質量中心とは、空間における質量分布の中心にある唯一の点であり、この点に対する重み付き位置ベクトルの合計 がゼロになるという性質を持つ。統計学になぞらえると、質量中心は空間における質量分布の平均位置である。
連続した体積 連続体積の場合、和は積分になるため、重心の式は次のようになる。 R = 1 M ∫ r d m = 1 M ∫ ρ （ r ） r d V 、 {\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \,dm={\frac {1}{M}}\int \rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,dV,} M {\displaystyle M} ρ （ r ） {\displaystyle \rho (\mathbf {r} )} 密度 です。r {\displaystyle \mathbf {r} } 12 ]
連続的な質量分布が均一な密度を持つ場合、つまりρが一定である場合、質量の中心は体積の 重心 と同じになります。
周期境界条件 を持つシステム内の粒子の場合、2 つの粒子はシステムの反対側にあっても隣接している可能性があります。これは、たとえば分子動力学 シミュレーションでよく発生し、ランダムな場所にクラスターが形成され、隣接する原子が周期境界を越えることがあります。クラスターが周期境界をまたぐ場合、単純な重心の計算は誤りになります。周期システムの重心を計算する一般的な方法は、各座標x とy および/またはz を 直線ではなく円上にあるかのように扱うことです。この計算では、すべての粒子のx 座標を取得し、N 個 の可能な重心を計算します。
x ¯ n = x ¯ 0 + 2 π n N 、 n = 1 、 2 、 … 、 N 、 {\bar {x}}_{n}={\bar {x}}_{0}+{\frac {2\pi n}{N}},\;\;\;n=1,2,\ldots ,N,
どこx ¯ 0 {\bar {x}}_{0} x ¯ = [ x ¯ 1 、 x ¯ 2 、 … 、 x ¯ n ] {\bar {\mathbf {x} }}=[{\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2},\ldots ,{\bar {x}}_{n}]
このプロセスはシステムのすべての次元に対して繰り返すことで、完全な重心を決定できます。このアルゴリズムの利点は、周期境界をまたぐクラスターを「展開」するために推測したりクラスター分析 を使用したりするのではなく、数学によって「最適な」重心がどこにあるかを決定できることです。このアプローチは、固有の重心を計算します。外因的な円平均は、重心を推定する一般的な方法ですが、このアプローチは不正確になる可能性があります。
重心 一点でバランスをとる知育玩具の図：重心（C）は支持点（P）の下に落ち着きます。 物体の重心は、重力による合成トルクがゼロになる点です。 [ 17 ] [ 18 ]
質量中心は、特定の剛体（例えば、揺れや関節運動のない剛体）に対して固定された特性であるのに対し、重心は、不均一な重力場におけるその向きにも依存する可能性がある。後者の場合、重心は常に質量中心よりも主引力体に近い位置にあり、したがって、対象物体の向きが変化すると、その位置も変化する。
航空機、車両、船舶の力学を研究する際には、力とモーメントを質量中心を基準として解析する必要があります。これは、重力そのものを考慮するかどうかにかかわらず当てはまります。質量中心を重心と呼ぶのはやや口語的な表現ですが、広く用いられており、重力勾配の影響が無視できる場合は、重心と質量中心は同じものとして互換的に使用されます。
物理学において、質量分布をモデル化するために重心を用いる利点は、連続体にかかる重力の合力を考えることで明らかになる。体積 V の物体Qを考え、その体積内の各点 r における密度をρ ( r )とする。平行な重力場において、各点r における力f は次のように与えられる。 f （ r ） = − d m g k ^ = − ρ （ r ） d V g k ^ 、 {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )=-dm\,g\mathbf {\hat {k}} =-\rho (\mathbf {r} )\,dV\,g\mathbf {\hat {k}} ,} dmは点 r における質量、g は重力加速度であり、k ^ {\textstyle \mathbf {\hat {k}} }
体積内の基準点R を選択し、この点における 合力とトルクを計算します。 F = ∭ Q f （ r ） d V = ∭ Q ρ （ r ） d V （ − g k ^ ） = − M g k ^ 、 {\displaystyle \mathbf {F} =\iiint _{Q}\mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\,dV\left(-g\mathbf {\hat {k}} \right)=-Mg\mathbf {\hat {k}} ,} T = ∭ Q （ r − R ） × f （ r ） d V = ∭ Q （ r − R ） × （ − g ρ （ r ） d V k ^ ） = （ ∭ Q ρ （ r ） （ r − R ） d V ） × （ − g k ^ ） 。 {\displaystyle \mathbf {T} =\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \left(-g\rho (\mathbf {r} )\,dV\,\mathbf {\hat {k}} \right)=\left(\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV\right)\times \left(-g\mathbf {\hat {k}} \right).}
