モジュラリティ定理

モジュラリティ定理（以前は谷山・志村予想、谷山・志村・ヴェイユ予想、あるいは楕円曲線のモジュラリティ定理と呼ばれていた）は、有理数体上の楕円曲線が特定の方法で モジュラー形式と関連していること を述べている。アンドリュー・ワイルズとリチャード・テイラーは半安定楕円曲線のモジュラリティ定理を証明し、これはフェルマーの最終定理を示唆するのに十分であった。その後、ワイルズの元学生であるブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラーによる一連の論文は、クリストフ・ブリューイユとの共同論文で最高潮に達し、ワイルズの手法を拡張して2001年に完全なモジュラリティ定理を証明した。

定理は、上の任意の楕円曲線は、ある整数Nに対する古典的なモジュラー曲線X ₀ ( N )からの整数係数の有理写像を介して得られることを述べています。これは、明示的に定義された整数係数の曲線です。このマッピングは、レベルNのモジュラーパラメータ化と呼ばれます。N がそのようなパラメータ化を見つけることができる最小の整数である場合 (モジュラー定理自体により、これは導体と呼ばれる数であることがわかっています)、パラメータ化は、重み 2 でレベルNの特定の種類のモジュラー形式によって生成されるマッピング、つまり整数q展開を持つ正規化された新しい形式によって定義され、必要に応じて同型性が続きます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

モジュラリティ定理は、密接に関連した解析的ステートメントを意味します。

上の各楕円曲線Eには、対応するL級数を付加することができる。L級数はディリクレ級数であり、一般的には ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle L(E,s)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

係数a _nの生成関数は

${\displaystyle f(E,q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}.}$

置き換えをすると

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau}}$

複素変数τの関数f ( E , τ )のフーリエ展開を書いたので、 q級数の係数はfのフーリエ係数とも考えられます。このようにして得られた関数は、驚くべきことに、重み 2 でレベルNのカスプ形式であり、また、固有形式 (すべてのヘッケ演算子の固有ベクトル) でもあります。これは、モジュラリティ定理から導かれる ハッセ・ヴェイユ予想です。

重み 2 のモジュラー形式の中には、 楕円曲線の正則微分に対応するものもあります。モジュラー曲線のヤコビアンは (同型性を除いて) 既約アーベル多様体の積として表すことができ、重み 2 のヘッケ固有形式に対応します。1 次元の因子は楕円曲線です (より高次元の因子もあるため、すべてのヘッケ固有形式が有理楕円曲線に対応するわけではありません)。対応するカスプ形式を見つけて、そこから曲線を構成することで得られる曲線は、元の曲線と同型です(ただし、一般に同型ではありません)。

谷山豊^{[1] は、 1955 年に}東京と日光で開催された代数的整数論に関する国際シンポジウムで、この予想の予備的（やや不正確な）バージョンを述べた。 志村五郎と谷山は、1957 年までこの予想の厳密さを改善する作業を行った。アンドレ・ヴェイユ^{[2]がこの予想を再発見し、1967 年に、この予想が楕円曲線のねじれた}L級数に対する（予想された）関数方程式から導かれることを示した。これは、この予想が正しいかもしれないという最初の本格的な証拠であった。ヴェイユはまた、楕円曲線の導体は対応するモジュラー形式のレベルであるべきであることを示した。谷山・志村・ヴェイユ予想は、ラングランズ プログラムの一部となった。^{[3] [4]}

この予想は、ゲルハルト・フライ^[5]が1986年にフェルマーの最終定理が成り立つと示唆して大きな注目を集めた。フライは、フェルマーの最終定理に対する反例が少なくとも1つの非モジュラ楕円曲線の存在を示唆することを示すことで、この予想を証明した。この議論は、ジャン＝ピエール・セール^[6]がフライの元の研究の欠けている部分（現在ではイプシロン予想またはリベットの定理として知られている）を特定し、2年後にケン・リベットがイプシロン予想の証明を完成させた1987年に完成しました。^[7]

谷山・志村・ヴェイユ予想は、真剣に注目された後も、当時の数学者からは証明が非常に難しい、あるいは証明不可能とさえ考えられていた。^[8]例えば、ワイルズの博士課程の指導教官であるジョン・コーツは、この予想は「実際に証明するのは不可能」だと述べており、ケン・リベットは、自分自身を「[この予想]が全く証明不可能だと信じている大多数の人々の一人」とみなしていた。

