平均値問題

数学において、平均値問題は1981年にスティーブン・スメールによって提起されました。^[1]この問題は一般性において未解決のままです。問題は次のことを問います。

与えられた次数^{[2] A}の複素 多項式 と複素数に対して、 （すなわち）の臨界点が存在し、${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d\geq 2}$${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'(c)=0}$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z)-f(c)}{zc}}\right|\leq K|f'(z)|{\text{ }}K=1 の場合{\text{?}}}$

これはに対して証明されました。^[1]次数の多項式の場合、定数は例 から少なくとも でなければならないため、 よりも良い境界は存在しません。 ${\displaystyle K=4}$${\displaystyle d}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\frac {d-1}{d}}}$${\displaystyle f(z)=z^{d}-dz}$${\displaystyle K=1}$

この予想は特殊なケースで成り立つことが知られています。その他のケースでは、 に対する境界は次数 に応じて改善される可能性がありますが、すべての に対して成り立つ絶対的な境界は知られていません。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle d}$${\displaystyle K<4}$${\displaystyle d}$

1989年にティシュラーは、 が実根のみを持つ場合、または のすべての根が同じノルムを持つ場合に、この予想が最適境界に対して正しいことを示した。^{[3] [4]}${\displaystyle K={\frac {d-1}{d}}}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

2007年にConteらは を証明し、^{[2] は}固定 の境界をわずかに改善しました。 ${\displaystyle K\leq 4{\frac {d-1}{d+1}}}$${\displaystyle K\leq 4}$${\displaystyle d}$

同年、クレインはについて であることを示した。^[5]${\displaystyle K<4-{\frac {2.263}{\sqrt {d}}}}$${\displaystyle d\geq 8}$

逆不等式を考慮すると、デュビニンと須川は（上記と同じ条件下で）となる臨界点が存在することを証明した。^[6]${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle \left|{\frac {f(z)-f(\zeta )}{z-\zeta }}\right|\geq {\frac {|f'(z)|}{n4^{n }}}}$

この下限を最適化する問題は、双対平均値問題として知られています。^[7]

• 数学の未解決問題の一覧

A. ^次数に関する制約は Smale (1981) では使用されていますが、明示的には述べられていません。たとえば Conte (2007) では明示的に述べられています。制約は必要です。制約がなければ、予想は誤りになります。多項式f ( z ) = zには臨界点がありません。