基準点R を重心となるように選ぶと、 ∭ Q ρ （ r ） （ r − R ） d V = 0 、 {\displaystyle \iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0,} T = 0と
剛体の基準点として重心を選択することで、重力によって物体が回転することはなくなり、つまり物体の重量は質量の中心に集中していると考えることができる。
線運動量と角運動量 粒子群の線運動量と角運動量は、粒子の位置と速度を質量中心に対して測定することで簡略化できます。質量m i の粒子P i 、i = 1, ..., n の系が座標r i v i R を選択し、相対位置ベクトルと速度ベクトルを計算します。 r 私 = （ r 私 − R ） + R 、 v 私 = d d t （ r 私 − R ） + v 。 {\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {v} .}
システムの全線運動量と角運動量は p = d d t （ ∑ 私 = 1 n m 私 （ r 私 − R ） ） + （ ∑ 私 = 1 n m 私 ） v 、 {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {v} ,} L = ∑ 私 = 1 n m 私 （ r 私 − R ） × d d t （ r 私 − R ） + （ ∑ 私 = 1 n m 私 ） [ R × d d t （ r 私 − R ） + （ r 私 − R ） × v ] + （ ∑ 私 = 1 n m 私 ） R × v {\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\left[\mathbf {R} \times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} \right]+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {R} \times \mathbf {v} }
Rを 重心として選択する と、これらの式は次のように簡略化されます。p = m v 、 L = ∑ 私 = 1 n m 私 （ r 私 − R ） × d d t （ r 私 − R ） + ∑ 私 = 1 n m 私 R × v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {R} \times \mathbf {v} } m は全粒子の総質量、p は線運動量、L は角運動量である。
運動量保存の法則は、 外部からの力が作用しないシステムでは、システムの運動量が一定に保たれることを予測します。これは、重心が一定の速度で移動することを意味します。これは、磁場、電場、化学反応など、古典的な内部力を持つすべてのシステムに当てはまります。より厳密に言えば、これはニュートンの第三法則 に従って相殺されるすべての内部力に当てはまります。
決定 物体の重心を実験的に決定するには、物体に作用する重力を利用し、地球表面付近の平行な重力場において、重心が重力の中心と一致するという事実に基づいている。
対称軸を持ち、密度が一定の物体の重心は、その軸上になければなりません。したがって、密度が一定の円柱の重心は、円柱の軸上にあります。同様に、密度が一定の球対称物体の重心は、球の中心にあります。一般に、物体の対称性に関わらず、その重心はその対称性の固定点になります。[ 20 ]
2次元 鉛直線法 重心の位置を特定する実験的方法として、物体を2つの異なる点から順番に吊り下げ、その都度吊り下げ点から下げ振り糸 を垂らす方法がある。2本の下げ振り糸の交点が重心である。
物体の形状は数学的に決定されている場合もあるが、既知の公式を使用するには複雑すぎる場合がある。この場合、複雑な形状をより単純で基本的な形状に分割し、その重心を容易に見つけることができる。各領域の総質量と重心が決定できれば、全体の重心はそれらの重心の加重平均となる。[ 22 ]
平面測定器 を直接展開したインテググラフまたはインテグロメーターは、不規則な二次元形状の重心 または質量中心の位置を決定するために使用できます。この方法は、他の方法では難しすぎる、不規則、滑らか、または複雑な境界を持つ形状に適用できます。これは、船の必要な排水量と浮心 と比較 し、転覆しないことを確認するために造船業者によって定期的に使用されていました。[ 24 ]
三次元 質量の三次元座標を特定するための実験的方法は、まず物体を３点で支え、物体の重量に抵抗する力F 1 、F 2 、F 3を測定することから始まります。 W = − W k ^ {\displaystyle \mathbf {W} =-W\mathbf {\hat {k}} } k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {k}} } と 、 重心 の 座標R は 、合成トルクがゼロであるという条件を 満たします 。T = （ r 1 − R ） × F 1 + （ r 2 − R ） × F 2 + （ r 3 − R ） × F 3 = 0 、 {\displaystyle \mathbf {T} =(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{2}+(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{3}=0,} R × （ − W k ^ ） = r 1 × F 1 + r 2 × F 2 + r 3 × F 3 。 {\displaystyle \mathbf {R} \times \left(-W\mathbf {\hat {k}} \right)=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}.}
