等周不等式

数学において、等周不等式は、平面上の閉曲線の円周の二乗と、それが囲む平面領域の面積に関する幾何学的不等式であり、その様々な一般化も含まれます。等周とは文字通り「同じ周長を持つ」という意味です。具体的には、等周不等式は、閉じた平面曲線の長さLと、それが囲む領域の面積Aに対して、次の式が成り立つことを示しています。

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

そして、その等式が成り立つのは、曲線が円である場合に限る。

等周問題とは、境界の長さが指定された、可能な限り最大の面積を持つ平面図形を決定する問題である。 ^{[ 1 ]}密接に関連するディドの問題は、直線と、その直線の端点に属する曲線弧で囲まれた最大の面積を持つ領域を求める問題である。これは、カルタゴの伝説的な建国者であり最初の女王であるディドにちなんで名付けられた。等周問題の解は円で与えられ、古代ギリシャですでに知られていた。しかし、この事実の最初の数学的に厳密な証明が得られたのは19世紀になってからである。それ以来、他の多くの証明が発見されている。

等周問題は、曲面上の曲線や高次元空間の領域など、さまざまな形で拡張されてきました。3次元等周不等式の最も身近な物理的表現は、おそらく水滴の形状でしょう。つまり、水滴は通常、対称的な球形をとります。水滴に含まれる水の量は一定であるため、表面張力によって水滴は表面積を最小にする形状、すなわち球形に強制されます。

古典的な等周問題は古代に遡ります。^{[ 2 ]}この問題は次のように述べることができます。固定された周長の平面上のすべての閉曲線の中で、どの曲線（もしあれば）が囲まれた領域の面積を最大化しますか？この問題は、次の問題と同等であることが示されます。固定された面積を囲む平面上のすべての閉曲線の中で、どの曲線（もしあれば）が周長を最小化しますか？

この問題は、物理学における最小作用の原理と概念的に関連しており、言い換えれば、最大の面積を最大の労力で囲む作用の原理とは何か、という問題である。15世紀の哲学者であり科学者であるニコラウス・クザーヌス枢機卿は、回転運動、すなわち円が生成される過程を、感覚的印象の領域において、宇宙が創造される過程を最も直接的に反映したものと考えた。ドイツの天文学者であり占星術師であるヨハネス・ケプラーは、『宇宙の神秘』（Mysterium Cosmographicum、1596年）の中で、太陽系の形態について論じる際に等周原理を持ち出した。

円は問題の明白な解決策のように見えるが、この事実を証明するのはかなり難しい。解決策への最初の進展は、1838年にスイスの幾何学者ヤコブ・シュタイナーによって、後にシュタイナー対称化と呼ばれる幾何学的方法を用いて達成された。^{[ 3 ]}シュタイナーは、解決策が存在するならば、それは円でなければならないことを示した。シュタイナーの証明は、後に他の数人の数学者によって完成された。

シュタイナーは、理解しやすい幾何学的構成から始めています。例えば、完全に凸ではない領域を囲む任意の閉曲線は、凹面を「反転」させて凸にすることで、より広い面積を囲むように変更できることが示されています。さらに、完全に対称ではない任意の閉曲線は、「傾ける」ことでより広い面積を囲むことができることも示されています。完全に凸で対称な形状は円だけですが、これだけでは等周定理の厳密な証明にはなりません（外部リンクを参照）。

等周問題の解は通常、閉曲線の長さLとそれが囲む平面領域の面積Aの関係を表す不等式の形で表されます。等周不等式は、

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

そして、等号が成り立つのは曲線が円である場合に限る。半径Rの円盤の面積はπR ²であり、円周は 2 πRなので、この場合、不等式の両辺は 4 π ² R ²に等しくなります。

等周不等式の証明は数十種類発見されている。1902年、フルヴィッツはフーリエ級数を用いた簡潔な証明を発表した。これは任意の可測曲線（滑らかであるとは限らない）に適用できる。1938年には、E.シュミットが滑らかな単純閉曲線と適切な円との比較に基づく洗練された直接的な証明を与えた。この証明では、弧長公式、グリーンの定理による平面領域の面積の式、およびコーシー・シュワルツの不等式のみを使用している。

与えられた閉曲線に対して、等周商は、その曲線の面積と、同じ周長を持つ円の面積の比として定義されます。これは次のようになります。

${\displaystyle Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}}$

また、等周不等式によれば、Q ≤ 1 となります。言い換えれば、すべての曲線において、等周比L ² / Aは少なくとも 4πです。

正n角形の等周商は

${\displaystyle Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan(\pi /n)}}.}$

