マニホールド

数学において、多様体とは、各点の近くでユークリッド空間に局所的に類似する位相空間のことです。より正確には、次元多様体、または略して- 多様体は、各点が次元ユークリッド空間の開集合に同相な近傍を持つという性質を持つ位相空間です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

1 次元多様体には直線と円が含まれますが、8 の字のような自己交差曲線は含まれません。2 次元多様体は表面とも呼ばれます。例としては、平面、球、トーラス、クラインの壺、実射影平面などがあります。

多様体の概念は、複雑な構造をより単純な空間のよく理解された位相的特性に基づいて記述できるため、幾何学や現代の数理物理学の多くの部分で中心的な役割を果たしています。多様体は、方程式系の解集合や関数のグラフとして自然に生じます。この概念は、画像と座標を関連付ける必要があるため、コンピューター グラフィックス ( CT スキャンなど) に応用されています。

多様体には追加の構造を備えることができます。多様体の重要なクラスの 1 つに微分可能多様体があります。微分可能構造により、微積分を行うことができます。多様体上のリーマン計量により、距離と角度を測定できます。シンプレクティック多様体は、古典力学のハミルトン形式における位相空間として機能し、4 次元ローレンツ多様体は、一般相対性理論における時空をモデル化します。

多様体の研究には、微積分学と位相幾何学の実用的な知識が必要です。

直線に次いで、円は位相多様体の最も単純な例です。位相は曲がりを無視するため、円の小さな部分は直線の小さな部分と同じように扱われます。たとえば、単位円の上部x ²  +  y ²  = 1 を考えてみましょう。ここで、y座標は正です (図 1の黄色の円弧で示されています)。この円弧の任意の点は、そのx座標によって一意に記述できます。したがって、最初の座標への投影は、上部の円弧から開区間(-1, 1)への連続的で可逆な マッピングです。 $${\displaystyle \chi _{\mathrm {top} }(x,y)=x.\,}$$

このような関数と、それがマップする開いた領域は、チャートと呼ばれます。同様に、円の下部 (赤)、左側 (青)、右側 (緑) の部分のチャートもあります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{\mathrm {bottom} }(x,y)&=x\\\chi _{\mathrm {left} }(x,y)&=y\\\ chi _{\mathrm {right} }(x,y)&=y.\end{aligned}}}$$

これらの部分を合わせると円全体がカバーされ、4 つのチャートが円の 地図帳を形成します。

上と右のグラフ、およびはそれぞれ定義域で重なり合っています。それらの交点は、および座標が両方とも正である円の 4 分の 1 にあります。どちらもこの部分を区間 にマッピングしますが、マッピングの仕方は異なります。したがって、逆関数を使用して の共定義域から円に値を戻し、その後区間に戻す関数を作成できます。aが内の任意の数である場合、次のようになります。 ${\displaystyle \chi _{\mathrm {top} }}$${\displaystyle \chi _{\mathrm {right} }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle T:(0,1)\rightarrow (0,1)=\chi _{\mathrm {right} }\circ \chi _{\mathrm {top} }^{-1}}$${\displaystyle \chi _{\mathrm {top} }}$${\displaystyle \chi _{\mathrm {right} }}$${\displaystyle (0,1)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}T(a)&=\chi _{\mathrm {right} }\left(\chi _{\mathrm {top} }^{-1}\left[a\right]\right)\\&=\chi _{\mathrm {right} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&={\sqrt {1-a^{2}}}\end{aligned}}}$$

このような関数は遷移マップと呼ばれます。

上、下、左、右のチャートが唯一の地図帳ではありません。チャートは幾何学的投影である必要はなく、チャートの数は選択の問題です。チャート と $${\displaystyle \chi _{\mathrm {minus} }(x,y)=s={\frac {y}{1+x}}}$$$${\displaystyle \chi _{\mathrm {plus} }(x,y)=t={\frac {y}{1-x}}}$$

ここでs は座標 ( x ,  y ) の点と固定ピボット点 (-1, 0) を通る直線の傾きです。同様に、 t は座標 ( x ,  y ) と (+1, 0) を通る直線の傾きの反対です。 sから( x ,  y ) への逆写像は次のように表されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}\\[5pt]y&={\frac {2s}{1+s^{2}}}\end{aligned}}}$$

sとt のすべての値に対して、x ²  +  y ² = 1 であることが確認できます。これら 2 つのチャートは、遷移マップを含む円の 2 番目のアトラスを提供します (つまり、 s と t が両方ともゼロでないすべての点に対して、 s と t の間にこの関係が あります) 。$${\displaystyle t={\frac {1}{s}}}$$

各チャートは、 sの場合は (-1, 0)、 tの場合は (+1, 0) のいずれか 1 つのポイントを省略するため、どちらのチャートも単独では円全体をカバーするのに十分ではありません。 1 つのチャートで円全体をカバーすることは不可能であることが証明されています。 たとえば、単一の線区間から、両端を重ねて「接着」することで円を作成することは可能ですが、これではチャートは作成されません。円の一部が一度に両端にマッピングされ、可逆性が失われます。

球は表面の一例である。陰方程式の単位球は

x ² + y ² + z ² – 1 = 0

は、6 つのチャートのアトラスでカバーできます。平面z = 0 は球を 2 つの半球 ( z > 0とz < 0 ) に分割し、これらは両方とも、 xy座標平面への投影によってディスクx ² + y ² < 1にマッピングできます。これにより 2 つのチャートが作成されます。他の 4 つのチャートは、他の 2 つの座標平面を使用して同様の構成で作成されます。

円の場合と同様に、1 つの点を除く球全体をカバーする 1 つのチャートを定義できます。したがって、2 つのチャートで十分ですが、球全体を 1 つのチャートでカバーすることはできません。

この例は、用語のきっかけとなったため、歴史的に重要です。地球の表面全体を単一の地図(「チャート」とも呼ばれます。海図を参照) で平面的に表現することはできないことが明らかになったため、地球の表面全体をカバーするには 地図帳が必要になります。

