超コンパクトカーディナル

集合論において、超コンパクト基数はソロベイとラインハルトによって独立に導入された大規模基数の一種である。 ^[1] これらはさまざまな反射特性を示す。

が任意の順序数である場合、が-超コンパクトで あるということは、宇宙から臨界点を持つ推移的内部モデルへの基本埋め込みが存在することを意味し、${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \lambda}$ ${\displaystyle j}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle j(\kappa )>\lambda }$

${\displaystyle {}^{\lambda }M\subseteq M\,.}$

つまり、にはそのすべての-シーケンスが含まれます。が超コンパクトであるということは、すべての順序数 に対して -超コンパクトであることを意味します。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$

あるいは、無数基数が超コンパクトであるとは、任意の に対して、上の正規測度が次の意味で 存在する場合をいいます。${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \vert A\vert \geq \kappa }$${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$

${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$は次のように定義されます。

${\displaystyle [A]^{<\kappa }:=\{x\subseteq A\mid \vert x\vert <\kappa \}}$。

上の超フィルタが 優れているのは、任意の に対して、それが-完全かつ である場合です。 上の正規測度は、となるような任意の関数が内の集合上で定数であるという追加の特性を持つ上の優れた超フィルタです。ここで「 内の集合上で定数」とは、 となるようなものが存在することを意味します。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }\mid a\in x\}\in U}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$${\displaystyle U}$${\displaystyle [A]^{<\kappa }}$${\displaystyle f:[A]^{<\kappa }\to A}$${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)\in x\}\in U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle \{x\in [A]^{<\kappa }|f(x)=a\}\in U}$

超コンパクト基数は反射特性を持ちます。限定ランクの構造によって証明される何らかの特性を持つ基数 (たとえば 3巨大基数) が超コンパクト基数 より上に存在する場合、その特性を持つ基数は より下に存在します。たとえば、が超コンパクトで、一般化連続体仮説(GCH) が より下で成り立つ場合、 のべき集合と少なくとも基数との全単射は、 における GCH の失敗の限定ランクの証明となるため、 より下にも存在する必要があるため、 GCH はどこでも成り立ちます。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \nu ^{++}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$

超コンパクト基数の標準的な内部モデルを見つけることは、内部モデル理論の主要な問題の 1 つです。

最小の超コンパクト基数は、基数がドメインであるすべての構造、および であるすべての文に対して、 を満たすより小さいドメイン（つまり ）を持つサブ構造が存在するような最小の基数です。^[2]${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle (M,R_{1},\ldots ,R_{n})}$${\displaystyle \vert M\vert \geq \kappa }$${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle (M,R_{1},\ldots ,R_{n})\vDash \phi }$${\displaystyle (M',R_{1}\vert M,\ldots ,R_{n}\vert M)}$${\displaystyle \vert M'\vert <\vert M\vert }$${\displaystyle \phi }$

超コンパクト性は、表現不可能であるという性質に似た組み合わせ論的特徴を持つ。を、その濃度 を持つすべての空でない部分集合の集合としよう。 基数が超コンパクトであるためには、すべての集合(すべての基数と同値)、すべての関数 に対して、すべての に対して、定常となるようなものが存在する必要がある。^[3]${\displaystyle P_{\kappa }(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle <\kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f:P_{\kappa }(A)\to P_{\kappa }(A)}$${\displaystyle f(X)\subseteq X}$${\displaystyle X\in P_{\kappa }(A)}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle \{X\mid f(X)=B\cap X\}}$

マギドールは、アクセス不可能な基数が超コンパクトである場合に限り成立する木の性質の変種を得た。 ^[4]

• 不滅性
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