させて${\displaystyle C}$は滑らかで正則な凸閉曲線とする。すると、改良された等周不等式は次のようになる。

${\displaystyle L^{2}\geqslant 4\pi A+8\pi \left|{\widetilde {A}}_{0.5}\right|,}$

どこ${\displaystyle L,A,{\widetilde {A}}_{0.5}}$長さを表す${\displaystyle C}$で囲まれた領域の領域${\displaystyle C}$そしてウィグナー焦線が配向した領域は${\displaystyle C}$それぞれ、等号が成り立つのは、${\displaystyle C}$は一定幅の曲線である。^{[ 4 ]}

C を半径 1 の球面上の単純閉曲線とする。Cの長さをL、Cで囲まれた面積をAとする。球面等周不等式は次のように表される。

${\displaystyle L^{2}\geq A(4\pi -A),}$

そして、等号が成り立つのは、曲線が円である場合に限る。実際には、単純な閉曲線で囲まれた球面面積を測定する方法は2つあるが、この不等式は補集合を取ることに関して対称である。

この不等式はポール・レヴィ（1919年）によって発見され、彼はそれをより高次元や一般的な曲面にも拡張した。^{[ 5 ]}

より一般的な任意の半径Rの場合、次のことが知られています^{[ 6 ]}

${\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A-{\frac {A^{2}}{R^{2}}}.}$

等周不等式は、球が与えられた体積あたりの表面積が最小であることを述べている。有界な開集合が与えられた場合$${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$$と${\displaystyle C^{1}}$境界、表面積を有する${\displaystyle \operatorname {per} (S)}$音量​${\displaystyle \operatorname {vol} (S)}$等周不等式は

${\displaystyle \operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\,\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n},}$

どこ${\displaystyle B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$は単位球である。等号は、${\displaystyle S}$ボールは${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$集合に対する追加の制約（凸性、正則性、滑らかな境界など）の下では、等号は球に対してのみ成立する。しかし、完全に一般的には状況はより複雑である。シュミット（1949 、第20.7節）の関連する結果（より簡単な証明についてはベーブラー（1957）を参照）は、ハドウィガー（1957 、第5.2.5節）で次のように明確にされている。極値集合は、球と、体積にも表面積にも寄与しない「コロナ」から構成される。つまり、等号はコンパクト集合に対して成立する。${\displaystyle S}$かつその場合に限り${\displaystyle S}$閉じた球体を含む${\displaystyle B}$そのため${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\operatorname {vol} (S)}$そして${\displaystyle \operatorname {per} (B)=\operatorname {per} (S).}$例えば、「コロナ」は曲線である場合もある。

この不等式の証明は、集合間のブルン・ミンコフスキー不等式から直接導かれる。${\displaystyle S}$そして半径のボール${\displaystyle \epsilon }$つまり${\displaystyle B_{\epsilon }=\epsilon B_{1}}$。 確かに、${\displaystyle \operatorname {vol} (A+B_{\epsilon })\geq (\operatorname {vol} (A)^{1/n}+\operatorname {vol} (B_{\epsilon })^{1/n})^{n}\geq \operatorname {vol} (A)+n\operatorname {vol} (A)^{(n-1)/n}\epsilon \operatorname {vol} (B_{1})^{1/n}.}$等周不等式は、引き算によって得られる。${\textstyle \operatorname {vol} (A)}$で割る${\displaystyle \epsilon }$極限をとると${\displaystyle \epsilon \to 0.}$(オッサーマン (1978) ;フェデラー (1969 、§3.2.43) )。

一般的に言えば（Federer 1969 、§3.2.43）、等周不等式は任意の集合に対して次のことを述べている。${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$その閉包は有限ルベーグ測度を持つ

${\displaystyle n\,\omega _{n}^{1/n}L^{n}({\bar {S}})^{(n-1)/n}\leq M_{*}^{n-1}(\partial S)}$

どこ${\displaystyle M_{*}^{n-1}}$は ( n -1) 次元ミンコフスキー内容、L ⁿはn次元ルベーグ測度、ω _nは単位球の体積である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Sの境界が可測である場合、ミンコフスキー内容は ( n - 1) 次元ハウスドルフ測度になります。

n次元等周不等式は (十分に滑らかな領域の場合)上のソボレフ不等式と同等である${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$最適な定数を使用する場合：