多様体は接続されている必要はありません（すべてが「一体」である必要はありません）。一例として、別々の円のペアが挙げられます。

多様体は閉じている必要はありません。したがって、端点のない線分は多様体です。多様体の次元が 0 でない限り、多様体は可算ではありません。これらの自由度を組み合わせると、多様体の他の例としては、放物線、双曲線、3 次曲線y ² = x ³ − x (閉じたループ部分と開いた無限部分) 上の点の軌跡などがあります。

ただし、2 つの接触する円が 1 つの点を共有して 8 の字を形成するような例は除外されます。共有点では、満足のいくチャートを作成することはできません。位相幾何学によって曲げが許容されている場合でも、共有点の近傍は線ではなく「+」のように見えます。「+」は線分と同相ではありません。「+」から中心点を削除すると 4 つのコンポーネント(つまり、ピース) を持つ空間が得られるのに対し、線分から点を削除すると最大 2 つのピースを持つ空間が得られるためです。位相操作では常にピースの数が保持されます。

非公式には、多様体とはユークリッド空間を「モデルにした」 空間です。

多様体には多くの異なる種類があります。幾何学と位相幾何学では、すべての多様体は位相多様体であり、追加の構造を持つ場合もあります。多様体は、座標チャートのコレクション、つまりユークリッド空間への同相を持つ開集合による被覆と、パッチ関数^{[明確化が必要]}を与えることによって構築できます。パッチ関数は、2 つの異なる座標チャートで多様体の同じ部分に対応する、ユークリッド空間の 1 つの領域から別の領域への同相です。パッチ関数が連続性を超える公理を満たす場合、多様体に追加の構造を与えることができます。たとえば、微分可能多様体は、互いに微分同相である重なり合う近傍上に同相を持ち、そのため多様体は各近傍で微分可能で、したがって多様体全体で微分可能な、明確に定義された関数の集合を持ちます。

正式には、（位相）多様体は、ユークリッド空間に局所的に同相な 第 2 の可算な ハウスドルフ空間です。

第二可算とハウスドルフは点集合条件です。第二可算は長い直線など、ある意味で「大きすぎる」空間を除外しますが、ハウスドルフは「2 つの原点を持つ直線」などの空間を除外します (これらの多様体の一般化については、非ハウスドルフ多様体で説明します)。

ユークリッド空間に局所的に同相であるということは、あらゆる点が、何らかの非負整数nに対してユークリッド空間の開集合に同相な近傍を持つことを意味します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

これは、点が孤立点であるか( の場合)、または開球体に同相な近傍を持つかのいずれかを意味します。これはまた、 は同相であり、さらにその中の任意の開球体に微分同相である ( の場合) ので、すべての点が に同相な近傍を持つことも意味します。 ${\displaystyle n=0}$ $${\displaystyle \mathbf {B} ^{n}=\left\{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}。}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n>0}$

前述の定義に現れるnは、多様体の局所次元と呼ばれる。一般に多様体は一定の局所次元を持つとみなされ、局所次元は多様体の次元と呼ばれる。これは特に、多様体が連結されて いる場合に当てはまる。しかし、一部の著者は連結されていない多様体を認めており、異なる点が異なる次元を持つことができる。^[1]多様体が固定次元を持つ場合、これを「多様体」と呼ぶことで強調することができる。純粋多様体。たとえば、球（の表面）は定数 2 の次元を持ち、したがって純粋多様体ですが、3 次元空間での球と直線の非結合和ありません局所的に一定であるため、各連結成分は固定された次元を持ちます。

層理論的には、多様体は局所的に環を持つ空間であり、その構造層はユークリッド空間上の連続（または微分可能、複素解析的など）関数の層と局所的に同型です。この定義は、代数幾何学で解析多様体を議論するときによく使用されます。

球状の地球は、地図帳に集められた平面の地図やチャートを使って移動します。同様に、多様体は、数学的な地図帳に集められた座標チャートと呼ばれる数学的な地図を使って記述できます。多様体のグローバルな構造はチャートの単純な構造とは異なるため、通常、1 つのチャートだけで多様体を記述することはできません。たとえば、1 つの平面地図では、地図の境界をまたいで隣接する地物を分離したり、範囲を重複させたりすることなく、地球全体を表すことはできません。多様体が複数の重なり合うチャートから構築されている場合、重なり合う領域には、グローバルな構造を理解するために不可欠な情報が含まれます。

多様体の座標写像、座標チャート、または単にチャートとは、多様体のサブセットと単純空間との間の可逆な写像であり、写像とその逆写像の両方が目的の構造を保存します。^[2]位相多様体の場合、単純空間は何らかのユークリッド空間のサブセットであり、関心は位相構造に集中します。この構造は、両方向に連続する可逆な写像である同相写像 によって保存されます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

微分可能多様体の場合、遷移関数(下記参照)がすべて微分可能なアトラスと呼ばれる一連のチャートを使用して、微積分を行うことができます。たとえば、極座標は、正のx軸と原点を除いた平面のチャートを形成します。チャートの別の例としては、前述のマップ χ _{top が}あり、これは円のチャートです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

ほとんどの多様体の記述には、複数のチャートが必要です。多様体をカバーする特定のチャートのコレクションは、アトラスと呼ばれます。チャートのさまざまな組み合わせを使用して、すべての多様体を複数の方法でカバーできるため、アトラスは一意ではありません。2 つのアトラスの和もアトラスである場合、それらのアトラスは同等であると言われます。

与えられたアトラスと一致するすべての可能なチャートを含むアトラスは、最大アトラス(つまり、その与えられたアトラスを含む同値類) と呼ばれます。通常のアトラスとは異なり、与えられた多様体の最大アトラスは一意です。定義には便利ですが、これは抽象的なオブジェクトであり、直接使用されません (たとえば、計算では)。

