非負のオイラー特性を持ちます。非正の断面曲率を持つコンパクトな (2d) 次元リーマン多様体は、符号またはゼロのオイラー特性を持ちます。${\displaystyle (-1)^{d}}$

このバージョンは、論文^[10]の質問1のように述べられており、その後Chernの論文^{[11]にも述べられています。}

この予想が確認される例としては、曲率符号 を持つ 2 次元多様体の積が挙げられます。オイラー特性は 符号 を持つ を 満たすので、この場合には符号予想が確認されます (すべての k に対して であれば、 となり、すべての k に対して であれば、偶数 d に対して となり、奇数 d に対して となり、 の 1 つがゼロであれば となります)。 ${\displaystyle M=M_{1}\times M_{2}\times \cdots \times M_{d}}$${\displaystyle e_{k}\in \{-1,0,1\}}$${\displaystyle \chi (M)=\prod _{k=1}^{d}\chi (M_{k})}$${\displaystyle \prod _{k=1}^{d}e_{k}}$${\displaystyle e_{k}>0}$${\displaystyle \chi (M)>0}$${\displaystyle e_{k}$${\displaystyle \chi (M)>0}$${\displaystyle \chi (M)<0}$${\displaystyle e_{k}}$${\displaystyle \chi (M)=0}$

ホップは、1次の有向閉多様体の連続自己写像はすべて必ずホモトピー同値であるかどうかを問うた。^[12]

次数 1 の任意の写像が 上の全射を誘導することは容易にわかります。そうでない場合は、 は非自明な被覆空間を介して因数分解されるため、次数 1 の仮定に矛盾します。 ${\displaystyle f\colon M\to M}$${\displaystyle \pi_{1}}$${\displaystyle f}$

これは、ホップ群に対して予想が成り立つことを意味し、ホップ群に対しては が上の同型であり、したがってホモトピー同値であることがわかります。 ${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle \pi_{1}}$

しかし、ホップ派以外のグループもいくつか存在します。

ホップのもう一つの有名な問題はホップ積予想です。

4 次元多様体は正の曲率を持つ計量を持つことができますか?${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$

この予想は1968年のグロモル、クリンゲンベルク、マイヤーの著書^[13]で広く知られるようになり、ヤウの問題リストでは問題1として目立つように示されました。^[8] シン・トン・ヤウはそこで興味深い新しい観察（予想として再定式化できる）を定式化しました。

厳密に正の曲率の計量を許容しない、非負の断面曲率を持つコンパクトな単連結多様体の例は知られていない。

現在、4 次元球面と複素射影平面は、正の曲率の計量を許容することが知られている唯一の単連結 4 次元多様体です。かつて Wolfgang Ziller は、これが完全なリストである可能性があり、次元 5 では、正の曲率の単連結 5 次元多様体は 5 次元球面 のみであると予想しました。^[14]もちろん、ホップ積予想を解くと、ヤウ問題は解決されます。また、と が唯一の単連結な正の曲率 4 次元多様体であるという Ziller 予想は、ホップ積予想を解決するでしょう。 の場合に戻ると、 Jean-Pierre Bourguignonの研究から、積計量の近傍には正の曲率の計量が存在しないことがわかっています。 ^[15]また、Alan Weinsteinの研究から、に計量が与えられ、正の曲率を持つ が存在する場合、このリーマン多様体は に埋め込むことができないことがわかっています。^[16]（ホップの結果から、多様体は球面になる必要があるため、への埋め込みは不可能であることがすでにわかっています。）非負の断面曲率を持つ多様体に関する一般的な参考文献は^[17]と^[18]で、多くの例が示されています。関連する推測は、 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$

ランクが 1 より大きいコンパクト対称空間は、正の断面曲率のリーマン計量を持つことができません。

これはまた、 が正の断面曲率を持つリーマン計量を許さないことも意味します。したがって、証拠とこれまでの研究を見ると、ホップの質問に対する答えは「 には正の曲率の計量は存在しない」という文になる可能性が高いようです。なぜなら、これまでのところ、ブルギニョン (積計量に近い摂動結果)、ホップ (余次元 1)、ワインスタイン (余次元 2) の定理、およびピンチされた正の曲率計量を除外する球面定理がこの結論を示しているからです。 上の正の曲率計量の構築は 、大域微分幾何学では確かに驚きですが、そのような計量が存在する可能性はまだ排除されていません。 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}}$

最後に、ホップ積予想のような特殊なケースになぜ興味があるのか​​と問う人もいるでしょう。ホップ自身は物理学の問題に動機づけられていました。ホップが研究を始めた 1920 年代半ば、相対性理論は誕生してまだ 10 年しか経っておらず、微分幾何学、特に 4 次元多様体の全体構造に大きな関心が集まりました。そのような多様体は宇宙論において宇宙のモデルとして登場するからです。

ホップ符号予想に関連するが、リーマン幾何学にはまったく関係のない予想がある。非球面多様体は、すべての高次ホモトピー群が消える連結多様体である。オイラー特性は、リーマン幾何学において負に曲がった多様体が満たすと予想されている条件と同じ条件を満たすはずである。

M ^{2k が}偶数次元の閉じた非球面多様体であると仮定する。そのオイラー特性は不等式を満たす。 ${\displaystyle (-1)^{k}\chi (M^{2k})\geq 0.}$

負の断面曲率を持つ滑らかなリーマン多様体と同相ではない非球面多様体が存在するため、リーマンの場合とは直接関係がありません。

このホップ予想の位相バージョンはウィリアム・サーストンによるものです。ルース・チャーニーとマイケル・デイビスは、同じ不等式が非正曲面区分ユークリッド（PE）多様体にも当てはまると予想しました。

「ホップ予想」という言葉については、無関係な数学者エバーハルト・ホップとハインツ・ホップの同時代人が測地線フローなどのテーマに取り組んでいたため、多少の混乱がありました。(エバーハルト・ホップとハインツ・ホップは無関係であり、2人ともエアハルト・シュミットの学生であったにもかかわらず、実際に会うことはなかった可能性があります) 。エバーハルト・ホップの定理では、2次元トーラスに共役点がない場合、2次元トーラスは平坦でなければならないとされています(ガウス曲率はどこでもゼロです)。^[19]エバーハルト・ホップの定理は、 1年前のマーストン・モースとグスタフ・ヘドランド(モースの博士課程の学生)の定理を一般化したものです。 ^[20]これを高次元に一般化する問題は、しばらくの間ホップ予想としても知られていました。いずれにせよ、これは現在では定理です。n次元トーラス上の共役点のないリーマン計量は平坦です。^[21]${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$