1995年、アンドリュー・ワイルズはリチャード・テイラーの助けを借りて、すべての半安定楕円曲線に対する谷山・志村・ヴェイユ予想を証明した。ワイルズはこれを用いてフェルマーの最終定理を証明し、^[9]谷山・志村・ヴェイユ予想の完全版は最終的にダイアモンド、^[10]コンラッド、ダイアモンド＆テイラー、そしてブレイユ、コンラッド、ダイアモンド＆テイラーによって証明された。ワイルズの研究を基に、彼らは残りのケースを徐々に解決していき、1999年に完全な結果が証明された。^{[11] [12]}完全に証明されると、この予想はモジュラリティ定理として知られるようになった。

フェルマーの最終定理に似た数論の定理は、モジュラ性定理から導かれる。例えば、立方体は互いに素な2 つの n乗 ( n ≥ 3 ) の和として表すことはできない。^[a]

モジュラリティ定理は、ロバート・ラングランズによるより一般的な予想の特殊なケースです。ラングランズプログラムは、数体上のすべての楕円曲線など、より一般的な数論代数幾何学の対象に保型形式または保型表現（モジュラ形式の適切な一般化）を関連付けることを目指しています。これらの拡張された予想のほとんどのケースはまだ証明されていません。

2013年、フレイタス、ル・フン、シクセックは、実二次体上で定義された楕円曲線がモジュラーであることを証明した。^[13]

例えば、^{[14] [15] [16]}判別式（および導体）37を持つ楕円曲線y ² − y = x ³ − xは、次の形式に関連付けられている。

${\displaystyle f(z)=q-2q^{2}-3q^{3}+2q^{4}-2q^{5}+6q^{6}+\cdots ,\qquad q=e^{2\pi iz}}$

37 以外の素数lについては、係数に関する特性を検証することができます。したがって、 l = 3の場合、 3 を法とする方程式の解は 6 つあります: (0, 0)、(0, 1)、(1, 0)、(1, 1)、(2, 0)、(2, 1)。したがって、a (3) = 3 − 6 = −3 です。

この予想は1950年代に遡り、アンドリュー・ワイルズのアイデアを用いて1999年までに完全に証明された。ワイルズは1994年に楕円曲線の大きな族に対してこの予想を証明した。^[17]

この予想にはいくつかの定式化がある。それらが同値であることを示すことは、20世紀後半の数論の主な課題であった。導体Nの楕円曲線Eのモジュラ性は、モジュラ曲線X ₀ ( N )からEへの、 ℚ上に定義された非定数有理写像が存在するということでも表現できる。特に、 Eの点はモジュラ関数によってパラメータ化できる。

例えば、曲線y ² − y = x ³ − x^{のモジュラーパラメータ化は[18]}で与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x(z)&=q^{-2}+2q^{-1}+5+9q+18q^{2}+29q^{3}+51q^{4}+\cdots \\y(z)&=q^{-3}+3q^{-2}+9q^{-1}+21+46q+92q^{2}+180q^{3}+\cdots \end{aligned}}}$

ここで、上記のように、q = e ^{2 πiz で}ある。関数x ( z )とy ( z )は、重み 0 およびレベル 37 のモジュラー関数である。言い換えると、これらは有理型関数であり、上半平面 Im( z ) > 0上で定義され、次式を満たす。

${\displaystyle x\!\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=x(z)}$

同様にy ( z )についても、 ad − bc = 1かつ37 | c を満たすすべての整数a、b、c、dに対して成り立ちます。

もう 1 つの定式化は、一方では楕円曲線に、他方ではモジュラー形式に付随するガロア表現の比較に依存します。後者の定式化は、この予想の証明に使用されています。形式のレベル (および曲線の導体への接続) の取り扱いは特に繊細です。

この予想の最も見事な応用は、フェルマーの最終定理（FLT）の証明である。素数p ≥ 5に対して、フェルマー方程式

${\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p}}$

は非ゼロ整数の解を持つため、FLTの反例となる。そして、イヴ・ヘレグアルク [fr]が最初に指摘したように、^[19]楕円曲線

${\displaystyle y^{2}=x(xa^{p})(x+b^{p})}$

判別式の

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{256}}(abc)^{2p}}$

はモジュラー化できない。^[7]したがって、この楕円曲線族（ヘレグアルク・フレイ曲線と呼ばれる）に対する谷山・志村・ヴェイユ予想の証明は、FLTを意味する。ゲルハルト・フレイ（ 1985）のアイデアに基づくこれら2つの命題の間のつながりの証明は難しく技術的である。これは1987年にケネス・リベットによって確立された。^[20]

• ダーモン、H. (2001) [1994]、「志村・谷山予想」、数学百科事典、EMS プレス
• Weisstein, Eric W.「谷山-志村予想」。MathWorld。