有限差分法

有限差分は、 f ( x + b ) − f ( x + a )の形の数学的表現です。有限差分（または関連する差分商）は、数値微分などの導関数の近似としてよく使用されます。

差分演算子は、一般的に次のように表されます。${\displaystyle \Delta }$(大文字のデルタ) は、関数fを関数にマッピングする演算子です。${\displaystyle \Delta [f]}$定義される $${\displaystyle \Delta [f](x)=f(x+1)-f(x).}$$ 差分方程式は、微分方程式が導関数を含むのと同様に、有限差分演算子を含む関数方程式です。差分方程式と微分方程式には多くの類似点があります。特定の漸化式は、反復表記を有限差分に置き換えることで差分方程式として記述できます。

数値解析では、微分を近似するために有限差分が広く用いられており、「有限差分」という用語はしばしば「微分の有限差分近似」の略語として用いられる。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

有限差分は1715年にブルック・テイラーによって導入され、ジョージ・ブール（1860）、L・M・ミルン＝トムソン（1933）、カーロイ・ヨルダン（1939）らの著作において、抽象的な独立した数学的対象としても研究されてきた。有限差分の起源は、ヨスト・ビュルギのアルゴリズム（1592年頃）や、アイザック・ニュートンを含む他の研究者による研究に遡る。有限差分の形式的な計算は、無限小の計算の代替として見なすことができる。^{[ 4 ]}

一般的に、前方差分、後方差分、中心差分の3 つの基本タイプが考慮されます。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

A前方差額、表記は${\displaystyle \Delta _{h}[f]}$関数fは次のように定義される関数です 。$$\displaystyle \Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).}$$

アプリケーションによっては、間隔hは可変または一定になる場合があります。指定しない場合、 hのデフォルト値は 1 です。つまり、 $${\displaystyle \Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x).}$$

A後方差分では、 x + hとxの値の代わりに、x と x − hにおける関数値を使用します 。$${\displaystyle \nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(xh)=\Delta _{h}[f](xh).}$$

最後に、中心差は次のように表される。 $${\displaystyle \delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{\tfrac {h}{2}}[f](x)+\nabla _{\tfrac {h}{2}}[f](x).}$$

微分方程式の数値 解法、特に境界値問題の数値解法における有限差分法では、微分を有限差分で近似することが中心的な役割を果たします。

関数fの点xにおける導関数は、極限 によって定義される。$${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$$

hがゼロに近づくのではなく、固定値（ゼロ以外）をとる場合、上記の式の右辺は次のように書ける。 $${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.}$$

したがって、 hが小さい場合、前方差分をhで割った値は導関数を近似します。この近似の誤差はテイラーの定理から導き出すことができます。f が 2 回微分可能であると仮定すると、次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}$$

後方差分についても同様の式が成り立ちます。 $${\displaystyle {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.}$$

しかし、中心差分（または中心化差分）の方がより正確な近似値が得られます。fが3 回微分可能であれば、 $${\displaystyle {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=o\left(h^{2}\right).}$$

しかし、中心差分法の主な問題点は、振動関数では導関数がゼロになる可能性があることです。n が奇数の場合f ( nh )=1 、 nが偶数 の場合f ( nh )=2であれば、中心差分法で計算するとf ′( nh )=0になります。これは、 fの定義域が離散的な場合に特に厄介です。対称微分も参照してください。

有限差分を有限差分近似と解釈する著者は、このセクションで与えられた商を前方差分/後方差分/中心差分として定義します（前のセクションで与えられた定義を使用する代わりに）。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

同様に、高階微分や微分演算子の有限差分近似も得ることができます。例えば、f ′( x + ⁠ h / 2 ⁠ )とf ′( x − ⁠ h / 2 ⁠ )に対して上記の中心差分公式を用い、 xにおけるf ′の導関数に対して中心差分公式を適用することで、 fの 2 階微分の中心差分近似が得られます。 

二次中心

$${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(xh)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(xh)}{h^{2}}}~.}$$