地図帳内の図表は重なり合うことがあり、多様体の 1 つの点が複数の図表で表される場合があります。2 つの図表が重なり合う場合、それらの一部は多様体の同じ領域を表します。これは、ヨーロッパの地図とロシアの地図の両方にモスクワが含まれている場合があるのと同じです。2 つの重なり合う図表がある場合、の開球から多様体へ、そして の別の (または同じ) 開球に戻る遷移関数を定義できます。結果として得られるマップは、上記の円の例のマップTのように、座標の変更、座標変換、遷移関数、または遷移マップと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

アトラスは、多様体上の追加の構造を定義するためにも使用できます。構造は最初に各チャートで個別に定義されます。すべての遷移マップがこの構造と互換性がある場合、構造は多様体に転送されます。

これは、微分可能多様体を定義する標準的な方法です。位相多様体のアトラスの遷移関数が の自然な微分構造を保存する場合(つまり、それらが微分同相写像である場合)、微分構造は多様体に転送され、多様体を微分可能多様体に変換します。複素多様体は、アトラスの遷移関数が正則関数であることを要求することによって、同様の方法で導入されます。シンプレクティック多様体の場合、遷移関数はシンプレクティック同相写像でなければなりません。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

多様体上の構造はアトラスに依存しますが、異なるアトラスが同じ構造を生み出すと言える場合もあります。このようなアトラスは互換性があると呼ばれます。

これらの概念は、一般に擬似群の使用によって明確化されます。

境界を持つ多様体は、辺を持つ多様体です。たとえば、一枚の紙は、1 次元境界を持つ2 次元多様体です。境界を持つ - 多様体の境界は- 多様体です。円盤(円と内部) は、境界を持つ 2 次元多様体です。その境界は円で、1 次元多様体です。内部を持つ正方形も、境界を持つ 2 次元多様体です。球(球と内部) は、境界を持つ 3 次元多様体です。その境界は球で、2 次元多様体です (境界 (トポロジー)と混同しないでください)。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$

専門用語で言えば、境界を持つ多様体は、内部点と境界点の両方を含む空間です。すべての内部点には、開球 に同相な近傍があります。すべての境界点には、「半」球に同相な近傍があります。半球間の同相は、 を持つ点を を持つ点に送信する必要があります。この不変性により、境界点を「定義」できます。次の段落を参照してください。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\vert \Sigma x_{i}^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\vert \Sigma x_{i}^{2}}1{\text{ かつ }}x_{1}\geq 0\}}$${\displaystyle x_{1}=0}$${\displaystyle x_{1}=0}$

を境界を持つ多様体とします。の内部はと表記され、の開集合に同相な近傍を持つ 内の点の集合です。の境界はと表記され、内のの補集合です。境界点は、ある座標チャートの下で の境界超平面上にある点として特徴付けることができます。${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {Int} M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle \operatorname {Int} M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (x_{n}=0)}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$

が次元の境界を持つ多様体である場合、 は次元の多様体（境界なし）であり、 は次元の多様体（境界なし）です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {Int} M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle n-1}$

単一の多様体はさまざまな方法で構築することができ、それぞれが多様体の異なる側面を強調し、それによってわずかに異なる視点につながります。

多様体を構築する最も簡単な方法は、上記の円の例で使用されている方法かもしれません。まず、 のサブセットが特定され、次にこのサブセットをカバーするアトラスが構築されます。多様体の概念は、歴史的にこのような構築から生まれました。次に、この方法を球の構築に適用した別の例を示します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

球は円とほぼ同じように扱うことができます。数学では、球は表面（固体内部ではない）であり、次のサブセットとして定義できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}.}$$

球面は2次元なので、各チャートは球面の一部を の開いた部分集合にマッピングします。正のz座標を持つ部分（右の図では赤色）である北半球を考えてみましょう。関数χは次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle \chi (x,y,z)=(x,y),\ }$$

北半球を( x , y ) 平面に投影して、開いた単位円にマッピングします。南半球用の同様のチャートが存在します。 ( x , z ) 平面に投影された 2 つのチャートと ( y , z )平面に投影された 2 つのチャートを合わせて、球全体をカバーする 6 つのチャートのアトラスが作成されます。

これは高次元の球体に簡単に一般化できます。

多様体は、一貫した方法でピースを接着し、重なり合うチャートを作成することで構築できます。この構築は任意の多様体に対して実行可能なため、特に微分可能多様体やリーマン多様体の特徴付けとしてよく使用されます。パッチが自然にチャートを提供するため、アトラスに焦点を当てており、外部空間が関与しないため、多様体の本質的なビューにつながります。

多様体は、遷移マップによって定義されるアトラスを指定することによって構築されます。したがって、多様体の点は、遷移マップによって互いにマップされる点の同値類です。チャートは、同値類を単一のパッチの点にマップします。遷移マップの一貫性には通常、強い要求があります。位相多様体の場合、それらは同相写像である必要があります。それらが微分同相写像でもある場合、結果として得られる多様体は微分可能多様体です。

これは、円の例の後半の遷移マップt = ¹ ⁄ _sで説明できます。線のコピーを 2 つ用意します。最初のコピーには座標s を使用し、 2 番目のコピーにはt を使用します。次に、2 番目のコピーの点t を最初のコピーの点s = ¹ ⁄ _tと同一視して、両方のコピーを接着します(点t = 0 とs = 0 は、それぞれ最初のコピーと 2 番目のコピーのどの点とも同一視されません)。これで円が得られます。

最初の構成とこの構成は非常に似ていますが、かなり異なる観点を表しています。最初の構成では、多様体は何らかのユークリッド空間に埋め込まれていると見なされます。これが外在的観点です。多様体をこのように見ると、ユークリッド空間からの直観を使用して追加の構造を定義することが容易になります。たとえば、ユークリッド空間では、ある点のベクトルが、その点を通る何らかの面に対して接線方向であるか垂直方向であるかは常に明らかです。