この式から、水平面における 重心R *の座標は次のようになる。 R * = − 1 W k ^ × （ r 1 × F 1 + r 2 × F 2 + r 3 × F 3 ） 。 {\displaystyle \mathbf {R} ^{*}=-{\frac {1}{W}}\mathbf {\hat {k}} \times (\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}).}
質量の中心は垂直線L 上にあり、それは次のように表される。 L （ t ） = R * + t k ^ 。 {\displaystyle \mathbf {L} (t)=\mathbf {R} ^{*}+t\mathbf {\hat {k}} .}
重心の三次元座標は、物体を異なる水平面上に配置し、物体を通る2つの異なる水平面に対してこれらの力を測定することで、この実験を2回行うことによって決定されます。重心は、2回の実験で得られた2つの線L1 と L2の 交点となります。
アプリケーション
エンジニアリング設計
自動車用途 エンジニアは、スポーツカー の重心を低くして車の操縦性を向上させ、つまり比較的急なカーブを曲がる際にトラクションを維持できるように設計しようとします。 [ 26 ]
米軍のハンヴィー の特徴である低い車高は、水平から大きく傾いた場合でも重心が4つの車輪で囲まれた空間内に留まるように設計されており、背の高い車両よりも大きく傾いても横転しないようにする目的で設計されている。
航空学 重心は航空機 の重要なポイントであり、航空機の安定性に大きく影響します。航空機が安全に飛行できるほど安定していることを保証するには、重心が規定の範囲内にある必要があります。重心が前方限界 より前にある場合、航空機の操縦性は低下し、離陸のための回転や着陸のためのフレア操作ができなくなる可能性があります。重心が後方限界より後ろにある場合、航空機の操縦性は向上しますが、安定性は低下し、飛行が不可能になるほど不安定になる可能性があります。エレベーターのモーメントアームも減少するため、 失速 状態からの回復がより困難になります。
ホバリング 中のヘリコプター では、重心は常にローターヘッドの 真下にあります。前進飛行では、ヘリコプターを前進させるためにサイクリック 制御を適用することによって発生する負のピッチトルクを相殺するために重心が前方に移動します。したがって、巡航ヘリコプターは水平飛行時に「機首下げ」で飛行します。[ 29 ]
重心 （赤十字）の周りを公転する2つの天体質量中心は天文学や天体物理学において重要な役割を果たしており、一般的には重心 と呼ばれています。重心は、2 つの物体が互いに釣り合う点であり、2 つ以上の天体が互いに公転する質量中心です。月が惑星の周りを公転したり、 惑星が恒星の 周りを公転したりする場合、実際には両方の天体が主天体 (大きい方) の中心から離れた点の周りを公転しています。例えば、月は地球の正確な中心ではなく、地球と月の中心を結ぶ線上の、地球の表面から約 1,710 km (1,062マイル) 下の点で、それぞれの質量が釣り合う点の周りを公転しています。これが、地球と月が太陽の周りを公転する際に公転する点です。冥王星とカロン のように質量がより似ている場合、重心は両方の天体の外側に位置します。
リギングと安全 リギング 時に重心の位置を知ることは非常に重要であり、誤って想定すると重傷や死亡事故につながる可能性があります。重心が吊り上げポイントと同じかそれより高い位置にある場合、転倒事故が発生する可能性が高くなります。一般的に、重心が吊り上げポイントより低い位置にあるほど、吊り上げは安全になります。他にも、荷重の移動、荷重の強度と質量、吊り上げポイント間の距離、吊り上げポイントの数など、考慮すべき事項があります。特に、吊り上げポイントを選択する際には、重心を中央に配置し、吊り上げポイントより十分に低い位置に配置することが非常に重要です。[ 31 ]
身体の動き
成人の人体の重心は、大転子 （大腿骨が股関節に接合する部分）から垂直方向に 10 cm 上方、 [ 32 ] [ 33 ] 静的平衡 方程式を使用して重心を見つける静的分析です。セグメンテーション法は、特定の軸に対する個々の身体部分のトルク の合計が、同じ軸に対して測定された身体を構成するシステム全体のトルクに等しくなければならないという物理的原理に基づく数学的解に依存しています。
最適化 重心法は、 実行可能領域の重心を利用する凸最適化手法である。
注記 ↑ 「10.3: 質量の中心」 . Physics LibreTexts . 2019年9月17日. 2024年10月15日 取得 . 1 2 Dijksterhuis、エドゥアルド ヤン;ディクスホールン、C. (1987)。 アルキメデス 。 ISBN 0691084211 。↑ Erlichson, H. (1996). "Christiaan Huygens' discovery of the center of oscillation formula" . American Journal of Physics . 64 (5): 571–574 . Bibcode : 1996AmJPh..64..571E . doi : 10.1119/1.18156 . ISSN 0002-9505 . 1 2 3 Taylor, John R. (2005). 