同様に、他の差分公式も再帰的に適用することができます。

2次フォワード

$${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}~.}$$

2次逆方向

$${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {\nabla _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x)-f(xh)}{h}}-{\frac {f(xh)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f(xh)+f(x-2h)}{h^{2}}}~.}$$

より一般的には、n次順方向差分、逆方向差分、および中心差分はそれぞれ次のように与えられる。

フォワード

$${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{n-j}{\binom {n}{j}}f{\bigl (}x+jh{\bigr )},}$$

後ろ向き

$${\displaystyle \nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}f(x-jh),}$$

中央

$${\displaystyle \delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-j\right)h\right)~.}$$

これらの式では、総和記号の後に二項係数が次のように表示されます。${\textstyle \ {\binom {n}{j}}~.}$パスカルの三角形の各行は、jの各値に対する係数を示します。

奇数nの場合、中心差分ではh に非整数が乗算されることに注意してください。これは、離散化の区間を変更することになるため、しばしば問題となります。これは、平均を代入することで解決できます。${\textstyle \delta ^{n}[f](x-{\tfrac {h}{2}})}$ そして ${\textstyle \delta ^{n}[f](x+{\tfrac {h}{2}}).}$

数列に適用される前方差分は、数列の二項変換と呼ばれることもあり、興味深い組み合わせ特性をいくつか持っています。前方差分は、ノルルンド・ライス積分を用いて評価できます。これらのタイプの級数の積分表現は興味深いもので、積分は漸近展開や鞍点法を用いて評価できることが多いからです。対照的に、前方差分級数は、 nが大きい場合に二項係数が急速に増加するため、数値的に評価するのが非常に難しい場合があります。

これらの高階差分とそれぞれの導関数との関係は単純明快である。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}f}{(\mathrm {d} x)^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+{\mathcal {o}}(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+{\mathcal {o}}(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+{\mathcal {o}}\!\left(h^{2}\right).}$$

高階差分も、より良い近似を構築するために使用できます。前述のように、1階差分は、h次までの項まで1階導関数を近似します。しかし、組み合わせ $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}$$f ′( x )をh ²次までの項まで 近似します。これは、上記の式をテイラー級数に展開するか、後述する有限差分法を用いることで証明できます。

必要に応じて、前方差分、後方差分、中心差分を組み合わせることで、有限差分を任意の点を中心にすることができます。

関数の低階導関数は解析的に既知であっても、高階導関数は既知でない場合があります。このような場合、高階導関数は低階導関数の有限差分によって近似することができ、これは多くの場合、関数f ( x )自体の有限差分よりも精度が高く、数値的に安定しています。これは、半数値微分と呼ばれることもあります。^{[ 5 ]}例えば、1 階導関数f ′( x )は既知であっても、2 階導関数f ′′( x )が既知でない場合、後者はf ′( x )の 2 階中心差分によって近似することができます。 $${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}~.}$$

次数n ≥ 1の与えられた多項式は、関数P ( x )で表され、実数a ≠ 0およびbと、低次の項(存在する場合) はlotとマークされます。 $${\displaystyle P(x)=ax^{n}+\;bx^{n-1}+~l.o.t.}$$

n 回のペアワイズ差の後、次の結果が得られます。ここで、h ≠ 0は算術差を表す実数です。 ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \Delta _{h}^{n}[P](x)=ah^{n}n!}$$

最高次の項の係数のみが残ります。この結果はxに関して一定であるため、それ以降のペアワイズ差分はすべて0になります。

線形代数を用いると、任意の階数の導関数に対して、評価点の左側の任意の数の点と右側の（場合によっては異なる）数の点を利用する有限差分近似を構築できます。これは、評価点の周りのこれらの点の合計のテイラー展開が、目的の導関数のテイラー展開を最もよく近似するような線形システムを解くことを含みます。このような式は、六角形またはひし形のグリッド上にグラフィカルに表現できます。^{[ 7 ]} これは、グリッド上の関数を微分する場合に便利です。グリッドの端に近づくにつれて、片側の点のサンプリング数がどんどん少なくなっていきます。^{[ 8 ]} 任意のステンシルと目的の導関数の階数が与えられた場合、非標準（さらには非整数）ステンシルの有限差分近似を構築できます。^{[ 9 ]}

