ローカルリング

数学、より具体的には環論において、局所環は比較的単純な特定の環であり、代数多様体または多様体上で定義された関数、または特定の場所、つまり素数で調べられる代数的数体の意味での「局所的振る舞い」と呼ばれるものを記述するために使用されます。局所代数は、可換局所環とその加群を研究する可換代数の分野です。

実際には、可換局所環は、素イデアルにおける環の局所化の結果として生じることが多い。

局所環の概念は、1938年にヴォルフガング・クルルによってStellenringeという名前で導入されました。^[1] 英語の用語local ring はザリスキに由来しています。^[2]

環Rは 、次の同等な性質のいずれか 1 つを持つ場合、 局所環と呼ばれます。

• R には一意の最大左イデアルがあります。
• R には一意の最大右イデアルがあります。
• 1 ≠ 0 であり、 R内の任意の 2 つの非単位の合計は非単位です。
• 1 ≠ 0であり、x がRの任意の要素である場合、xまたは1 − xは単位です。
• 有限和が単位である場合、その和には単位となる項があります (特に、空和は単位にはなり得ないことを意味し、したがって 1 ≠ 0 を意味します)。

これらの性質が成り立つ場合、唯一の最大左イデアルは、唯一の最大右イデアルおよび環のヤコブソン根基と一致する。上に挙げた性質の 3 番目は、局所環の非単位集合が (適切な) イデアルを形成し、^[3]必ずヤコブソン根基に含まれることを述べている。4 番目の性質は、次のように言い換えることができる。環Rが局所的であるためには、互いに素な 2 つの適切な (主) (左) イデアルが存在しない必要があり、2 つのイデアルI ₁、I _{2 が}互いに素であると言われるのは、 R = I ₁ + I ₂の場合である。

^[4]可換環の場合、左イデアル、右イデアル、両側イデアルを区別する必要はない。可換環が局所的であるためには、唯一の最大イデアルを持つ必要がある。1960年頃より前は、多くの著者が局所環が（左と右）ネーター的であることを要求し、（ネーター的でない可能性のある）局所環は準局所環と呼ばれていた。この記事ではこの要件は課されない。

整域である局所環は局所領域と呼ばれます。

• すべての体（および歪体）は局所環です。これは、{0} がこれらの環における唯一の最大イデアルであるためです。
• 環は局所環（p は素数、n ≥ 1）である。唯一の最大イデアルはpのすべての倍数から構成される。${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$
• より一般的には、すべての要素が単位元または冪零元である非ゼロ環は局所環です。
• 局所環の重要なクラスは離散評価環であり、これは体ではない局所主イデアル領域です。
• 環 は、その要素がとなるような乗法が によって与えられる無限級数である場合、局所的です。その唯一の最大イデアルは、逆変換できないすべての要素で構成されます。言い換えると、定数項が 0 であるすべての要素で構成されます。${\displaystyle \mathbb {C} [[x]]}$${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$${\textstyle (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i})(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i})=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}x^{i}}$${\textstyle c_{n}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$
• より一般的には、局所環上の形式的冪級数の環はすべて局所的であり、最大イデアルは基本環の最大イデアルに定数項を持つ冪級数から構成される。
• 同様に、任意の体上の双対数の代数は局所的です。より一般的には、Fが局所環でn が正の整数である場合、商環F [ X ]/( X ⁿ ) は、定数項を持つ多項式のクラスがFの極大イデアルに属する最大イデアルで局所的です。これは、等比級数を使用して、 X ^{n を}法とする他のすべての多項式を逆元にすることができるためです。Fが体である場合、F [ X ]/( X ⁿ ) の元は、冪零または可逆のいずれかです。( F上の双対数は、n = 2 の場合に対応します。)
• 局所環の非ゼロ商環は局所環である。
• 奇数の分母を持つ有理数環は局所的であり、その最大イデアルは分子が偶数で分母が奇数の分数から構成されます。これは2 に局所化された整数です。
• より一般的には、任意の可換環 RとRの任意の素イデアル Pが与えられたとき、PにおけるRの局所化は局所的である。最大イデアルは、この局所化においてPによって生成されるイデアルである。つまり、最大イデアルは、a ∈ Pかつs ∈ R - Pであるすべての元a / sから構成される。

• 体上の多項式環は 、と が非単位なので局所的ではありませんが、それらの和は単位になります。${\displaystyle K[x]}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1-x}$
• 整数環はあらゆる素数に対して最大イデアルを持つため局所的ではありません。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle (p)}$${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$/( pq ) 、ここでpとq は異なる素数です。ここでは ( p ) と ( q ) は両方とも最大イデアルです。${\displaystyle \mathbb {Z} }$

これらの環に「局所的」という名前を付ける理由として、実数値の連続関数が実数直線の 0 付近の開区間で定義されるものについて考えます。ここで関心があるのは、これらの関数の 0 付近での挙動 (「局所的挙動」) のみであり、したがって、2 つの関数が 0 付近の (おそらく非常に小さい) 開区間で一致する場合、それらの関数を同一視します。この同一視により同値関係が定義され、同値類は「 0 における実数値の連続関数の芽」と呼ばれるものです。これらの芽は加算および乗算でき、可換環を形成します。

この芽の環が局所的であることを確認するには、その可逆要素を特徴付ける必要があります。芽fは、 f (0) ≠ 0の場合にのみ可逆です。その理由は、f (0) ≠ 0の場合、連続性により 0 の周りにfがゼロでない開区間が存在し、この区間で関数g ( x ) = 1/ f ( x )を形成できるからです。関数g は芽を生成し、fgの積は1 に等しくなります。(逆に、fが可逆である場合、 f (0) g (0) = 1となるg が存在するため、 f (0) ≠ 0 となります。)

