Jacobson radical

In the commutative case, the Jacobson radical of a commutative ring R is defined as^[1] the intersection of all maximal ideals${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. If we denote by ${\displaystyle \mathrm {Spm} \ R}$ the set of all maximal ideals in R then

${\displaystyle \mathrm {J} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {m}}\,\in \,\mathrm {Spm} \ R}{\mathfrak {m}}.}$

This definition can be used for explicit calculations in a number of simple cases, such as for local rings(R, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$), which have a unique maximal ideal, Artinian rings, and products thereof. See the examples section for explicit computations.

単位元を持つ一般的な環の場合${\displaystyle R}$ジェイコブソン急進派${\displaystyle J(R)}$すべての要素の理想として定義される${\displaystyle r\in R}$そのため${\displaystyle rM=0}$いつでも${\displaystyle M}$シンプルです${\displaystyle R}$-モジュール。つまり、 $${\displaystyle \mathrm {J} (R)=\{r\in R\mid rM=0{\text{すべての}}M{\text{単純}について}.}$$ これは、可換環における可換の場合の定義と同等である。${\displaystyle R}$可換環上の単純加群は次の形式である。${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ある最大理想に対して${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$の${\displaystyle R}$、そして殲滅者たち${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$で${\displaystyle R}$はまさに${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$つまり${\displaystyle \mathrm {アン} _{R}(R/{\mathfrak {m}})={\mathfrak {m}}}$。

ヤコブソンは当初、任意の環の根基の理論を構築するための手法として根基を導入しましたが、可換環の場合にヤコブソン根基が考慮される動機の一つは、それが中山の補題に現れるためです。この補題は、可換環上の有限生成加群を研究するための技術的なツールであり、幾何学的に簡単に解釈できます。位相空間X上にベクトル束E → Xがあり、点p ∈ Xを選ぶと、E | _pの任意の基底は、ある近傍p ∈ U ⊆ Xに対して、 E | _U → Uの切断の基底に拡張できます。

別の応用例としては、次の形式の有限生成可換環の場合が挙げられる。${\textstyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,/\,I}$ある基底環k (体や整数環など) に対して。この場合、零根基とヤコブソン根基は一致する。これは、ヒルベルト零点定理により、ヤコブソン根基を、環Rを定義するイデアルI が代数多様体上の関数環を定義することからどれだけ離れているかの尺度として解釈できることを意味する。これは、代数多様体は無限小を持つ関数環を持つことができないためである。これはスキーム理論でのみ考慮される構造である。

環のヤコブソン根基には、さまざまな内部および外部特性があります。以下の同値関係は、Anderson & Fuller 1992 、§15、Isaacs 1994 、§13B、Lam 2001 、Ch 2など、多くの非可換代数学の教科書に登場します。

以下は、単位元を持つ環におけるヤコブソン根基の同等な特徴付けである（単位元を持たない環の特徴付けは直後に示されている）。

• J( R )は、環のすべての極大右イデアルの共通部分に等しい。この同値性は、すべての極大右イデアルMに対して、R / Mが単純右R加群であり、実際にはすべての単純右R加群が、Sの任意の生成元xに対してr ↦ xrで与えられるRからSへの写像を介して、このタイプの 1 つと同型であるという事実から生じる。また、J( R ) は、環内のすべての極大左イデアルの共通部分に等しいことも真である。 ^{[ 2 ]}これらの特徴付けは環の内部のものであり、環の極大右イデアルを見つけるだけでよい。たとえば、環が局所的であり、一意の極大右イデアルを持つ場合、この一意の極大右イデアルはまさに J( R ) である。極大イデアルは、ある意味で加群の零化イデアルよりも簡単に見つけることができる。しかし、この特徴付けは、J( R )を計算的に扱う際に役立たないため、不十分である。これら 2 つの定義の左右対称性は注目に値し、さまざまな興味深い結果をもたらします。^{[ 2 ] [ 3 ]}この対称性は、 Rのソクルの対称性の欠如とは対照的です。なぜなら、soc( R _{R ) が soc( R} R )と等しくない場合があるからです。R が非可換環の場合、J ( R )は必ずしもRのすべての極大両側イデアルの共通部分と等しくありません。たとえば、V が体kのコピーの可算直和であり、R = End( V ) ( k加群としてのVの自己準同型の環)である場合、 R はフォン ノイマン正則であることがわかっているので、 J( R ) = 0になりますが、 Rには有限次元の像を持つ自己準同型からなる極大両側イデアルがちょうど 1 つ存在します。^{[ 4 ]}
• J( R ) は、 Rのすべての余剰右イデアルの和(または対称的に、すべての余剰左イデアルの和)に等しい。これを前の定義と比較すると、余剰右イデアルの和は最大右イデアルの共通部分に等しい。この現象は、Rの右ソクルに対しても双対的に反映される。soc( R _R ) は、最小右イデアルの和と本質右イデアルの共通部分の両方である。実際、これら 2 つの関係は、一般に加群の根基とソクルに対して成り立つ。
• 序論で定義したように、J( R ) は単純右R加群のすべての零化イデアルの共通部分に等しいが、単純左加群の零化イデアルの共通部分にも等しい。単純加群の零化イデアルであるイデアルは原始イデアルとして知られており、これを再定式化すると、ヤコブソン根基はすべての原始イデアルの共通部分であると言える。この特徴付けは、環上の加群を研究する際に有用である。例えば、U が右R加群であり、V がUの極大部分加群である場合、U · J( R )はVに含まれる。ここで、U · J( R )は、J( R )の要素(「スカラー」) とUの要素 (右側) のすべての積を表す。これは、商加群U / Vが単純であり、したがって J( R ) によって零化されるという事実から導かれる。
• J( R ) は、すべての要素が右準正則であるという性質を持つRの唯一の極大右イデアルです^{[ 5 ] [ 6 ]} (または同等に左準正則です^{[ 2 ]} )。このヤコブソン根基の特徴付けは、計算上も直観を助ける上でも有用です。さらに、この特徴付けは、環上の加群を研究する際にも有用です。中山の補題はおそらくこの最もよく知られた例です。J( R ) のすべての要素は必然的に準正則ですが、すべての準正則要素が必ずしも J( R )の要素であるとは限りません。 ^{[ 6 ]}
• すべての準正則要素が J( R ) に含まれるわけではないが、 yが J( R )に含まれるのは、すべてのx ∈ Rに対してxy が左準正則である場合のみで あることが示される。^{[ 7 ]}
• J( R ) は、 1 + RxRのすべての要素が単元となるようなRの要素xの集合です。J ( R ) = { x ∈ R | 1 + RxR ⊂ R ^× }。実際、y ∈ Rが Jacobson 根基に含まれるのは、任意のx ∈ Rに対して1 + xyが可逆である場合、かつその場合に限ります。また、任意の x ∈ R に対して 1 + yx が可逆である場合にも限ります。これは、xyとyxが、 z ^{n +1} = 0かつ(1 + z ) ⁻¹ = 1 − z + z ² − ... ± z ⁿとなる冪零要素zと同様の振る舞いをすることを意味します。