パッチワーク構成では、埋め込みは使用されず、多様体をそれ自体の位相空間として単純に見なします。この抽象的な観点は、本質的観点と呼ばれます。これにより、接ベクトルがどのようなものであるかを想像することが難しくなる可能性があり、また、本質的な正規バンドルの概念はありませんが、代わりに、本質的な安定した正規バンドルが存在します。

n球面S ^{n は}、円 (1 球面) と球 (2 球面) の考え方を高次元に一般化したものです。n球面S ^{n は、}のコピー を 2 つ貼り合わせることで構成できます。それらの間の遷移写像は球面 の反転であり、次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}\to \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}:x\mapsto x/\|x\|^{2}.}$$

この関数はそれ自身の逆関数であるため、両方向に使用できます。遷移マップは滑らかな関数であるため、このアトラスは滑らかな多様体を定義します。n = 1の場合、例は前述の円の例に簡略化されます。

多様体の異なる点を同じ点として定義することは可能です。これは、これらの点を 1 つの点に接着して商空間を形成すると視覚化できます。ただし、このような商空間が多様体であることを期待する理由はありません。必ずしも多様体ではない可能性のある商空間の中で、オービフォールドとCW 複体は比較的行儀が良いと考えられています。多様体でもある商空間の例として、実射影空間があり、これは対応する球面の商空間として識別されます。

点を同一視する（点同士を接着する）方法の 1 つは、多様体に作用する群の右（または左）作用を利用することです。2 つの点は、ある群の要素によって一方の点がもう一方の点に移動されると同一視されます。M が多様体で G が群の場合、結果として得られる商空間はM / G（またはG \ M）で表されます。

点を同一視することで構築できる多様体には、トーラスと実射影空間（それぞれ平面と球面から始まる）が含まれます。

境界を持つ 2 つの多様体は、境界に沿って接着することができます。これを正しく行うと、結果も多様体になります。同様に、1 つの多様体の 2 つの境界を接着することもできます。

形式的には、接着は2 つの境界間の全単射によって定義されます^{[疑わしい–議論]}。2 つの点は、互いにマッピングされるときに識別されます。位相多様体の場合、この全単射は同相写像でなければなりません。そうでない場合、結果は位相多様体にはなりません。同様に、微分可能多様体の場合、これは微分同相写像でなければなりません。他の多様体の場合、他の構造が保持される必要があります。

有限円筒は、[0,1] × [0,1] の帯から始めて、適切な微分同相写像によって境界上の 2 つの反対側の辺を接着することによって多様体として構築できます。射影平面は、穴の開いた球をメビウスの帯にそれぞれの円形境界に沿って接着することによって得られます。

多様体の直積も多様体です。

積多様体の次元は、その因子の次元の合計です。その位相は積位相であり、チャートの直積は積多様体のチャートです。したがって、積多様体のアトラスは、その因子のアトラスを使用して構築できます。これらのアトラスが因子の微分構造を定義する場合、対応するアトラスは積多様体の微分構造を定義します。因子に定義されている他の構造についても同様です。因子の 1 つに境界がある場合、積多様体にも境界があります。直積は、たとえば、それぞれS ¹  ×  S ¹とS ¹ × [0,1]として、トーラスと有限シリンダを構築するために使用できます 。

多様体の研究は数学の多くの重要な分野を組み合わせたもので、曲線や曲面などの概念や、線型代数や位相幾何学の考え方を一般化します。

多様体の現代的な概念以前には、いくつかの重要な結果がありました。

非ユークリッド幾何学は、ユークリッドの平行線公理が成り立たない空間を考察する。サッケリは1733年に初めてこのような幾何学を研究したが、その反証のみを目指した。ガウス、ボヤイ、ロバチェフスキーは100年後に独立してこれを発見した。彼らの研究により、古典的なユークリッド空間とは異なる幾何学的構造を持つ2種類の空間が明らかになり、これらから双曲幾何学と楕円幾何学が生まれた。現代の多様体理論では、これらの概念はそれぞれ負と正の一定の曲率を持つリーマン多様体に対応する。

カール・フリードリヒ・ガウスは、抽象空間をそれ自体で数学的な対象として考えた最初の人物だったかもしれない。彼の定理エグレギウムは、表面が位置する周囲の空間を考慮せずに表面の曲率を計算する方法を与えている。このような表面は、現代の用語で言えば多様体と呼ばれ、現代の用語で言えば、定理は表面の曲率が固有の特性であることを証明した。多様体理論は、周囲の空間の外在的特性をほとんど無視して、これらの固有の特性（または不変量）のみに焦点を当てるようになった。

多様体の固有の性質のもう 1 つの、より位相的な例は、オイラー特性です。レオンハルト オイラーは、3 次元ユークリッド空間のV頂点(または角)、E辺、F面を持つ凸多面体について、多面体の頂点と辺を球面に投影して、V頂点、E辺、F面を持つ位相マップを作成すると、同じ式が成り立ち、実際、凸多面体から生じていなくても、どの球面マップに対しても当てはまります。^[3]したがって、2 は球面の位相不変量であり、オイラー特性と呼ばれます。一方、トーラスは、 「平行」円と「子午線」円で切り開くことができ、 V  = 1 頂点、E  = 2 辺、F  = 1 面を持つマップを作成します。したがって、トーラスのオイラー特性は 1 − 2 + 1 = 0 です。他の曲面のオイラー特性は便利な位相不変量であり、ベッティ数を使用して高次元に拡張できます。19 世紀半ばには、ガウス・ボネの定理によってオイラー特性がガウス曲率に結び付けられました。 $${\displaystyle V-E+F=2.\}$$

19世紀前半の楕円積分の逆行列に関する研究により、彼らはヤコビアンとして知られる特殊な複素多様体を検討することになった。ベルンハルト・リーマンは彼らの理論にさらに貢献し、複素変数関数の解析接続の過程の幾何学的意味を明らかにした。

