コアモデル

集合論において、コアモデルは、すべての集合の宇宙の定義可能な内部モデルです。集合論者は「コアモデル」と呼んでいますが、これは一意に識別される数学的オブジェクトではありません。むしろ、適切な集合論的仮定の下で、非常に特殊な特性、特に特性をカバーする特性を持つ内部モデルのクラスです。直感的には、コアモデルは「存在する最大の標準的な内部モデル」であり、^[1]（ここで「標準的な」は未定義の用語です）^{[2] p. 28であり、通常は}大きな基数の概念に関連付けられています。Φ が大きな基数の概念である場合、「Φ の下のコアモデル」という語句は、Φ を満たす基数が存在しないという仮定の下で特別な特性を示す定義可能な内部モデルを指します。コアモデルプログラムは、大きな基数の公理を分析し、その下のコアモデルを決定しようとします。

最初のコアモデルは、クルト・ゲーデルの構成可能宇宙 Lでした。ロナルド・ジェンセンは、ゼロシャープが存在しないという仮定の下で 1970 年代にLの被覆補題を証明し、Lが「ゼロシャープ以下のコアモデル」であることを証明しました。ソロベイの研究は、別のコアモデルL [ U ] を分離しました。これは、U が測定可能な基数(および関連する「シャープ」、ゼロダガー) 上の超フィルターである場合です。ジェンセンは、トニー・ドッドとともに、ドッド・ジェンセンのコアモデル (「測定可能な基数以下のコアモデル」) を構築し、その被覆補題とL [ U ] の一般化された被覆補題を証明しました。

ミッチェルは、一貫性のある測定シーケンスを使用して、複数またはより高次の測定可能データを含むコア モデルを開発しました。さらに後に、スティール コア モデルは、エクステンダーと反復ツリーを使用して、ウッディン基数以下のコア モデルを構築しました。

コアモデルは、マウスと呼ばれるコアモデルの小さな断片から超限再帰によって構築されます。構築の重要な要素は、関連するマウスの 適切な順序付けを可能にする比較補題です。

強い基数以上のレベルでは、中間の可算証明されたコアモデル K ^{c を}構築し、可能であれば K ^cから K を抽出します。

K _c (したがって K) は、長いエクステンダーの下で、微細構造の可算反復可能エクステンダーモデルです。(現在、基数が超強力であることを証明する長いエクステンダーの扱い方はわかっていません。) ここで、可算反復可能性とは、初期セグメントのすべての可算な基本サブ構造の ω ₁ +1 反復可能性を意味し、特定の凝縮特性を含む基本理論を展開すれば十分です。このようなモデルの理論は標準的で、よく理解されています。それらは、 GCH、正則基数のすべての定常サブセットのダイヤモンド原理、平方原理(サブコンパクト基数を除く)、および L で成り立つその他の原理 を満たしています。

K ^{c は}いくつかの意味で最大です。K ^{c は}、測定可能で多くの特異な基数の後続を正しく計算します。また、可算証明可能性を適切に弱めると、K ^{c はすべての}弱コンパクトで特異な強極限基数の後続を正しく計算することが期待されます。V がマウス演算子 (内部モデル演算子) の下で閉じている場合、K ^{c も}閉じています。K ^cにはシャープがありません。つまり、K ^cをそれ自体に自然に非自明な基本埋め込みは存在しません。(ただし、K とは異なり、K ^{c は}基本的に自己埋め込み可能である場合があります。)

_{さらに、このモデルに Woodin 基数も存在しない場合 (特定の特別な場合を除いて、K c}に Woodin 基数がある場合にコア モデルをどのように定義するべきかは不明)、実際のコア モデル K を抽出できます。K は、独自のコア モデルでもあります。K は、ローカルに定義可能で、ジェネリック的に絶対です。つまり、V のすべてのジェネリック拡張について、V[G] のすべての基数 κ>ω ₁について、V[G] の H(κ) で構築された K は、K∩H(κ) に等しくなります (K に Woodin 基数が含まれていた場合は、これは不可能です)。K は、最大、普遍的、かつ完全に反復可能です。これは、すべての反復可能な拡張モデル M (マウスと呼ばれる) について、M→N への基本埋め込みと、K の初期セグメントから N への埋め込みがあり、M が普遍的である場合、K から M への埋め込みがあることを意味します。

K が存在し、V がシャープ演算子 M の下で閉じている場合、K は、K 内の実数をパラメータとして、M を述語として許容するとΣ ¹ _{1正しいと推測されます。M が x→x} ^{#の場合、これは Σ 1} _{3 の}正しさ (通常の意味で)に相当します。

コアモデルは、特定の順序数セット X 上で定義することもできます。X は K(X) に属しますが、K(X) は X より上で K の通常のプロパティを満たします。ω Woodin 基数を持つ反復可能な内部モデルが存在しない場合は、何らかの X に対して K(X) が存在します。上記の K と K ^cに関する議論は、K(X) と K ^c (X) に一般化されます。

推測：

• _{長いエクステンダーを持つ ω 1} +1 反復可能モデル (したがって超強力な基数を持つモデル)が存在しない場合は、K ^{c が}存在します。
• ^{K c}が存在し、V のすべてのジェネリック拡張で構築される場合(つまり、十分に大きい順序数 κ に対するジェネリック崩壊 Coll(ω, <κ) の下で)、「Woodin 基数は存在しない」という条件を満たす場合、コア モデル K が存在します。

この推測の部分的な結果は次のとおりです。

1. Woodin 基数を持つ内部モデルが存在しない場合は、K が存在します。
2. (太字) Σ ¹ _n決定性 (n は有限) が V のすべてのジェネリック拡張で成り立つが、n 個の Woodin 基数を持つ反復可能な内部モデルが存在しない場合は、K が存在します。
3. 測定可能な基数 κ が存在する場合、κ より下の K ^{c が}存在するか、またはWoodin 基数と λ まで強い基数の両方の測定可能な極限 λ を持つω ₁ +1 反復可能モデルが存在します。

V に Woodin 基数があるが、Woodin 基数を超える強い基数はない場合、適切な状況下では、各 Woodin 基数 (およびすべての順序数のクラス) κ より下、ただし κ より下の Woodin 基数の上限より下に構築された K より上に K を構築することによって、K (の候補) を構築できます。候補となるコア モデルは完全に反復可能 (反復可能性は Woodin 基数で失敗) ではなく、一般的に絶対的ではありませんが、それ以外は K のように動作します。

• W. ヒュー・ウッディン(2001 年 6 月/7 月)。「連続体仮説、パート I」。AMS の通知。
• ウィリアム・ミッチェル「内部モデル理論入門」（『集合論ハンドブック』第3巻第17章）[1]
• マシュー・フォアマンと金森章弘（編集者）。 「集合論ハンドブック」、シュプリンガー版、2010 年、ISBN 978-1402048432。 
• ロナルド・ジェンセンとジョン・R・スティール。「測定可能なもののないK」。Journal of Symbolic Logic第78巻第3号（2013年）、708-734ページ。