${\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{n/(n-1)}\right)^{(n-1)/n}\leq n^{-1}\omega _{n}^{-1/n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|}$

すべての人々のために${\displaystyle u\in W^{1,1}(\mathbb {R} ^{n})}$。

アダマール多様体は、非正曲率を持つ完備な単連結多様体である。したがって、アダマール多様体はユークリッド空間を一般化するものである。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$これは曲率がゼロのアダマール多様体である。1970年代から80年代初頭にかけて、ティエリー・オーバン、ミシャ・グロモフ、ユーリ・ブラーゴ、ヴィクトル・ザルガラーは、ユークリッド等周不等式が成り立つと予想した。

${\displaystyle \operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n}}$

有界集合に対して成り立つ${\displaystyle S}$アダマール多様体におけるこの予想は、カルタン＝アダマール予想として知られるようになった。2次元の場合、この予想は1926年に当時アダマールの弟子であったアンドレ・ヴェイユによって既に確立されていた。3次元と4次元の場合、この予想はそれぞれ1992年にブルース・クライナー、 1984年にクリス・クロークによって証明された。

等周問題に関する研究のほとんどは、ユークリッド空間の滑らかな領域、あるいはより一般的にはリーマン多様体の文脈で行われてきた。しかし、等周問題はミンコフスキー内容の概念を用いることで、はるかに一般的な形で定式化することができる。${\displaystyle (X,\mu ,d)}$Xは距離空間であり、距離dを持ち、μはX上のボレル測度である。Xの可測部分集合Aの境界測度、またはミンコフスキー内容は、 lim infとして定義される。

${\displaystyle \mu ^{+}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon }},}$

どこ

${\displaystyle A_{\varepsilon }=\{x\in X|d(x,A)\leq \varepsilon \}}$

はAのε拡張である。

Xの等周問題は、どれだけ小さくできるかを問う${\displaystyle \mu ^{+}(A)}$与えられたμ ( A ) に対して となります。Xが通常の距離とルベーグ測度を持つユークリッド平面である場合、この問題は、境界が必ずしも滑らかではない平面領域に古典的な等周問題を一般化しますが、答えは同じになります。

機能

${\displaystyle I(a)=\inf\{\mu ^{+}(A)|\mu (A)=a\}}$

これは、計量​​空間の等周プロファイルと呼ばれます。${\displaystyle (X,\mu ,d)}$等周プロファイルは、離散群のケイリーグラフや、リーマン多様体の特殊なクラス（通常は正則境界を持つ領域Aのみを考慮する）について研究されてきた。

グラフ理論において、等周不等式は、強い連結特性を持つ疎グラフであるエキスパンダーグラフの研究の中心をなすものである。エキスパンダー構成は、純粋数学および応用数学の研究を生み出し、複雑性理論、堅牢なコンピュータネットワークの設計、および誤り訂正符号の理論にいくつかの応用がある。^{[ 7 ]}

グラフの等周不等式は、頂点部分集合のサイズとその境界のサイズを関連付けます。境界のサイズは通常、部分集合から出る辺の数（辺の拡張）または隣接する頂点の数（頂点の拡張）によって測定されます。${\displaystyle G}$そして数${\displaystyle k}$グラフの標準的な等周パラメータは次の 2 つです。^{[ 8 ]}

• 境界等周パラメータ：$${\displaystyle \Phi _{E}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|E(S,{\overline {S}})|:|S|=k\right\}}$$
• 頂点等周パラメータ：$${\displaystyle \Phi _{V}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|\Gamma (S)\setminus S|:|S|=k\right\}}$$

ここ${\displaystyle E(S,{\overline {S}})}$出る辺の集合を表す${\displaystyle S}$そして${\displaystyle \Gamma (S)}$は、 に隣接している頂点の集合を表します。${\displaystyle S}$等周問題とは、パラメータがどのように${\displaystyle \Phi _{E}}$そして${\displaystyle \Phi _{V}}$グラフの自然な族に対して振る舞う。

三角形の周長pと面積Tに関する等周不等式は次のように述べている^{[ 13 ]}

${\displaystyle p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,}$

正三角形の場合、等号が成り立つ。これは、AM–GM不等式を介して、三角形の等周不等式とも呼ばれるより強い不等式によって示唆される。^{[ 14 ]}

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}$

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