19世紀の数学における多様体のもう一つの重要な源泉は、シメオン・ポアソン、ヤコビ、ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって発展した解析力学であった。機械システムの可能な状態は、古典力学のラグランジアン形式とハミルトン形式における位相空間という抽象空間の点であると考えられている。この空間は実際、高次元多様体であり、その次元はシステムの自由度に対応し、点は一般化座標によって指定される。自由粒子の制約のない運動の場合、多様体はユークリッド空間と同等であるが、さまざまな保存則により、リウヴィル・トーラスなどのより複雑な構成に制限される。18世紀にレオンハルト・オイラーとジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって発展した回転固体の理論は、多様体が自明でない別の例を示している。古典力学の幾何学的および位相的側面は、位相幾何学の創始者の一人である アンリ・ポアンカレによって強調されました。

リーマンは、面の概念を高次元に一般化する広範な研究を行った最初の人物である。多様体という名前は、リーマンの元のドイツ語であるMannigfaltigkeitに由来し、ウィリアム・キングドン・クリフォードはこれを「多様体性」と翻訳した。リーマンはゲッティンゲンでの就任講演で、変数が多くの値を取ることができるため、特定の制約を持つ変数のすべての可能な値の集合をMannigfaltigkeitと説明した。彼は、値が連続的に変化するかどうかによって、 stetige Mannigfaltigkeitとdiscrete Mannigfaltigkeit (連続多様体性と不連続多様体性)を区別している。連続的な例として、リーマンは色や空間内のオブジェクトの位置だけでなく、空間図形の可能な形状についても言及している。リーマンは帰納法を用いて、n 倍拡張された多様体性( n 倍拡張された多様体性またはn 次元多様体性) を (n−1) 次元多様体の連続的なスタックとして構築します。リーマンの直観的な多様体性の概念は、今日では多様体として形式化されているものに発展しました。リーマン多様体とリーマン面はリーマンにちなんで名付けられています。

アンリ・ポアンカレは、非常に影響力のある論文「位置解析」^{[4]で、微分可能多様体（} variété ）の定義を与え、それが現代の多様体の概念の先駆けとなった。^[5]

『位置解析』の第 1 セクションで、ポアンカレは、多様体を、暗黙関数定理の非退化仮説を満たすユークリッド空間間の連続微分可能関数の水準集合として定義しています。第 3 セクションでは、連続微分可能関数のグラフは後者の意味で多様体であると述べて始めます。次に、彼は「多様体の​​連鎖」( une chaîne des variétés ) に基づく、新しい、より一般的な多様体の定義を提案しています。

ポアンカレの多様体連鎖の概念は、現代のアトラスの概念の先駆けです。特に、彼は関数のグラフととしてそれぞれ定義された 2 つの多様体について考察します。これらの多様体が重なり合う場合 ( a une partie commune )、座標が座標に連続的に微分可能に依存し、その逆もまた成り立つことを要求します (「...座標と逆の関数は分析的である」)。このようにして、彼はチャートの概念と遷移マップの概念の先駆けを導入しました。 ${\displaystyle \theta (y)}$${\displaystyle \theta '\left(y'\right)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y'}$

たとえば、平面上の単位円は、点 (1, 0) と (-1, 0) を除くすべての点の近傍における関数または関数のグラフと考えることができます。また、これらの点の近傍では、それぞれ、およびのグラフと考えることができます。円は、定義方程式の左辺が円のすべての点で非ゼロの勾配を持つため、すべての点の近傍のグラフによって表すことができます。暗黙の関数定理により、ユークリッド空間のすべての部分多様体は、局所的に関数のグラフです。 ${\textstyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$${\textstyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}$${\textstyle x={\sqrt {1-y^{2}}}}$${\textstyle x=-{\sqrt {1-y^{2}}}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$

ヘルマン・ワイルは1911年から1912年にかけてリーマン面の講義で微分可能多様体の本質的定義を与え、その後すぐに続く位相空間の一般概念への道を開いた。1930年代にはハスラー・ホイットニーらがこの主題の基礎的側面を明らかにし、こうして19世紀後半に遡る直観が精密化され、微分幾何学やリー群論を通じて発展した。特にホイットニーの埋め込み定理^[6]は、チャートによる本質的定義がユークリッド空間の部分集合によるポアンカレの定義と同等であることを示した。

2次元多様体は、我々の一般的な3次元空間に埋め込まれた2次元面としても知られ、リーマンによってリーマン面として考えられ、20世紀初頭にポール・ヒーガードとマックス・デーンによって厳密に分類されました。ポアンカレは、3次元多様体研究の先駆者であり、今日ではポアンカレ予想として知られる基本的な問題を提起しました。ほぼ1世紀後、グリゴリー・ペレルマンがポアンカレ予想を証明しました（ポアンカレ予想の解決を参照）。 1970年代に策定されたウィリアム・サーストンの幾何学化プログラムは、ポアンカレ予想を一般的な3次元多様体にまで広範囲に拡張しました。 4次元多様体は、1980年代にマイケル・フリードマンと、別の背景を持つサイモン・ドナルドソンによって数学研究の最前線に持ち込まれました。ドナルドソンは、当時の理論物理学における最近の進歩（ヤン・ミルズ理論）に触発され、通常の「平坦な」時空の代わりとして機能しました。 アンドレイ・マルコフ・ジュニアは、 1960年に4次元多様体を分類するアルゴリズムは存在しないことを示しまし た。ポアンカレ予想の類似物を含む高次元多様体に関する重要な研究は、それ以前にルネ・トム、ジョン・ミルナー、スティーブン・スメール、セルゲイ・ノビコフによって行われていました。多様体の位相幾何学に関する多くの研究の基礎となっている非常に普及した柔軟な手法は、モース理論です。

定義するのが最も簡単な種類の多様体は位相多様体であり、局所的には「普通の」ユークリッド空間 のように見えます。定義により、すべての多様体は位相多様体であるため、「位相多様体」という語句は通常、多様体に追加の構造がないこと、またはその位相特性のみが考慮されていることを強調するために使用されます。正式には、位相多様体は、ユークリッド空間に局所的に同相な位相空間です。これは、すべての点に近傍があり、その近傍を にマッピングする同相写像(逆も連続である全単射連続関数)が存在することを意味します。これらの同相写像は、多様体のチャートです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