単位元を持たない環の場合、 R = J( R )となる可能性がありますが、方程式J( R / J( R )) = {0}は依然として成り立ちます。以下は、単位元を持たない環の J( R ) の同等な特徴付けです。^{[ 8 ]}

• 左準正則性の概念は、次のように一般化できます。Rの要素a が左一般化準正則であるとは、 Rの要素cが存在してc + a − ca = 0となる場合をいいます。このとき、J( R ) は、 Rのすべてのrに対してraが左一般化準正則となるすべての要素aから構成されます。この定義は、単位元を持つ環の以前の準正則性の定義と一致することが確認できます。
• 単位元を持たない環の場合、左単純加群Mの定義は、 R ⋅ M ≠ 0という条件を追加することで修正されます。この理解に基づくと、J( R ) は、単純左R加群のすべての零化和の共通部分として定義できます。単純左R加群が存在しない場合は、単にRと定義できます。単純加群を持たない単位元を持たない環も存在し、その場合R = J( R )となり、その環は根基環と呼ばれます。根基の一般化された準正則性による特徴付けを用いると、J( R ) がゼロでない環が見つかった場合、単位元を持たない環として考えると、J( R ) は根基環であることが明らかです。

• 整数環Zの場合、そのヤコブソン根基は零イデアルなので、J( Z ) = (0)となります。これは、素数( p )によって生成されるすべてのイデアルの共通部分によって与えられるためです。( p ₁ ) ∩ ( p ₂ ) = ( p ₁ ⋅ p ₂ )であり、すべての極大イデアルの間で 0 以外の共通要素を持たない無限の共通部分をとっているため、計算式は次のようになります。
• ローカルリング( R、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$)ヤコブソン根号は単純にJ( R ) =${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$これは、中山の補題を適用する際に用いられるため、重要なケースです。具体的には、スキームまたは代数多様体X上に代数ベクトル束E → Xがあり、ある点p ∈ Xに対してE | _pの基底を固定すると、この基底は、 pのある近傍Uに対して、すべてのセクションEの生成元集合に持ち上げられることを意味します。
• kが体であり、R = k [[ X ₁ , ..., X _n ]]が形式的冪級数の環である場合、J( R ) は定数項がゼロである冪級数、すなわちイデアル( X ₁ , ..., X _n )の冪級数から構成される。
• C [ t ₁ , t ₂ ]/( t ₁ ⁴ , t ₁ ² t ₂ ² , t ₂ ⁹ )のようなアルティン環の場合、ヤコブソン根基は( t ₁ , t ₂ )です。
• 前の例は、環R = C [ t ₂ , t ₃ , ...]/( t ₂ ² , t ₃ ³ , ...)に拡張でき、J( R ) = ( t ₂ , t ₃ , ...)が得られます。
• 環Z /12 Zのヤコブソン根基は6 Z /12 Zであり、これは最大イデアル 2 Z /12 Zと 3 Z /12 Zの共通部分である。
• 環C [ t ] ⊗ _C C [ x ₁ , x ₂ ] _{x 1 ² + x 2 ² −1}を考える。ここで、2 番目は素イデアルによるC [ x ₁ , x ₂ ]の局所化である。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$= ( x ₁ ² + x ₂ ² − 1)。すると、最大イデアルは z ∈ C の( t − z ) ⊗ ( x ₁ ² + x ₂ ² − 1)の形の要素によって生成されるため、ヤコブソン根基は自明です。

• J( R ) が{0}である環は半原始環、または「ヤコブソン半単純環」と呼ばれることもあります。任意の体、任意のフォン・ノイマン正則環、および任意の左または右原始環のヤコブソン根基は{0} です。
• Kが体であり、R がKの要素を持つすべてのn × n上三角行列の環である場合、J( R ) は主対角線上にゼロを持つすべての上三角行列から構成されます。
• 有限で非巡回的な箙Γと体Kから始め、箙代数KΓ（記事「箙 」で説明されているように）を考えます。この環のヤコブソン根基は、Γ内の長さが1以上のすべてのパスによって生成されます 。
• C*-代数のヤコブソン根基は{0}である。これはゲルファント-ナイマークの定理と、C*-代数の場合、ヒルベルト空間上の位相的に既約な*-表現は代数的に既約であり、その核は純粋に代数的な意味で原始イデアルであるという事実から導かれる（ C*-代数のスペクトルを参照）。