有限差分法の重要な応用例の一つは、数値解析、特に常微分方程式や偏微分方程式の数値解を求める数値微分方程式の分野である。その基本的な考え方は、微分方程式に現れる導関数を、それらを近似する有限差分で置き換えることである。この結果得られる手法は、有限差分法と呼ばれる。

有限差分法の一般的な応用分野としては、熱工学、流体力学などの計算科学および工学分野が挙げられる。

ニュートン級数は、アイザック・ニュートンにちなんで名付けられたニュートン前方差分方程式の項から構成されます。本質的には、1687年に彼の『プリンキピア・マテマティカ』で初めて発表されたグレゴリー・ニュートン補間式^{[ 10 ]}（アイザック・ニュートンとジェームズ・グレゴリーにちなんで名付けられました） ^{[ 11 ] [ 12 ]}、すなわち連続テイラー展開の離散アナログです。

これは、任意の多項式関数fおよび多くの（ただし全てではない） 解析関数に対して成り立つ。（ fが指数型の場合は成り立たない。）${\displaystyle \pi }$これは、正弦関数が整数倍でゼロになることから容易にわかります。${\displaystyle \pi }$（この場合、すべての有限差分がゼロであるため、対応するニュートン級数は恒等的にゼロになります。しかし、明らかに、正弦関数はゼロではありません。）ここで、式 $${\displaystyle {\binom {x}{k}}={\frac {(x)_{k}}{k!}}}$$ は二項係数であり、 $${\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$$ は「下降階乗」または「下降階乗」であり、空の積( x ) ₀は 1と定義されます。この特定の場合、以下の一般化のx、h = 1 の値の変化に対して単位ステップを仮定しています。

この結果がテイラーの定理と形式的に対応していることに注目してください。歴史的には、これはチュー・ヴァンデルモンドの恒等式と同様に、 $${\displaystyle (x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x)_{n-k}\,(y)_{k},}$$ （それに続いて、二項定理に対応する）は、影計算の体系に成熟した観測に含まれています。

ニュートン級数展開は、量子スピン（ホルスタイン・プリマコフ変換を参照）、ボソン演算子関数、離散計数統計などの離散量に適用する場合、テイラー級数展開よりも優れている可能性がある。^{[ 13 ]}

ニュートンの公式を実際にどのように使用するかを説明するために、フィボナッチ数列f = 2, 2, 4, ... の最初の数項を2倍にしたものを考えてみましょう。これらの値を再現する多項式は、まず差分表を計算し、次にx ₀ (下線部)に対応する差分を次の式に代入することで見つけることができます。 $${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}}$$

xの値に不均一なステップがある場合、ニュートンは分割差分を計算します。 $${\displaystyle \Delta _{j,0}=y_{j},\qquad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\;j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}}$$ 一連の製品、 $${\displaystyle {P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right),}$$ そして結果として得られる多項式はスカラー積である、^{[ 14 ]}$${\displaystyle f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right).}$$

p進数を用いた解析において、マーラーの定理は、 fが多項式関数であるという仮定を、fが単に連続であるという仮定まで弱めることができると述べている。

カールソンの定理は、ニュートン級数が存在する場合に、それが一意となるための必要十分条件を示している。しかし、一般にニュートン級数は存在しない。

ニュートン級数は、スターリング級数およびセルバーグ級数とともに、一般差分級数の特殊なケースであり、これらはすべて適切にスケーリングされた前方差分によって定義される。

圧縮され、やや一般的な形式で、等間隔のノードの場合、式は次のようになります。 $${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{\binom {\frac {x-a}{h}}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}f(a+jh).}$$