位相多様体は局所的にはユークリッド空間にかなり弱い形で似ている。つまり、個々のチャートごとに微分可能関数を区別したり、距離や角度を測定したりすることはできるが、位相多様体であるという理由だけで、空間にはそのような概念の特定の一貫した選択はない。 ^[7]多様体のそのような特性について議論するためには、さらなる構造を特定し、以下で説明する微分可能多様体とリーマン多様体を考慮する必要がある。特に、同じ基礎となる位相多様体は、互いに互換性のない微分可能関数のクラスをいくつか持つことができ、距離と角度を指定する方法は無限にある。

通常、位相空間に関する追加の技術的仮定は、異常なケースを排除するために行われます。空間がハウスドルフであり、2 番目に可算であることを要求するのが通例です。

ある点における多様体の次元は、その点のチャートがマッピングされるユークリッド空間の次元です (定義の番号n )。連結された多様体内のすべての点は、同じ次元を持ちます。著者の中には、位相多様体のすべてのチャートが同じ次元のユークリッド空間にマッピングされることを要求する人もいます。その場合、すべての位相多様体は位相不変量、つまり次元を持ちます。

ほとんどのアプリケーションでは、特殊な種類の位相多様体、つまり微分可能多様体が使用されます。多様体上の局所チャートが特定の意味で互換性がある場合、その多様体上の方向、接空間、および微分可能関数を定義できます。特に、微分可能多様体上で微積分を使用できます。 n次元微分可能多様体の各点には接空間があります。これは、その点を通る曲線の接ベクトルで構成されるn次元ユークリッド空間です。

微分可能多様体の 2 つの重要なクラスは、滑らかな多様体と解析的多様体です。滑らかな多様体では、遷移マップは滑らかです。つまり、無限に微分可能です。解析的多様体は、遷移マップが解析的であるという追加条件を備えた滑らかな多様体です(遷移マップは、べき級数として表すことができます)。球面は、ほとんどの一般的な曲線や面と同様に、解析構造を与えることができます。

修正可能集合は、区分的に滑らかな曲線または修正可能な曲線の考え方を高次元に一般化しますが、修正可能集合は一般に多様体ではありません。

多様体上の距離と角度を測定するには、多様体がリーマン多様体でなければなりません。リーマン多様体は、各接空間に点から点へと滑らかに変化する内積 が備わっている微分可能多様体です。2 つの接ベクトル と が与えられると、内積は実数になります。ドット(またはスカラー) 積は、内積の典型的な例です。これにより、長さ、角度、面積(または体積)、曲率、ベクトル場の発散など、さまざまな概念を定義できます。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \langle u,v\rangle }$

すべての微分可能多様体 (定数次元) は、リーマン多様体の構造を持つことができます。ユークリッド空間自体は、リーマン多様体の自然な構造を持ちます (接空間はユークリッド空間自体と自然に同一視され、その空間の標準的なスカラー積を持ちます)。たとえばすべてのn球面を含む多くのよく知られた曲線と曲面は、ユークリッド空間の部分空間として指定され、その埋め込みからメトリックを継承します。

フィンスラー多様体では距離の定義が可能ですが、角度の概念は必要ありません。フィンスラー多様体は、各接空間に点から点へと滑らかに変化するノルム、が備わった解析多様体です。このノルムは、曲線の長さを定義するメトリックに拡張できますが、一般に内積の定義には使用できません。 ${\displaystyle \|\cdot \|}$

任意のリーマン多様体はフィンスラー多様体です。

リー群は、ソフス・リーにちなんで名付けられ、群の操作が滑らかな写像によって定義されるような 群の構造も持つ微分可能多様体です。

ベクトル加算の群演算を伴うユークリッドベクトル空間は、非コンパクトリー群の例です。コンパクトリー群の簡単な例は円です。群演算は単純に回転です。 として知られるこの群は、乗算を群演算とする 係数1の複素数の群としても特徴付けられます。${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$

リー群の他の例としては、行列の特殊群があります。これらはすべて、一般線型群、つまり行列式がゼロでない行列の群のサブグループです。行列の要素が実数の場合、これは次元の不連続多様体になります。直交群、球面と超球面の対称群は次元多様体で、 は球面の次元です。その他の例は、リー群の表に記載されています。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle n(n-1)/2}$${\displaystyle n-1}$

• 複素多様体とは、チャートが に値を取り、遷移関数が重なり合う部分で正則である多様体です。これらの多様体は、複素幾何学における基本的な研究対象です。1 次元複素多様体は、リーマン面と呼ばれます。次元複素多様体は、実微分可能多様体と同じ次元を持ちます。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$
• CR多様体は、 内の領域の境界に基づいてモデル化された多様体です。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• 「無限次元多様体」: 無限次元を許容するために、バナッハ空間に局所的に同相なバナッハ多様体を考えることができます。同様に、フレシェ多様体はフレシェ空間に局所的に同相です。
• シンプレクティック多様体は、古典力学における位相空間を表すために使用される多様体の一種です。ポアソン括弧を定義する2 形式を備えています。密接に関連する多様体のタイプは接触多様体です。
• 組合せ多様体とは、多様体を離散化した多様体の一種です。通常は、単体複体によって作られた区分線形多様体を意味します。
• デジタル多様体は、デジタル空間で定義される特殊な種類の組み合わせ多様体です。デジタルトポロジーを参照してください。

多様体の異なる概念には、分類と不変量の異なる概念があります。このセクションでは、滑らかな閉じた多様体に焦点を当てます。

滑らかな閉多様体の分類は、 4次元を除いて原理的にはよく理解されています。低次元（2と3）では、均一化定理とポアンカレ予想の解決によって幾何学的であり、高次元（5以上）では、手術理論によって代数的です。これは原理的な分類です。2つの滑らかな多様体が微分同相であるかどうかという一般的な問題は、一般には計算できません。さらに、具体的な計算は困難なままであり、多くの未解決の問題があります。

