球詰め

幾何学において、球詰めとは、包含空間内での重なり合わない球の配置である。考慮される球は通常、すべて同じサイズであり、空間は通常 3次元ユークリッド空間である。ただし、球詰め問題は、不等な球、他の次元の空間 (この場合、問題は2 次元では円詰め、高次元では超球詰めになる)、または双曲空間などの非ユークリッド空間を考慮するように一般化できる。

典型的な球のパッキング問題は、球が可能な限り多くの空間を埋める配置を見つけることです。球が埋める空間の割合は、配置のパッキング密度と呼ばれます。無限空間内のパッキングの局所密度は、測定される体積に応じて変化する可能性があるため、問題は通常、十分に大きな体積で測定された平均密度または漸近密度を最大化することです。

3次元の等密度球の場合、最も密な充填では体積の約74%を占めます。等密度球をランダムに充填すると、密度は通常約63.5%になります。^[1]

分類と用語

格子配置（一般に規則配置と呼ばれる）は、球の中心が非常に対称的なパターンを形成するもので、（ n次元ユークリッド空間） n 個のベクトルのみを一意に定義する必要があります。格子配置は周期的です。球が格子を形成しない配置（不規則と呼ばれることが多い）も周期的ですが、非周期的（正確には非周期的）またはランダムである場合もあります。対称性が高いため、格子パッキングは非格子パッキングよりも分類が容易です。周期的な格子は、常に明確に定義された密度を持ちます。

通常の梱包

高密度充填

3 次元ユークリッド空間では、最密構造と呼ばれる構造群によって、等しい球が最も密に詰め込まれます。このような構造を生成する方法の 1 つは次のとおりです。球が密集して配置された平面を考えます。これを A とします。隣接する任意の 3 つの球に対して、4 番目の球をその上の 3 つの球の間の空洞に配置できます。これを最初の平面の上にある 2 番目の平面の半分の穴に対して実行すると、新しい密集層が作成されます。これを行うには 2 つの選択肢があり、それぞれ B と C と呼びます。B を選択したとします。すると、B のくぼみの半分は A のボールの中心の上に位置し、もう半分は B に使用されなかった A のくぼみの上に位置します。したがって、3 番目の層のボールは、最初の層のボールの真上に配置するか (タイプ A の層になる)、または最初の層の 2 番目の層が占めていない穴の上に配置するか (タイプ C の層になる) のいずれかになります。タイプ A、B、および C の層を組み合わせると、さまざまな最密構造が生成されます。

最密充填ファミリー内の 2 つの単純な配置は、正方格子に対応します。1 つは立方最密充填 (または面心立方、"FCC") と呼ばれ、層が ABCABC... の順序で交互に配置されます。もう 1 つは六方最密充填("HCP")と呼ばれ、層が ABAB... の順序で交互に配置されます。^{[疑わしい–議論]}しかし、多くの層の積み重ねシーケンス (ABAC、ABCBA、ABCBAC など) が可能であり、それでも最密充填構造が生成されます。これらの配置のすべてにおいて、各球は 12 個の隣接する球に接しており、^[2]平均密度は

{\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\simeq 0.74048.

1611年、ヨハネス・ケプラーはこれが規則的配置と不規則的配置の両方の中で最大の密度であると予想し、これはケプラー予想として知られるようになった。カール・フリードリヒ・ガウスは1831年にこれらのパッキングがすべての可能な格子パッキングの中で最高の密度を持つことを証明した。^[3] 1998年、トーマス・カリスター・ヘイルズは、1953年にラースロー・フェイェシュ・トートが提案したアプローチに従って、ケプラー予想の証明を発表した。ヘイルズの証明は、複雑なコンピュータ計算を使用して多くの個別のケースを確認することを伴う、徹底的な証明である。審査員はヘイルズの証明の正確さについて「99％の確信がある」と述べた。2014年8月10日、ヘイルズは自動証明確認を使用して正式な証明を完了し、疑いを払拭したと発表した。^[4]

その他の一般的な格子充填

物理システムでは、他の格子パッキングもよく見られます。これには、密度がの立方格子、密度がの六方格子、密度がの四面体格子が含まれます。^[5] ${\frac {\pi }{6}}\approx 0.5236$ ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}\approx 0.6046$ ${\frac {\pi {\sqrt {3}}}{16}}\approx 0.3401$

