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非整礎集合論（ハイフンなしのnonwellfounded [ 1 ]またはpoorly foundation [ 2 ]とも表記される）は、集合がそれ自身の要素となることを許容し、整礎性の規則に違反する公理的集合論の変種である。非整礎集合論では、ZFCの基礎公理は、その否定を意味する公理に置き換えられる。
非整礎集合の研究は、ドミトリー・ミリマノフが1917年から1920年にかけての一連の論文で開始したもので、彼は整礎集合と非整礎集合の区別を定式化したが、整礎性を公理とはみなさなかった。その後、非整礎集合の公理系がいくつか提案されたが、1988年にピーター・アツェルの著書『非整礎集合』でハイパーセット理論が導入されるまで、それらはあまり応用されなかった。 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]
非整礎集合の理論は、コンピュータ科学における非終了計算プロセスの論理モデリング（プロセス代数と最終意味論）、言語学と自然言語意味論（状況理論）、哲学（嘘つきのパラドックスに関する研究）、そして異なる設定である非標準分析に適用されてきた。[ 6 ]
1917年、ドミトリー・ミリマノフは集合の整礎性の概念を導入した[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] 。
ZFC では、正則性の公理により無限に下降する ∈-列は存在しません。実際、正則性の公理は、 ZFC − (つまり、正則性の公理を含まない ZFC)内で、整礎性が正則性を意味することが証明できるため、しばしば基礎公理と呼ばれます。正則性の公理を含まない ZFC の変種では、集合のような ∈-鎖を持つ非整礎集合の可能性が生じます。たとえば、A ∈ Aとなる集合Aは非整礎です。
ミリマノフは、おそらく整礎でない集合間の同型性の概念も導入したが、基礎公理も反基礎公理も考慮しなかった。[ 9 ] 1926年、ポール・フィンスラーは、整礎でない集合を許容する最初の公理を導入した。ツェルメロが1930年に（フォン・ノイマンの1925～1929年の研究から）基礎を自身の体系に採用した後、整礎でない集合への関心は数十年にわたって薄れた。[ 11 ]初期の整礎でない集合論としては、ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインの『新基礎』があるが、これは単に基礎を置き換えたZFではない。
基礎公理が ZF の残りの部分から独立していることの証明は、1950 年代にいくつか発表されました。特に、1941 年の以前の論文で結果を発表したPaul Bernays (1954 年) と、1951 年の教授資格論文で別の証明を与え、1957 年に出版したErnst Speckerによるものがありました。その後、1957 年に、そのような証明を実行するための一般的な方法を与え、非整礎公理系への関心を再び高めたRieger の定理が発表されました。 [ 12 ]次の公理の提案は、1960 年の学会でのDana Scottの講演(論文として出版されなかった) で、現在SAFAと呼ばれる別の公理が提案されました。[ 13 ] 1960 年代後半に提案されたもう 1 つの公理は、Aczel によってその 10 年間の研究の頂点と評された、Maurice Boffaの超普遍性の公理でした。 [ 14 ]ボッファの考えは、基礎を可能な限りひどく失敗させること（あるいは、外延性が許す限り）でした。ボッファの公理は、すべての外延的な集合のような関係が推移的クラスの要素性述語と同型であることを意味します。
1980年代にM. FortiとF. Honsellによって開拓された、より新しい非整礎集合論のアプローチは、コンピュータ科学から双模倣の概念を借用している。双模倣集合は区別できない、したがって等しいとみなされ、これは外延性の公理を強化することにつながる。この文脈では、正則性の公理に矛盾する公理は反基礎公理として知られており、必ずしも整礎ではない集合はハイパーセットと呼ばれる。
互いに排他的な4つの反基礎公理はよく知られており、以下のリストの頭文字で略されることもある。
これらは基本的に、整礎でない集合に対する4つの異なる等価性の概念に対応します。最初のAFAは、アクセス可能な点付きグラフ（apg）に基づいており、2つのハイパーセットは、同じapgで表現できる場合に限り等しいと述べています。この枠組みの中で、方程式x = { x }には、理論の唯一のクワイン原子である、ただ1つの解が存在することが示されます。
上記の各公理は前の公理の宇宙を拡張し、V ⊆ A ⊆ S ⊆ F ⊆ Bとなる。ボッファ宇宙では、異なるクワイン原子が適切なクラスを形成する。[ 15 ]
ハイパーセット理論は古典集合論の代替ではなく拡張であることを強調しておく価値がある。ハイパーセット領域内の整礎集合は古典集合論に適合する。
発表された研究では、非整礎集合は非標準解析の超実数と並行してハイパーセットとも呼ばれる。[ 16 ] [ 17 ]
ハイパーセットは、ジョン・バーワイズとジョン・エチェメンディが1987年に著した嘘つきのパラドックスに関する著書『嘘つき』で広く用いられた。この本の提案は真理の理論に貢献した。[ 16 ]また、この本は非整礎集合のトピックへの良い入門書でもある。[ 16 ]