有向曲面は種数ごとに視覚化でき、その微分同相クラスを列挙できます。2 つの有向曲面が与えられた場合、それぞれの種数を計算して比較することで、それらが微分同相であるかどうかを判断できます。種数が等しい場合にのみ、それらは微分同相であり、したがって種数は不変量の完全なセットを形成します。

これは高次元でははるかに困難です。高次元多様体は直接視覚化することはできません (視覚的な直感は理解に役立ちますが)。また、その微分同相類を列挙することもできません。また、一般に、高次元多様体の 2 つの異なる記述が同じオブジェクトを参照しているかどうかを判断することもできません。

しかし、2 つの多様体を区別する何らかの固有の特性がある場合、それらの多様体が異なるかどうかを判断できます。このような基準は一般に不変量と呼ばれます。これは、それらの基準が何らかの表現 (三角形分割における種数など) に基づいて定義される一方で、特定の多様体のあらゆる可能な記述に対して同じであるためです。つまり、異なる記述に対して 不変です。

同型性に至るまですべての多様体を明確に分類する不変基準の武器庫を開発することが期待できます。次元 4 以上の多様体の場合、2 つの多様体が微分同相であるかどうかを判断できる プログラムは存在しないことが知られています。

滑らかな多様体には、点集合位相、古典的な代数位相、および幾何学的位相に由来する豊富な不変量があります。表面で確認できる最もよく知られた不変量は、向き付け可能性(通常の不変量であり、ホモロジーによっても検出されます) と種数(ホモロジー不変量) です。

滑らかな閉多様体には局所不変量（次元以外）はありませんが、幾何学的多様体には局所不変量、特にリーマン多様体の曲率やアフィン接続を備えた多様体のねじれがあります。局所不変量と局所不変量がないことの区別は、幾何学と位相を区別する一般的な方法です。したがって、滑らかな閉多様体の不変量はすべてグローバルです。

代数的位相幾何学は、多くの重要なグローバル不変特性の源です。いくつかの重要な基準には、単連結特性と方向性があります (以下を参照)。実際、ホモロジー、ホモトピー理論、特性類理論など、数学のいくつかの分野は、多様体の不変特性を研究するために設立されました。

2 次元以上では、単純だが重要な不変基準は、多様体が意味のある方向付けを許容するかどうかという問題です。 にマッピングするチャートを持つ位相多様体を考えてみましょう。 の順序付き基底が与えられれば、チャートは多様体のその部分にそれ自体に対する順序付けの感覚を与えます。これは 3 次元では右手または左手として見ることができます。重なり合うチャートは順序付けの感覚が一致する必要はなく、これは多様体に重要な自由を与えます。球面などの一部の多様体では、重なり合う領域が「利き手」について一致するようにチャートを選択できます。これらは方向付け可能な多様体です。他の多様体では、これは不可能です。後者の可能性は見落とされがちです。なぜなら、3 次元空間に埋め込まれた (自己交差のない) 任意の閉じた表面は方向付け可能であるためです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

向き付け不可能な多様体の例としては、(1)境界を持つ多様体であるメビウスの帯、(2) 3次元空間表現で必ず交差するクラインの壺、(3)幾何学で自然に生じる実射影平面などが挙げられます。

まず、垂直に立っている無限の円筒、つまり境界のない多様体から始めます。円筒を上下にスライスして、2 つの円形の境界と、その間の円筒状のストリップを作成します。これは、境界のある方向付け可能な多様体であり、これに対して「手術」が行われます。ストリップをスライスして開いて長方形になるようにしますが、切断した端を握ったままにします。一方の端を 180 度ねじって内側の表面を外側に向け、端をシームレスに接着します。これにより、永久的に半ねじれたストリップ、つまりメビウスの帯ができます。その境界は、もはや 2 つの円ではなく、(位相的に) 1 つの円です。かつて「内側」だったものが「外側」と融合し、今では1 つの面しかありません。下のクラインの壷と同様に、この 2 次元の表面は 2 次元で交差する必要がありますが、3 次元以上で簡単に構築できます。

2 つのメビウスの帯を取ります。それぞれに境界となるループが 1 つあります。これらのループをまっすぐにして円にし、帯をクロスキャップに変形させます。円を接着すると、境界のない新しい閉じた多様体、つまりクラインの壺が生成されます。表面を閉じても方向性の欠如は改善されず、境界が削除されるだけです。したがって、クラインの壺は内側と外側の区別がない閉じた表面です。3 次元空間では、クラインの壺の表面はそれ自体を通過する必要があります。自己交差しないクラインの壺を構築するには、4 次元以上の空間が必要です。

原点を中心とする球から始めます。原点を通るすべての直線は、対蹠点と呼ばれる 2 つの反対の点で球を貫通します。物理的にこれを行う方法はありませんが、(商空間を考慮することにより) 各対蹠点のペアを 1 つの点に数学的に統合することは可能です。このようにして作成された閉じた表面は、実射影平面であり、これもまた向き付け不可能な表面です。これには同等の説明と構成が多数ありますが、この方法はその名前の由来を説明しています。つまり、原点を通る任意の直線上のすべての点は、この「平面」上の同じ「点」に投影されます。

2 次元多様体の場合、重要な不変特性は種数、つまり表面に存在する「ハンドルの数」です。トーラスはハンドルが 1 つある球体で、二重トーラスはハンドルが 2 つある球体などです。実際、種数と配向可能性に基づいてコンパクトな 2 次元多様体を完全に特徴付けることが可能です。より高次元の多様体では、種数はオイラー特性の概念に置き換えられ、より一般的にはベッティ数、ホモロジー、コホモロジー に置き換えられます。

多様体にさまざまなタイプがあるのと同様に、多様体の写像にもさまざまなタイプがあります。一般的な連続関数と滑らかな関数に加えて、特別な特性を持つ写像があります。幾何学的位相幾何学では、基本的なタイプは埋め込み（結び目理論が中心的な例）と、浸漬、沈み込み、被覆空間、分岐被覆空間などの一般化です。基本的な結果には、ホイットニーの埋め込み定理とホイットニーの浸漬定理があります。