低密度の詰まったパッキング

すべての球が隣接する球によって 1 つの場所にとどまるように制約されているパッキングは、リジッドまたはジャムドと呼ばれます。厳密にジャムされた (有限システムであっても機械的に安定している) 規則的な球のパッキングで、密度が最も低いことが知られているのは、希釈された (「トンネル化された」) fcc 結晶で、密度はわずか $π \sqrt 2 /9 \approx 0.49365$ です。^[6]最も緩い既知の規則的なジャムドパッキングの密度は約 0.0555 です。^[7]

不規則な梱包

密に詰まった球の集合体を作ろうとすると、3 つの球の間にあるくぼみに次の球を置きたくなるでしょう。5 つの球をこのように組み立てると、上で説明した規則的に詰まった配置の 1 つと一致します。しかし、このように配置された 6 番目の球は、規則的な配置とは一致しない構造になります。これにより、圧縮に対して安定した、球がランダムに密に詰まる可能性があります。 ^{[8]ランダムに緩く詰まった球を振動させると、球状粒子が規則的に詰まった状態になることがあります。このプロセスは、}粒状結晶化として知られています。このようなプロセスは、球状粒子を保持する容器の形状に依存します。^[2]

球を容器にランダムに追加して圧縮すると、それ以上圧縮できないときに、一般に「不規則」または「詰まった」パッキング構成が形成されます。この不規則なパッキングの密度は通常約 64% です。最近の研究では、密度の限界は 63.4% を超えないことが解析的に予測されています^[9]この状況は、1 次元または 2 次元の場合とは異なります。1 次元または 2 次元の場合、1 次元または 2 次元の球 (つまり、線分または円) のコレクションを圧縮すると、規則的なパッキングが生成されます。

超球パッキング

球詰め問題は、任意の次元における球詰め問題の3次元版である。2次元では、同等の問題は平面上に円を詰めることである。1次元では、線分を線形宇宙に詰めることである。^[10]

3次元を超える次元では、超球面の最も密な格子パッキングは8次元まで知られている。^[11]不規則な超球面パッキングについてはほとんど知られていない。いくつかの次元では最も密なパッキングが不規則になる可能性がある。この推測を裏付ける根拠として、特定の次元（例えば10次元）では最も密な不規則パッキングが、最も密な規則パッキングよりも密であるという事実がある。^[12]

2016 年、Maryna Viazovska は、E ₈格子が8 次元空間で最適なパッキング (規則性に関係なく) を提供するという証明を発表しました^[13] 。その後すぐに、彼女と共同研究者グループは、Leech 格子が24 次元で最適であるという同様の証明を発表しました。^[14]この結果は、これら 2 つの格子が最適に非常に近いことを示した以前の方法を基にして改良したものです。^[15] 新しい証明では、慎重に選択されたモジュラー関数のラプラス変換を使用して、放射状対称関数 $f を$ 構築します。この関数では、 $f$ とそのフーリエ変換 $f̂ はどちらも$ 原点で 1 に等しく、最適格子の他のすべての点でどちらもゼロになり、パッキングの中心球の外側では $f が負で、$ $f̂ が$ 正になります。次に、 $f$ のポアソン和の公式を使用して、最適格子の密度を他のパッキングの密度と比較します。^[16]証明が正式に審査され出版される前に、数学者ピーター・サーナックは証明を「驚くほど単純」と呼び、「論文を読み始めるだけでこれが正しいと分かる」と書いた。^[17]

高次元におけるもう一つの研究は、最稠密充填の密度の漸近的境界を見つけようとするものである。大きな $nに対して、次元$ $n$ における最稠密格子の密度は $cn$ $\cdot 2$ $-$ $n$ （ある定数 $c$ に対して）と $2$ $-(0.599+o(1))$ $n$ の間になることが知られている。^[18] 推測上の境界はその中間にある。^[19] 2023 年のプレプリントでは、Marcelo Campos、Matthew Jenssen、Marcus Michelen、Julian Sahasrabudhe が最大密度の下限をに改善した。^[20]^{[21]彼らの手法の中には、}Rödl ニブルを利用するものがある。 $\theta (n)$ $\theta (n)\geq (1-o(1)){\frac {n\ln n}{2^{n+1}}}$