前方差分は、関数fをΔ _h [ f ]に写像する差分演算子と呼ばれる演算子と考えることができる。^{[ 15 ] [ 16 ]}この演算子は、$${\displaystyle \Delta _{h}=\operatorname {T} _{h}-\operatorname {I} ,}$$ここで、T _hはステップhのシフト演算子であり、T _h [ f ]( x ) = f ( x + h )で定義され、I は恒等演算子です。

高次の有限差分は、再帰的にΔ ⁿ _h ≡ Δ _h (Δ ^{n − 1} _h )と定義できます。別の同等の定義はΔ ⁿ _h ≡ [T _h − I] ⁿです。

差分演算子Δ _hは線形演算子であるため、Δ _h [ α f + β g ]( x ) = α Δ _h [ f ]( x ) + β Δ _h [ g ]( x )を満たします。

また、ライプニッツの特別な法則も満たしている。

${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{h}{\bigl (}fg{\bigr )}(x)={\bigl (}\operatorname {\Delta } _{h}f(x){\bigr )}g(x+h)+f(x){\bigl (}\operatorname {\Delta } _{h}g(x){\bigr )}~.}$

同様のライプニッツの法則は、後方差分と中央差分にも当てはまる。

hに関してテイラー級数を正式に適用すると、演算子方程式が得られる。 $${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{h}=h\operatorname {D} +{\frac {1}{2!}}h^{2}\operatorname {D} ^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}\operatorname {D} ^{3}+\cdots =e^{h\operatorname {D} }-\operatorname {I} ,}$$ ここで、D は、 f をその導関数f ′に写像する、従来の連続微分演算子を表します。展開は、両辺が解析関数に作用する場合、 hが十分に小さい場合に有効です。導関数の級数が終了する場合 (作用する関数が有限多項式の場合) には、すべての有限ステップサイズhに対して、式は正確です。したがって、T _h = e ^{h D}となり、形式的に指数関数を反転すると 、次のようになります。$${\displaystyle h\operatorname {D} =\ln(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\,\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\,\Delta _{h}^{3}-\cdots ~.}$$ この公式は、両方の演算子を多項式に適用した場合に同じ結果が得られるという意味で成り立つ。

解析関数であっても、右側の級数は収束が保証されているわけではなく、漸近級数である可能性があります。ただし、これを使用して導関数のより正確な近似値を得ることができます。たとえば、級数の最初の 2 項を残すと、セクション§高階差分の最後に述べたf  ′( x )の 2 次近似値が得られます。 

後方差分演算子と中心差分演算子の類似の式は次のとおりです。 $${\displaystyle h\operatorname {D} =-\ln(1-\nabla _{h})\quad {\text{ and }}\quad h\operatorname {D} =2\operatorname {arsinh} \left({\tfrac {1}{2}}\,\delta _{h}\right)~.}$$

有限差分法は、組み合わせ論の陰影計算と関連している。この驚くほど体系的な対応関係は、陰影量の交換子と連続体類似物（ h → 0極限）の交換子が同一であることに起因する。

関数f ( x )を含む標準的な微積分学の多数の形式的な微分関係は、f ( x T ⁻¹ _h )を含む陰影有限差分類似に体系的にマッピングされます。

例えば、単項式x ⁿの影の類似物は、上記の下降階乗 (ポッホハマー k 記号) の一般化である。 $${\displaystyle (x)_{n}=\left(x\operatorname {T} _{h}^{-1}\right)^{n}=x\left(x-h\right)\left(x-2h\right)\cdots {\bigl (}x-\left(n-1\right)h{\bigr )},}$$ となることによって $${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}}{h}}(x)_{n}=n(x)_{n-1},}$$したがって、上記のニュートン補間式（このような記号における任意の関数f ( x ) の展開における係数を一致させることによって）などとなります。

例えば、影の正弦は $${\displaystyle \sin \left(x\operatorname {T} _{h}^{-1}\right)=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots }$$

連続体の極限と同様に、Δh / _hの固有関数も指数関数になります。

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}}{h}}(1+\lambda h)^{\frac {x}{h}}={\frac {\Delta _{h}}{h}}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}},}$

