デーン手術

数学の一分野である位相幾何学において、マックス・デーンにちなんで名付けられたデーン手術は、 3次元多様体を修正するために用いられる構成である。このプロセスは、リンクとともに3次元多様体を入力として受け取る。これは、掘削と充填の2つのステップとして概念化されることが多い。

• 3 次元多様体 とリンク が与えられた場合、からの開いた管状近傍を削除することで、に沿って掘削された多様体が得られます。の場合、掘削された多様体はトーラス境界成分を持ちます。から対応する閉じた管状近傍を削除すると、 に微分同相な多様体が得られるため、に沿って掘削された多様体はリンク補集合とも呼ばれます。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L\subset M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L=L_{1}\cup \dots \cup L_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle T_{1}\cup \dots \cup T_{k}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M\setminus L}$
• 境界が 2 次元トーラスで作られる 3 次元多様体を考えると、その境界と元の 3 次元多様体のトーラス境界成分のそれぞれとの同相写像（または微分同相写像）によって、1 つの立体トーラスを接着することができます。一般に、これを行うには同等でない方法が多数あります。このプロセスは、デーン充填と呼ばれます。${\displaystyle T_{1}\cup \dots \cup T_{k}}$${\displaystyle T_{i}}$
• リンクを含む 3 次元多様体に対するDehn 手術は、リンクの管状近傍をドリルで穴あけするとともに、リンクに対応する境界のすべてのコンポーネントをDehn で埋めることから構成されます。

デーン手術を記述するために、^[1]は、ドリルされた 3 次元多様体の対応する境界トーラス上の2 つの向き付けられた単純閉曲線と を選択します。ここで、 は ( 内の小さな球内にとどまり、 との結合数 +1 を持つ曲線、またはそれと同義で、成分 と 1 回交差するディスクを囲む曲線)の子午線であり、 は( に沿って 1 回移動する曲線、またはそれと同義で、代数的交差が +1 に等しい 上の曲線) の経度です。曲線と はトーラス の基本群を生成し、その最初のホモロジー群の基底を形成します。これにより、トーラス 上の任意の単純閉曲線に2 つの座標と が提供され、となります。これらの座標はのホモトピー類にのみ依存します。 ${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \ell_{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle \ell_{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle \langle \ell _{i},m_{i}\rangle }$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \ell_{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle \gamma_{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle [\gamma _{i}]=[a_{i}\ell _{i}+b_{i}m_{i}]}$${\displaystyle \gamma_{i}}$

立体トーラスの子午線曲線を に同相な曲線 に写像することによって、立体トーラスの境界の への同相を指定できます。子午線が手術の傾きに写像される限り、結果として得られるデーン手術は、特定の接着に依存しない 3 次元多様体を生成します (同相まで)。この比はの手術係数と呼ばれます。 ${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle \gamma_{i}}$ ${\displaystyle [\gamma _{i}]}$${\displaystyle b_{i}/a_{i}\in \mathbb {Q} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle L_{i}}$

3 次元球面、またはより一般的には有向積分ホモロジー球面内のリンクの場合、経度の標準的な選択があります。つまり、すべての経度は、結び目の補集合内でヌル相同になるように選択されます。これは、ザイフェルト面の境界である場合と同等です。 ${\displaystyle \ell_{i}}$

比率がすべて整数である場合（この条件は経度の選択に依存しないことに注意してください。これは、新しい子午線が古い子午線と正確に1回交差することに対応するためです）、手術は積分手術と呼ばれます。このような手術は、ハンドルボディ、コボルディズム、およびモース関数と密接に関連しています。 ${\displaystyle b_{i}/a_{i}}$

• すべての手術係数が無限大の場合、それぞれの新しい子午線は古い子午線に同相です。したがって、多様体の同相型は手術によって変化しません。${\displaystyle \gamma_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$

• が3 次元球面、が結び目なし、手術係数がの場合、手術された 3 次元多様体は です。${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}}$

• が3 次元球面、が結び目なし、手術係数が である場合、手術された 3 次元多様体はレンズ空間です。特に、手術係数が の形式である場合、手術された 3 次元多様体は依然として 3 次元球面です。${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle b/a}$ ${\displaystyle L(b,a)}$${\displaystyle \pm 1/r}$

• が 3 次元球面、が右手三葉結び目、手術係数が の場合、手術された 3 次元多様体はポアンカレ十二面体空間です。${\displaystyle M}$${\displaystyle L}$${\displaystyle +1}$

すべての閉じた、向き付けられた、連結な 3 次元多様体は、3 次元球面のリンクに対してデーン手術を行うことで得られます。この結果、つまりリコリッシュ–ウォレスの定理は、 1960 年にアンドリュー H. ウォレスによって初めて証明され、1962 年にWBR リコリッシュによってより強力な形で独立に証明されました。現在ではよく知られている純正手術とコボルディズムの関係を介して、この結果は、3 次元多様体の向き付けられたコボルディズム群は自明であるという定理と同等であり、この定理はもともと1951 年に ウラジミール アブラモビッチ ロクリンによって証明されました。

有向 3 次元多様体はすべて適切に装飾されたリンクによって生成できるため、特定の 3 次元多様体の異なる手術表現がどのように関連しているかを尋ねる人がいるかもしれません。その答えはカービー計算と呼ばれます。

• 双曲デーン手術
• 管状の地区
• 一般的な意味での多様体に対する手術。球面修正とも呼ばれます。

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