エルミート定数

数学において、シャルル・エルミートにちなんで名付けられたエルミート定数は、ユークリッド空間における格子の最短要素の長さを決定する。

定数$\displaystyle \gamma _{n}}$整数の場合${\displaystyle n>0}$は次のように定義されます。格子の場合${\displaystyle L}$ユークリッド空間において$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$単位共体積、すなわち$\displaystyle \operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/L)=1}$、 させて${\displaystyle \lambda _{1}(L)}$非ゼロ要素の最小長さを表す${\displaystyle L}$。 それから${\displaystyle {\sqrt {\gamma _{n}}}}$は最大です${\displaystyle \lambda _{1}(L)}$そのような格子全体にわたって${\displaystyle L}$。

エルミート定数の定義における平方根は、歴史的な慣習によるものである。

あるいは、エルミート定数$\displaystyle \gamma _{n}}$平坦な心室の最大収縮期の二乗として定義できる${\displaystyle n}$単位体積のn次元トーラス。

エルミート定数は、1次元から8次元、および24次元において既知である。

のために${\displaystyle n=2}$1つは${\displaystyle \gamma _{2}=2/{\sqrt {3}}}$この値は、単位面積の基本平行四辺形になるようにスケーリングされたアイゼンシュタイン整数の六角形格子によって達成される。 ^{[ 1 ]}

^{[ 2 ]}​

$$\gamma_n \leq(4/3)^n-1/2.$$

ハンス・フレデリック・ブリッヒフェルト^{[ 3 ]}によるより強力な推定値は^{[ 4 ]}である。

$${\displaystyle \gamma _{n}\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)\Gamma \left(2+{\frac {n}{2}}\right)^{\frac {2}{n}},}$$ どこ${\displaystyle \Gamma (x)}$はガンマ関数です。

• レーヴナーのトーラス不等式
• ミンコフスキーの定理

• Cassels, JWS (1997).数の幾何学入門. 数学古典シリーズ（1971年 版の復刻版）. Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-61788-4。
• 北岡義之（1993）二次形式の算術.ケンブリッジ数学叢書 第 106巻.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021 . 
• Schmidt, Wolfgang M. (1996).ディオファントス近似とディオファントス方程式. Lecture Notes in Mathematics. Vol.  1467 (第2 版). Springer-Verlag . p.  9. ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020 .