非コトチエント

数論において、非余剰余とは、正の整数mとそれ以下の互いに素な整数の個数との差として表すことができない正の整数 nのことです。つまり、m − φ ( m ) = n（φはオイラーのトーシェント関数）には、 mに対する解がありません 。nの余剰余はn − φ ( n )と定義されるため、非余剰余とは余剰余にならない数です。

すべての非余剰余数は偶数であると予想されます。これは、ゴールドバッハ予想の少し強いバージョンの修正形から導かれます。偶数nが2つの異なる素数pとqの和として表せる場合、

$${\displaystyle {\begin{aligned}pq-\varphi (pq)&=pq-(p-1)(q-1)\\&=p+q-1\\&=n-1.\end{整列しました}}}$$

6より大きいすべての偶数は2つの異なる素数の和であると予想されるため、5より大きい奇数はおそらく非余剰余数ではない。残りの奇数は、1 = 2 – φ (2)、3 = 9 – φ (9)、および5 = 25 – φ (25)という観測値によってカバーされる。

偶数の場合は、 $${\displaystyle {\begin{aligned}2pq-\varphi (2pq)&=2pq-(p-1)(q-1)\\&=pq+p+q-1\\&=(p+1)(q+1)-2\end{aligned}}}$$

したがって、 n + 2 が( p + 1)( q + 1)と表され、p、q が素数 となるようなすべての偶数nは、余弦です。

最初のいくつかの非コトティエントは

10、26、34、50、52、58、86、100、116、122、130、134、146、154、170、172、186、202、206、218、222、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ ​232、244、260、266、268、274、290、292、298、310、326、340、344、346、362、366、372、386、394、404、412、436、466、 470、474、 482、490、...（OEISの配列A005278）

nの係数は

0、1、1、2、1、4、1、4、3、6、1、8、1、8、7、8、1、12、1、12、9、12、1、16、5、 14、9、16、1、22、1、16、13、18、11、 24、1、20、15、24、1、30、1、24、21、24、1、32、7、30、19、28、1、36、15、32、21、30、1、44、 1、32、27、32、17、46、 1、36、25、 46、1、48、...（OEISの配列A051953）

kの係数がnとなる最小のk はどれか ( n = 0から始め、そのようなk が存在しない場合は 0 とする)

1、2、4、9、6、25、10、15、12、21、0、35、18、33、26、39、24、65、34、51、38、45、30、95、36、69、0、63、52、161、42、87、48、93、0、75、54、217、74、99、76、185、82、123、60、117、66、215、72、141、0 、...（OEISのシーケンスA063507 ）

kの係数がnとなる最大のk はどれですか ( n = 0から始め、そのようなk が存在しない場合は 0 になります)

1、∞、4、9、8、25、10、49、16、27、0、121、22、169、26、55、32、289、34、361、38、85、30、529、46、133、0、187、52、841、58、961、64、253、0、323、68、1369、74、391、76、1681、82、1849、86、493、70、2209、94、589、0、...（OEISのシーケンスA063748）

k − φ ( k )がnとなるkの数は（ n = 0から始まる）

1 、∞、1、1、2、1、1、2、3、2、0、2、3、2、1、2、3、3、1、3、1、3、1、4、4、3、0、4、1、4、3、3、4、3、0、5、2、2、1、4、1、5、1、4、2、4、2、6、5、5、0、3、0、6、2、4、2、5、0、7、4、3、1、8、4、6、1、3、1、5、2、7、3、... (OEIS のシーケンスA063740 )

エルデシュ(1913–1996) とシェルピンスキー(1882–1969) は、無限個の非余剰数が存在するかどうかを問いました。この問いに対して、最終的に Browkin と Schinzel (1995) が肯定的な回答をしました。彼らは、無限族のすべての要素が例であることを示しました (リーゼル数を参照)。それ以来、ほぼ同じ形式の他の無限族が Flammenkamp と Luca (2000) によって示されました。 ${\displaystyle 2^{k}\cdot 509203}$

• Browkin, J.; Schinzel, A. (1995). 「n-φ(n) の形式ではない整数について」. Colloq. Math . 68 (1): 55–58. doi : 10.4064/cm-68-1-55-58 . Zbl  0820.11003.
• Flammenkamp, A.; Luca, F. (2000). 「非余剰数の無限族」. Colloq. Math . 86 (1): 37–41. doi : 10.4064/cm-86-1-37-41 . Zbl  0965.11003.
• ガイ、リチャード K. (2004)。数論における未解決問題(第 3 版)。Springer -Verlag。pp . 138–142。ISBN 978-0-387-20860-2.ZBL1058.11001  。​

• MathWorld による非コトーティエント定義