余接束

数学、特に微分幾何学において、滑らかな多様体の余接束は、その多様体上のあらゆる点におけるすべての余接空間のベクトル束である。これは、接束の双対束とも表現できる。この概念は、複素多様体や（余接層の形で）代数多様体やスキームなど、滑らかな多様体よりも構造が複雑な圏にも一般化できる。滑らかな多様体の場合、任意のリーマン計量またはシンプレクティック形式は、余接束と接束の間に同型写像を与えるが、一般に他の圏では同型ではない。

余接束を定義する方法はいくつかあり、それらは同値である。その一つは対角写像を用いる方法である。${\displaystyle \Delta }$そして 細菌。

させて${\displaystyle M}$滑らかな多様体とし、${\displaystyle M\times M}$のデカルト積である${\displaystyle M}$それ自体との対角マッピング${\displaystyle \Delta }$ポイントを送る${\displaystyle p}$で${\displaystyle M}$要点を言うと${\displaystyle (p,p)}$の${\displaystyle M\times M}$. のイメージ${\displaystyle \Delta }$は対角線と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {I}}}$滑らかな関数の芽の束である${\displaystyle M\times M}$対角線上で消滅する。次に商層${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$これは、高次の項を法として対角線上で消滅する関数の同値類から構成される。余接層は、この層を に引き戻すものとして定義される。${\displaystyle M}$:

$$\displaystyle \Gamma T^{*}M=\Delta ^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\right).}$$

テイラーの定理により、これは滑らかな関数の芽の層に関して局所的に自由な加群の層である。${\displaystyle M}$。したがって、これはベクトル束を定義します。${\displaystyle M}$: 余接束。

余接束の滑らかな断面は、（微分） 1形式と呼ばれます。

滑らかな射${\displaystyle \phi \colon M\to N}$多様体の引き戻し層を誘導する${\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N}$M上には、ベクトル束の誘導写像が存在する。$\displaystyle \phi ^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M}$。

ベクトル空間の接束$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は$\displaystyle T\,\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$、余接束は$$\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$$、 どこ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$共ベクトル、線形関数の双対空間を表す${\displaystyle v^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$。

滑らかな多様体が与えられた場合$\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$関数の消失軌跡によって表される超曲面として埋め込まれている${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),}$ただし、${\displaystyle \nabla f\neq 0,}$接束は

${\displaystyle TM=\{(x,v)\in T\,\mathbb {R} ^{n}\$ :\ f(x)=0,\ \,df_{x}(v)=0\},}

どこ$\displaystyle df_{x}\in T_{x}^{*}M}$は方向微分です${\displaystyle df_{x}(v)=\nabla \!f(x)\cdot v}$定義により、この場合の余接束は次のようになります。

${\displaystyle T^{*}M={\bigl \{}(x,v^{*})\in T^{*}\mathbb {R} ^{n}\$ :\ f(x)=0,\ v^{*}\in T_{x}^{*}M{\bigr \}},}

どこ${\displaystyle T_{x}^{*}M=\{v\in T_{x}\mathbb {R} ^{n}\$ :\ df_{x}(v)=0\}^{*}。 すべての共ベクトルは${\displaystyle v^{*}\in T_{x}^{*}M}$一意のベクトルに対応します${\displaystyle v\in T_{x}M}$そのために${\displaystyle v^{*}(u)=v\cdot u,}$任意の${\displaystyle u\in T_{x}M,}$

${\displaystyle T^{*}M={\bigl \{}(x,v^{*})\in T^{*}\mathbb {R} ^{n}\$ :\ f(x)=0,\ v\in T_{x}\mathbb {R} ^{n},\ df_{x}(v)=0{\bigr \}}.}

余接束は${\displaystyle X=T^{*}M}$はベクトル束であり、それ自体が多様体とみなすことができます。各点における の接線方向は${\displaystyle M}$ファイバー内のデュアルコベクターとペアにすることができ、${\displaystyle X}$標準的な1つの形式を持つ${\displaystyle \theta }$以下で説明するトートロジー的1形式と呼ばれる。${\displaystyle \theta }$はシンプレクティック2形式であり、そこから非退化体積形式を構築することができる。${\displaystyle X}$例えば、結果として${\displaystyle X}$は常に向き付け可能な多様体である（接束）${\displaystyle TX}$は向き付け可能なベクトル束です。余接束上には特別な座標系を定義することができ、これらは正準座標と呼ばれます。余接束はシンプレクティック多様体と考えることができるため、余接束上の任意の実関数はハミルトニアンとして解釈できます。したがって、余接束はハミルトン力学が展開される位相空間として理解できます。

• ルジャンドルの変身

• アブラハム、ラルフ；マースデン、ジェロルド・E.（1978）。力学の基礎。ロンドン：ベンジャミン・カミングス。ISBN 0-8053-0102-X。
• ヨスト、ユルゲン（2002）。リーマン幾何学と幾何解析。ベルリン：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 3-540-63654-4。
• シンガー、ステファニー・フランク（2001）。力学における対称性：現代的入門書。ボストン：ビルクハウザー。