リーマン幾何学では、リーマン計量を保存する写像を求めることができ、等長埋め込み、等長浸漬、リーマン浸漬の概念につながります。基本的な結果はナッシュ埋め込み定理です。

多様体間の写像の基本的な例としては、多様体上のスカラー値関数 や $${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$$$${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {C} ,}$$

代数幾何学や線型代数との類似性から、正則関数や汎関数と呼ばれることもあります。これらは、それ自体としても興味深いものですが、基礎となる多様体を研究する上でも興味深いものです。

幾何学的位相幾何学で最も一般的に研究されるのは、ハンドルボディ分解をもたらすモース関数ですが、数学的解析では、偏微分方程式の解を研究することが多く、その重要な例は調和解析です。調和解析では、調和関数、つまりラプラス演算子の核を研究します。これにより、球面調和関数などの関数や、太鼓の形状の聴取やアティヤ・シンガーの指数定理のいくつかの証明などの多様体を研究する熱核法が生まれます。

無限次元多様体

多様体の定義は、有限次元という要件を削除することで一般化できます。したがって、無限次元多様体は、実数上の位相ベクトル空間に局所的に同相な位相空間です。これにより、点集合公理が省略され、より高い濃度と非ハウスドルフ多様体が可能になります。また、有限次元が省略されるため、ヒルベルト多様体をヒルベルト空間で、バナッハ多様体をバナッハ空間で、フレシェ多様体をフレシェ空間でモデル化できるようになります。通常は、どちらか一方の条件を緩和します。点集合公理を持つ多様体は一般位相幾何学で研究され、無限次元多様体は関数解析で研究されます。

オービフォールド

オービフォールドは、位相における特定の種類の「特異点」を許容する多様体の一般化です。大まかに言えば、オービフォールドは、さまざまな有限群の作用による、ある単純な空間 (ユークリッド空間など) の商のように見える空間です。特異点は、群の作用の固定点に対応し、作用は、ある意味で互換性がなければなりません。

代数多様体とスキーム

実数または複素数上の非特異代数多様体は多様体です。これを一般化するには、まず特異点を許可し、次に異なる体を許可し、最後に多様体のパッチ構成をエミュレートします。多様体がユークリッド空間の開集合から接着されるのと同様に、代数多様体は、代数的に閉じた体上の多項式の零集合であるアフィン代数多様体から接着されます。スキームも同様に、代数多様体の一般化であるアフィンスキームから接着されます。どちらも多様体に関連していますが、アトラスの代わりに層を使用して代数的に構築されます。

特異点があるため、多様体は一般に多様体ではないが、言語的にはフランス語のvariété、ドイツ語のMannigfaltigkeit、英語のmanifoldはほぼ同義である。フランス語では代数多様体はune variété algébrique (代数多様体)と呼ばれ、滑らかな多様体はune variété différentielle (微分多様体) と呼ばれる。

階層化された空間

「成層空間」とは、部分（「層」）に分割できる空間であり、各層は多様体であり、層は所定の方法（正式には、閉部分集合による濾過）で互いに適合する。^[8]技術的な定義は様々であり、特に滑らかな多様体に対するホイットニー成層空間（ホイットニー条件を参照）と位相多様体に対する位相成層空間がある。基本的な例としては、境界を持つ多様体（トップ次元の多様体と余次元 1 の境界）とコーナーを持つ多様体（トップ次元の多様体、余次元 1 の境界、余次元 2 のコーナー）がある。ホイットニー成層空間は、代数多様体、解析多様体、半代数集合、部分解析集合を含む広範な空間クラスである。

CW複合体

CW 複体は、異なる次元の円板を貼り合わせて形成される位相空間です。一般に、結果として得られる空間は特異であり、したがって多様体ではありません。ただし、代数位相幾何学、特にホモトピー理論では中心的な関心事です。

ホモロジー多様体

ホモロジー多様体は、ホモロジー理論の観点から多様体のように振舞う空間である。これらはすべて多様体ではないが、（高次元では）多様体と同様に手術理論によって解析することができ、手術理論と同様に、多様体でない場合は局所的な障害となる。^[9]

微分空間

を空でない集合とする。 上の実関数の族が選ばれたとする。それを で表記する。これは点ごとの加法と乗法に関する代数である。が によって誘導される位相を備えているとする。また、以下の条件が成り立つとする。第 1 に、、任意の であるすべての に対して、合成 が成り立つとする。第 2 に、 のすべての点でからの何らかの関数と局所的に一致するすべての関数は、 にも属する。上記の条件が成り立つペアは、シコルスキー微分空間と呼ばれる。^[10]${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{M}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C}$${\displaystyle H\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}\in C}$${\displaystyle H\circ \left(f_{1},\dots ,f_{n}\right)\in C}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (M,C)}$

• 部分多様体 – 多様体自体が多様体である多様体の部分集合。多様体への単射浸漬
• 測地線 – 曲面またはリーマン多様体上の直線
• 方向統計学 – 統計学のサブ分野: 多様体上の統計学
• 多様体のリスト
• 多様体のタイムライン – 数学のタイムライン
• 一般相対性理論の数学

• 3次元多様体 – 数学的空間
• 4次元多様体 – 数学的空間
• 5次元多様体 – 5次元の多様体
• 写像の多様体 – 非常に緩やかな完全性条件を満たす局所凸ベクトル空間Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

• Freedman, Michael H.、Quinn, Frank (1990) Topology of 4-Manifolds。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-08577-3。 
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• ヘンペル、ジョン（1976）3-多様体。プリンストン大学出版局。ISBN 0-8218-3695-1。 
• Hirsch, Morris (1997) Differential Topology . Springer Verlag. ISBN 0-387-90148-5 . 歴史的洞察と優れた難問を盛り込んだ、最も完全な解説。この主題を深く理解したい人のための標準的な参考書。 
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