古典力学 . カリフォルニア州サウサリート: ユニバーシティ・サイエンス・ブックス. ISBN 978-1-891389-22-1 。↑ Resnick, R. および Halliday, D. (1962) Physics , 9-1 “Center of Mass”, Wiley ↑ Resnick, R. および Halliday, D. (1962) Physics 、14-3 “重心”, Wiley ↑ ファインマン物理学講義 第1巻 第19章：質量中心、慣性モーメント ↑ Feynman, Leighton & Sands 1963 , pp. 19.1–19.2.↑ 「英国造船の理論と設計」 エイモス ・ロウリー・エア著 、 3 ページ。 2012年8月20日 閲覧 。 ↑ グロス、ディートマール。ハウガー、ヴェルナー。シュレーダー、ヨルク;ウォール、ヴォルフガング A.ラージャパクセ、ニマル (2013)。 工学力学 ３ ．スプリンガー。 土井 : 10.1007/978-3-642-30319-7 。 ISBN 978-3-642-30318-0 。↑ 「ヘリコプターの空力学」 （PDF） 。p. 82。 2012年3月24日に オリジナル （PDF）からアーカイブ 。 2013年11月23日 に取得。 ↑ 「構造崩壊技術者：モジュール4 – 吊り上げと索具」 (PDF) . FEMA.gov . 2019年11月27日 取得 . ↑ Palmer, Carroll E. (1944). "人体における重心に関する研究" . Child Development . 15 (2/3): 99– 180. doi : 10.2307/1125537 . JSTOR 1125537 . ↑ Woodhull, AM; Maltrud, K.; Mello, BL (1985). "人間の立位姿勢における姿勢のアライメント" . European Journal of Applied Physiology and Occupational Physiology . 54 (1): 109– 115. doi : 10.1007/BF00426309 . ISSN 0301-5548 . PMID 4018044 .
参考文献 アシモフ、アイザック (1988) [1966]、『物理学入門』 ISBN 978-0-88029-251-1 Bai, Linge; Breen, David (2008). "非境界2D環境における質量中心の計算". Journal of Graphics, GPU, and Game Tools . 13 (4): 53–60 . doi : 10.1080/2151237X.2008.10129266 . S2CID 40807367 . バロン、マーガレット E. (2004) [1969]、『微積分学の起源』 、クーリエ・ドーバー出版、ISBN 978-0-486-49544-6 Beatty, Millard F. (2006), Principles of Engineering Mechanics, Volume 2: Dynamics—The Analysis of Motion , Mathematical Concepts and Methods in Science and Engineering, vol. 33, Springer, ISBN 978-0-387-23704-6 デ・シルバ、クラレンス・W. (2002)、振動と衝撃ハンドブック 、CRC Press、ISBN 978-0-8493-1580-0 連邦航空局 （2007年）、『航空機重量バランスハンドブック （PDF）』 、米国政府印刷局 、 2011年10月19日にオリジナル（PDF） からアーカイブ、 2011年10月23日に 取得 ファインマン、リチャード ；レイトン、ロバート・B ；サンズ、マシュー （1963）『ファインマン物理学講義 （第6刷、1977年2月 版）、アディソン・ウェスリー、ISBN 978-0-201-02010-6 フラウチ、スティーブン C. ; オレニック、リチャード P. ;アポストル、トム M. ;グッドスタイン、デイビッド L. (1986)、『機械宇宙：力学と熱』、改訂版 、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-30432-0 ジャンバティスタ、アラン；リチャードソン、ベティ・マッカーシー；リチャードソン、ロバート・コールマン（2007）、『大学物理学 』第1巻 （第2 版）、マグロウヒル・ハイヤー・エデュケーション、ISBN 978-0-07-110608-5 ゴールドスタイン、ハーバート ；プール、チャールズ ；サフコ、ジョン（2001）『古典力学 版）』アディソン・ウェスリー、ISBN 978-0-201-65702-9 ゴールドスタイン、ハーバート ；プール、チャールズ；サフコ、ジョン（2002）、『古典力学 版）』、アディソン・ウェスリー、ISBN 978-0-201-65702-9 グッドマン、ローレンス E.、ワーナー、ウィリアム H. (2001) [1964]、『静力学』 、ドーバー、ISBN 978-0-486-42005-9 ハミル、パトリック（2009）、『中級ダイナミクス』 、ジョーンズ＆バートレットラーニング、ISBN 978-0-7637-5728-1 Hotz, Thomas (2013). 「円における外在的手段と内在的手段」.