ウィルモア予想

微分幾何学において、ウィルモア予想はトーラスのウィルモアエネルギーの下限値である。1965年に予想したイギリスの数学者トム・ウィルモアにちなんで名付けられた。 ^[2]フェルナンド・コダ・マルケスとアンドレ・ネベスによる証明は2012年に発表され、2014年に出版された。^{[1] [3]}

v  :  M  →  R ^{3 を、}コンパクトで向き付け可能な表面の滑らかな 浸漬とする。Mに v によって誘導されるリーマン計量を与え、H : M → Rを 平均 曲 率 （各点における主曲率κ ₁とκ ₂の算術平均）とする。この表記では、MのウィルモアエネルギーW ( M )は次のように与えられる。

${\displaystyle W(M)=\int _{M}H^{2}\,dA.}$

ウィルモアエネルギーがW ( M ) ≥ 4 π を満たし、 M が埋め込まれた球である場合にのみ 等しいことを証明するのは難しくありません。

いくつかの例でW ( M )を計算すると、種数g ( M ) > 0の曲面ではW ( M ) ≥ 4 πよりも良い上限があるはずであることが示唆される。特に、さまざまな対称性を持つトーラスのW ( M ) の計算により、ウィルモアは1965年に次の予想を提唱した。これは現在彼の名前を冠している。

R ³内のすべての滑らかな浸漬トーラスMに対して、W ( M ) ≥ 2 π ²です。

1982年、ピーター・ワイ・クォン・リーとシン・トン・ヤウは、埋め込みがない場合の予想を証明し、埋め込みではないコンパクト曲面の浸漬である場合、 W ( M ) は少なくとも8πであることを示しました。^[4]${\displaystyle f:\Sigma \to S^{3}}$

2012年、フェルナンド・コダ・マルケスとアンドレ・ネベスは、アルムグレン・ピッツの極小曲面のミニマックス理論を用いて、埋め込みの場合の予想を証明した。^{[3] [1]}マーティン・シュミットは2002年に証明を主張したが、^[5]査読付きの数学雑誌での出版は認められなかった（ウィルモア予想の証明は含まれていなかったが、彼はその中でいくつかの他の重要な予想を証明した）。マルケスとネベスの証明以前に、ウィルモア予想は、チューブトーラス（ウィルモア自身による）や回転トーラス（ランガーとシンガーによる）など、多くの特殊なケースで既に証明されていた。 [ 6 ^]