この特徴付けにより、任意の 2 つの非可逆な芽の和が再び非可逆であることは明らかであり、可換な局所環が得られます。この環の最大イデアルは、まさにf (0) = 0となる芽fで構成されます。

まったく同じ議論が、任意の位相空間上の任意の点における連続実数値関数の芽の環、任意の微分可能多様体上の任意の点における微分可能関数の芽の環、任意の代数多様体上の任意の点における有理関数の芽の環に対しても適用されます。したがって、これらの環はすべて局所的です。これらの例は、多様体の一般化であるスキームが特別な局所環付き空間として定義される理由を説明するのに役立ちます。

局所環は付値理論において重要な役割を果たします。定義により、体Kの付値環は、 Kの任意の非ゼロ元xに対して、 xとx ⁻¹の少なくとも 1 つがRに含まれるような部分環Rです。このような部分環はいずれも局所環になります。たとえば、分母が奇数である有理数環(上記) は の付値環です 。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

体K （関数体である可能性もあるしそうでない可能性もある ）が与えられた場合、その中の局所環を探すことができる。K が代数多様体 Vの関数体であれば、 Vの各点Pに対して、 Pで「定義された」関数の付値環R を定義しようとすることができる。 Vが 2 次元以上の場合、次のように見られる困難がある。 FとGがV上 の有理関数で、

F ( P ) = G ( P ) = 0,

機能

F / G

はPにおいて不定形である。次のような簡単な例を考える。

Y / X、

線に沿って近づく

Y = tX、

Pの値は 単純な定義のない概念である ことがわかります。これは評価を使用して置き換えられます。

非可換局所環は、他の環上の加群の直和分解の研究において、自己準同型環として自然に生じる。具体的には、加群Mの自己準同型環が局所的であれば、M は分解不可能である。逆に、加群Mが有限長で分解不可能であれば、その自己準同型環は局所的である。

k が特性p > 0の体であり、G が有限p群である場合、群代数kG は局所的です。

また、最大イデアルmを持つ可換局所環Rを( R , m )と書く。このような環は、 mのべき乗を 0 の近傍基数としてとれば、自然に位相環になる。これがR上のm進位相である。( R , m )が可換ノイザン局所環であれば、

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }m^{i}=\{0\}}$

（クルルの交差定理）、そしてm進位相を持つR はハウスドルフ空間であることが分かります。この定理は、アルティン・リースの補題と中山の補題を合わせた結果であり、そのため、「ネーター」仮定が重要です。実際、R を実数直線上の 0 における無限微分可能関数の芽の環とし、m を最大イデアルとします。すると、任意のnに対して非ゼロ関数は に属します。これは、その関数を で割っても滑らかであるためです。 ${\displaystyle (x)}$${\displaystyle e^{-{1 \over x^{2}}}}$${\displaystyle m^{n}}$${\displaystyle x^{n}}$

任意の位相環については、( R , m )が完全(一様空間として)であるかどうかを問うことができる。完全でない場合は、その完備性、つまり局所環を考慮する。完全なノイザン局所環は、コーエン構造定理によって分類される。

代数幾何学では、特にR が点Pにおけるスキームの局所環であるとき、R / m は局所環の留数体または点Pの留数体と呼ばれます。

( R , m )と( S , n )が局所環である場合、 RからSへの局所環準同型は、性質f ( m ) ⊆ nを持つ環準同型f  : R → Sです。^{[5]これらは、} RとS上の与えられた位相に関して連続な環準同型です。たとえば、を送る環射を考えます。 の逆像はです。局所環射の別の例は によって与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x,y]/(x^{3},x^{2}y,y^{4})}$${\displaystyle x\mapsto x}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x)}$${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x]/(x^{2})}$

局所環Rのヤコブソン根基 m（これは唯一の最大左イデアルと唯一の最大右イデアルに等しい）は、環の非単元から正確に構成される。さらに、それは R の唯一の最大両側イデアルである。しかし、非可換の場合、唯一の最大両側イデアルを持つことは局所的であることと同義ではない。^[6]

局所環Rの元xに対して、以下は同値である。

• xには左逆数がある
• xには右逆数が存在する
• xは逆数である
• x はmに含まれません。

( R , m )が局所的であれば、因数環 R / m は歪体です。J ≠ R がR内の任意の両側イデアルである場合、因数環R / Jは再び局所的となり、最大イデアルはm / Jになります。

アーヴィング・カプランスキーによる深い定理によれば、局所環上の任意の射影加群は自由であるが、加群が有限生成の場合は中山の補題の単純な系となる。これは、森田同値の観点から興味深い結果をもたらす。すなわち、P が有限生成射影R加群である場合、P は自由加群R ⁿに同型であり、したがって自己準同型環は行列の完全環に同型である。局所環Rに森田同値であるすべての環は、そのようなPに対して の形であるため、結論として、局所環Rに森田同値である環はR上の行列環（と同型）のみである。 ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(P)}$${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(R)}$${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(P)}$

• ラム、TY (2001)。非可換環の初歩。数学の大学院テキスト（第2版）。シュプリンガー出版。ISBN 0-387-95183-0。
• ジェイコブソン、ネイサン(2009)。基礎代数。第 2 巻 (第 2 版)。ドーバー。ISBN 978-0-486-47187-7。

• 離散評価リング
• 半局所環
• 評価リング
• ゴレンシュタインローカルリング

• ローカルリングの哲学