情報幾何学科学 . ベルリン・ハイデルベルク: Springer. p. 433-440. Jong, IG; Rogers, BG (1995), Engineering Mechanics: Statics , Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-026309-5 クレップナー、ダニエル ；コレンコウ、ロバート （1973）、『力学入門』 版）、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-035048-9 レヴィ、マーク（2009）、『数学的力学：物理的推論を用いて問題を解決する』 、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-14020-9 マンコス、パオロ（1999）、『17世紀の数学の哲学と数学の実践』 、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-513244-1 ミリカン、ロバート・アンドリュース （1902）、『力学、分子物理学、熱：12週間の大学講座 』、シカゴ：スコット・フォーズマン・アンド・カンパニー、 2011年5月25日 取得 マレー、カール、ダーモット、スタンレー（1999）、『太陽系ダイナミクス』 、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-57295-8 オドネル、ピーター・J. (2015)、『本質的な力学と相対性理論』 、CRC Press、ISBN 978-1-466-58839-4 ポラード、デイビッド・D.、フレッチャー、レイモンド・C. (2005)、『構造地質学の基礎』 Bibcode : 2005fsg..book.....P、ISBN 978-0-521-83927-3 Pytel, Andrew; Kiusalaas, Jaan (2010), Engineering Mechanics: Statics , vol. 1 (3rd ed.), Cengage Learning, ISBN 978-0-495-29559-4 Richardson, Harry; Dunn, Josh; McCluskey, Andrew R. (2025). "周期系における重心の推定について" . Journal of Chemical Physics . 162 (20): 204103. doi : 10.1063/5.0260928 . ローゼン、ジョー、ゴサード、リサ・クイン（2009）、『物理科学百科事典』 、インフォベース出版、ISBN 978-0-8160-7011-4 サングウィン、クリストファー・J. (2006)、「機械的手段による質量中心の特定」（PDF） 、オウトレッド協会誌 、15 （2）、2011年10月5日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、 2011年10月23日 に取得 Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2006), Principles of physics: a calculus-based text , vol. 1 (4th ed.), Thomson Learning, Bibcode : 2006ppcb.book.....J , ISBN 978-0-534-49143-7 シャーリー、ジェームズ・H.、フェアブリッジ、ローズ・ウィットモア（1997）、『惑星科学百科事典』 、シュプリンガー、ISBN 978-0-412-06951-2 ショア、スティーブン・N. (2008)、『物理学における力：歴史的展望』 、グリーンウッド・プレス、ISBN 978-0-313-33303-3 サイモン、キース・R. (1971)、力学 （第3 版）、アディソン・ウェスリー、ISBN 978-0-201-07392-8 Tipler, Paul A.; Mosca, Gene (2004), Physics for Scientists and Engineers , vol. 1A (5th ed.), WH Freeman and Company, ISBN 978-0-7167-0900-8 ヴァン・ペルト、マイケル（2005）、『宇宙旅行：地球軌道とその先への冒険』 ISBN 978-0-387-40213-0 Vint, Peter (2003)、「LAB: 人体の質量中心（重心）」（PDF） 、KIN 335 – 生体力学、 2013年10月18日 取得 ウォルトン、ウィリアム (1855)、「理論力学の原理を説明する問題集 (第 2 版)」、デイトン、ベル & Co.
外部リンク 重心の運動は、自由落下する物体の重心の運動が点状物体の運動と同じであることを示している。 太陽系の重心、各惑星が太陽系の重心に及ぼす影響を示すシミュレーション。
![{\bar {\mathbf {x} }}=[{\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2},\ldots ,{\bar {x}}_{n}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9e4b4536519100345f163e8ceeef3310bd41c6)
![{\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\left[\mathbf {R} \times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} \right]+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {R} \times \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6d3b84ccbaeb3ade8c86e43b70cd5b864c6ff2)