不等球詰め

化学および物理科学における多くの問題は、複数のサイズの球が利用できる場合のパッキング問題に関係している可能性があります。ここでは、球を密に詰まった均等な球の領域に分割するか、複数のサイズの球を組み合わせて複合パッキングまたは格子間パッキングにするかを選択できます。球のサイズが多数ある場合 (または分布)、問題はすぐに解決不可能になりますが、バイナリハード球 (2 つのサイズ) に関する研究がいくつかあります。

2番目の球が最初の球よりもはるかに小さい場合、大きな球を密に詰めた配置で配置し、次に八面体と四面体の隙間に小さな球を配置することができます。この隙間の充填密度は半径比に敏感に依存しますが、極端なサイズ比の限界では、小さな球は大きな球で満たされた空間と同じ密度で隙間を埋めることができます。^[23]大きな球が密に詰められていなくても、大きな球の半径の最大0.29099の小さな球をいくつか挿入することは常に可能です。^[24]

小さい球の半径が、大きい球の半径の 0.41421 を超えると、最密充填構造の八面体孔にも収まらなくなります。したがって、この点を超えると、ホスト構造が拡張して格子間原子を収容するか (全体の密度が損なわれる)、より複雑な結晶化合物構造に再配置する必要があります。半径比が 0.659786 までの最密充填密度を超える構造が知られています。^[22]^[25]

このような二成分充填で得られる密度の上限も得られている。^[26]

イオン結晶などの多くの化学的状況では、構成イオンの電荷によって化学量論が制約されます。この充填に対する追加制約と、相互作用する電荷のクーロンエネルギーを最小化する必要性により、最適な充填配置の多様性が生まれます。

任意の半径を持つ厳密に詰まった球の充填の密度の上限は1です。このような球の充填の例としては、アポロニアン球の充填があります。このような球の充填の下限は0です。例としては、ディオニシアン球の充填があります。^[27]

双曲空間

円と球の概念は双曲空間に拡張できるが、最も密な充填を見つけることははるかに困難になる。双曲空間では、他の球を囲むことができる球の数に制限はない（たとえば、フォード円は、各円が無限の数の他の円に囲まれた同一の双曲円の配置と考えることができる）。平均密度の概念も、正確に定義することがはるかに困難になる。どの双曲空間でも、最も密な充填はほとんどの場合不規則である。^[28]

この困難にもかかわらず、K. Böröczky はn ≥ 2の双曲n空間の球体パッキングの密度の普遍的な上限を与えています。 ^{[29] 3 次元では、Böröczky の境界は約 85.327613% であり、}Schläfli 記号{3,3,6}を持つ6 次四面体ハニカムのホロスフィアパッキングによって実現されます。 ^[30]この構成に加えて、密度の上限を実現する少なくとも 3 つの他のホロスフィアパッキングが双曲 3 空間に存在することが知られています。^[31]

タッチするペア、トリプレット、クアドラプル

単位球の任意の有限パッキングの接触グラフは、頂点がパッキング要素に対応し、対応する 2 つのパッキング要素が互いに接触する場合に 2 つの頂点が辺で接続されるグラフです。接触グラフの辺集合の濃度は接触するペアの数を与え、接触グラフの 3 サイクルの数は接触する 3 重項の数を与え、接触グラフの四面体の数は接触する 4 重項の数を与えます (一般に、n次元の球パッキングに関連付けられた接触グラフの場合、接触グラフのn単体の集合の濃度は、球パッキング内の接触する ( n + 1) 重項の数を与えます )。3 次元ユークリッド空間の場合、接触するペア、3 重項、4 重項の数の非自明な上限^[32]が、カルガリー大学の Karoly Bezdekと Samuel Reidによって証明されました。

n個の同一球の配置において球間の接触点の数を最大化する問題は「粘着球問題」として知られている。最大値はn ≤ 11で知られており、それより大きいnでは推測値のみが知られている。^[33]

その他のスペース

超立方体の角への球詰め（球はハミング距離で定義される）は、誤り訂正符号の設計に対応します。球の半径がtの場合、その中心は (2 t + 1) 誤り訂正符号のコードワードです。格子詰めは線形コードに対応します。ユークリッド球詰めと誤り訂正符号の間には、他にも微妙な関係があります。たとえば、バイナリ Golay コードは、 24 次元 Leech 格子と密接に関連しています。

これらの関係の詳細については、コンウェイとスローンの著書「Sphere Packings, Lattices and Groups」を参照してください。^[34]

参照

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球詰め