したがって、連続関数のフーリエ和は、影のフーリエ和、すなわち、これらの影の基底指数関数に同じフーリエ係数を乗じたものに容易に忠実にマッピングされます。^{[ 17 ]}この影の指数関数は、ポッホハマー記号の指数生成関数に相当します。

例えば、ディラックのデルタ関数は、その影に対応する基本正弦関数に写像される。$${\displaystyle \delta (x)\mapsto {\frac {\sin \left[{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {x}{h}}\right)\right]}{\pi (x+h)}},}$$ など。^{[ 18 ]}差分方程式は、微分方程式を解くのと非常によく似た手法で解くことができる場合が多い。

前方差分演算子の逆演算子、つまり陰影積分は、不定和または逆差分演算子である。

• 一般化有限差分は通常次のように定義される。$${\displaystyle \Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),}$$ここで、μ = ( μ ₀ , …, μ _N )はその係数ベクトルです。無限差は、上記の有限和を無限級数に置き換えた、さらなる一般化です。別の一般化の方法は、係数μ _{k を}点xに依存させることです。つまり、μ _k = μ _k ( x )となり、重み付き有限差を考慮します。また、ステップh を点xに依存させることもできます。つまり、h = h ( x )です。このような一般化は、さまざまな連続性係数を構築するのに役立ちます。
• 一般化された差分は、多項式環R [ T _h ]として見なすことができる。これは差分代数につながる。
• 差分演算子は、半順序集合上のメビウス反転に一般化されます。
• 畳み込み演算子として:入射代数の形式論により、差分演算子やその他のメビウス反転は、半順序集合上の関数との畳み込みによって表現できます。この関数はメビウス関数μと呼ばれます。差分演算子の場合、μは数列(1, −1, 0, 0, 0, …)です。

有限差分は複数の変数について考えることができます。これは、複数の変数に関する偏微分に類似しています。

偏微分近似の例をいくつか挙げます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\\f_{y}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\\f_{yy}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.\end{aligned}}}$$

あるいは、 fの計算が 最もコストのかかるステップであり、1 階および 2 階導関数の両方を計算する必要があるアプリケーションの場合、最後のケースに対するより効率的な式は次のようになります。 $${\displaystyle f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+2f(x,y)-f(x-h,y)-f(x,y-k)+f(x-h,y-k)}{2hk}},}$$ 前の 4 つの方程式ですでに必要とされていない計算すべき値はf ( x + h , y + k ) とf ( x − h , y − k )だけなので、

関数の場合${\displaystyle N}$変数${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})}$全体を評価する${\displaystyle m}$有限差分による 階微分テンソルには${\displaystyle O(N^{m})}$関数の呼び出し${\displaystyle f}$（ここでは漸近的なスケーリング挙動を表すためにビッグオー記法を使用しています）または${\displaystyle O(N^{m-m'})}$の呼び声${\displaystyle m'}$関数の 階微分${\displaystyle f}$（どこ${\displaystyle m'<m}$) ただし、多くの関数クラスでは、${\displaystyle m}$の 階微分テンソルは疎行列であるか、非対角ブロックのランクが低い可能性があります。このような場合、数値的に推定できるアルゴリズムが存在する可能性があります。${\displaystyle m}$次微分テンソルを未満で使用${\displaystyle O(N^{m-m'})}$の呼び声${\displaystyle m'}$例えば、次の場合${\displaystyle m=2}$そして${\displaystyle m'=1}$後者の場合、ヘッセ行列はのみを使用して推定することが可能です。${\displaystyle O(1)}$勾配の代わりに${\displaystyle O(N)}$従来の有限差分アルゴリズムで必要とされる勾配。^{[ 23 ]}

• 「有限差分法」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• Mathematicaを使用して生成された有用な有限差分公式の表
• D. グライヒ (2005)『 有限微積分：厄介な問題を解くためのチュートリアル』
• 不均等間隔の点からの離散的な2階微分