プライムギャップ

素数ギャップとは、連続する2つの素数の差のことである。n番目の素数ギャップはg _nまたはg ( p _n )と表記され、( n  + 1)番目とn番目の素数 の差である。

${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.\ }$

g ₁ = 1、g ₂ = g ₃ = 2、g ₄ = 4です。素数ギャップのシーケンス( g _n ) は広範囲に研究されてきましたが、多くの疑問と推測が未解決のまま残っています。

最初の 60 個の素数ギャップは次のとおりです。

1、2、2、4、2、4、2、4、6、2、6、4、2、4、6、6、2、6、4、2、6、4、6、8、4、2、4、2、4、14、4、6、2、10、2、6、6、4、6、6、2、10、2、4、2、12、12、4、2、4、6、2、10、6、6、6、2、6、4、2、... (OEIS のシーケンスA001223 )。

g _nの定義により、すべての素数は次のように表される。

${\displaystyle p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}.}$

最初の、最小の、そして唯一の奇数の素数ギャップは、唯一の偶数の素数である 2 と最初の奇数の素数である 3 の間のサイズ 1 のギャップです。他のすべての素数ギャップは偶数です。長さ 2 の連続するギャップは 1 組のみあります。それは、素数 3、5、および 7 の間の ギャップg ₂とg _3です。

任意の整数 nに対して、階乗 n !はn以下のすべての正の整数の積である。そして、数列

${\displaystyle n!+2,\;n!+3,\;\ldots ,\;n!+n}$

最初の項は2 で割り切れ、2 番目の項は 3 で割り切れ、などとなります。したがって、これはn − 1 個の連続する合成整数のシーケンスであり、長さが少なくともnである素数間のギャップに属している必要があります。したがって、素数間には任意の大きさのギャップがあり、つまり、任意の整数Nに対して、 g _m ≥ Nとなる整数m が存在します。

ただし、 n個の数の素数ギャップは、n !よりはるかに小さい数で発生することがあります。たとえば、14 より大きいサイズの最初の素数ギャップは、素数 523 と 541 の間に発生しますが、15! ははるかに大きい数 1307674368000 です。

素数間の平均ギャップは、これらの素数の自然対数とともに増加するため、素数ギャップと含まれる素数の比率は減少します（そして漸近的にゼロになります）。これは素数定理の結果です。経験的な観点から、ギャップの長さと自然対数の比率が固定された正の数k以上である確率はe ^{− k}であると予想されます。したがって、比率は任意の大きさになることができます。実際、ギャップと含まれる整数の桁数の比率は、無限に増加します。これは、Westzynthius の結果の結果です。^[2]

逆に、双子素数予想は、無限個の整数nに対してg _n = 2であると仮定します。

通常、 の比率はギャップg _nのメリットと呼ばれます。非公式には、ギャップg _nのメリットは、 p _n付近の平均素数ギャップ サイズと比較したギャップのサイズの比率と考えることができます。 ${\textstyle {\frac {g_{n}}{\ln(p_{n})}}}$

 2024年3月にアンドレアス・ホグランドによって発見された、推定素数ギャップの終端が特定された最大の素数ギャップの長さは16,045,848、推定素数は385,713桁、メリットM = 18.067です。 ^[3]ギャップの終端が証明済み素数と特定された最大の素数ギャップの長さは1,113,106、メリット25.90、18,662桁の素数で、P. カミ、M. ヤンセン、JK アンダーセンによって発見されました。^{[4] [5]}

2022 年 9 月現在^{[アップデート]}、Gapcoin ネットワークによって発見された、既知の最大のメリット値であり、メリットが 40 を超える最初の値は、87 桁の素数 2​9​3​7​0​3​2​3​4​0​6​8​0​2​2​5​9​0​1​5​8​7​2​3​7​6​6​1​0​4​4​1​9​4​6​3​4​2​5​7​0​9​0​7​5​5​7​4​8​1​1​7​6​2​0​9​8​5​8​8​7​9​8​2​1​7​8​9​5​7​2​8​8​5​8​6​7​6​7​2​8​1​4​3​2​2​7 の 41.93878373 です。この素数と次の素数との差は8350である。^{[6] [7]}

クラメール・シャンクス・グランヴィル比は、g _n / (ln( p _n )) ²の比です。^[6]素数2、3、7の比の異常に高い値を除外すると、この比の最大値は素数1693182318746371の0.9206386です。その他の記録用語はOEIS : A111943で見つけることができます。

g _{n が}最大ギャップであるとは、すべてのm < nに対してg _m < g _nであるときである。2024 年 10 月現在、最大の最大素数ギャップは長さ 1676 で、ブライアン・ケーリッグによって発見された。これは 83 番目の最大素数ギャップであり、素数 20733746510561442863 の後に発生する。^[11]その他の記録的な (最大) ギャップのサイズはOEIS : A005250にあり、対応する素数p _nはOEIS : A002386に、 nの値はOEIS : A005669にある。n番目の素数までの最大ギャップのシーケンスは、約項になると推測されている^[12]。 ^{[アップデート]}${\displaystyle 2\ln n}$

1852 年に証明されたベルトランの公理は、kと 2 kの間には常に素数が存在すること、特にp _{n  +1}  < 2 p _n、つまりg _n  <  p _nであることを述べています 。

1896年に証明された素数定理によれば、素数pと次の素数の間のギャップの平均長さは、十分に大きな素数に対して、 pの自然対数ln( p )に漸近的に近づく。ギャップの実際の長さはこれよりずっと長いか短いかもしれない。しかし、素数定理から、ギャップは素数に比例して任意に小さくなることが推測できる。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty}{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.}$

言い換えれば（極限の定義により）、任意の に対して、すべての に対して となる数が存在する。${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle g_{n}\epsilon }$。

ホーハイゼル（ ¹⁹³⁰）は、定数θ < 1 が存在し、

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{ as }}x\to \infty ,}$

したがって、

${\displaystyle g_{n}^{\theta },}$

n が十分に大きい 場合。

ホーハイゼルはθの可能な値32999/33000を得た。これはハイルブロン^[14]によって249/250に改良され、チュダコフ^[15]によって任意のε >0に対してθ = 3/4 + εに改良された。

大きな改善はインガム^[16]によるもので、彼はある正の定数cに対して、

もし、その後、任意の${\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})}$${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}}$${\displaystyle \theta >(1+4c)/(2+4c).}$

ここで、O は大きな O 表記法、ζはリーマン ゼータ関数、π は素数関数を表します。任意のc > 1/6 が許容されることがわかっているので、θ は5/8 より大きい任意の数になる可能性があることがわかります。

インガムの結果から直ちに導かれる結論は、nが十分に大きい場合、n ³と ( n  + 1) ^{3 の間には常に素数が存在するということである。 [17]}リンデレフの仮説は、c が任意の正の数である場合にインガムの公式が成り立つことを意味するが、これだけでは、 nが十分に大きい場合、 n ²と ( n  + 1) ²の間に素数が存在することを意味するには不十分である（ルジャンドルの予想を参照）。これを検証するには、クラメールの予想のようなより強力な結果が必要となる。

1972年にハクスリーはθ = 7/12 = 0.58(3)を選択できることを示した。 ^[18]

2001年にベイカー、ハーマン、ピンツが行った結果によると、 θは0.525とすることができることが示されています。^[19]

上記はすべてのギャップの限界について述べたものですが、もう1つ興味深いのはギャップの最小サイズです。双子素数予想は、サイズ2のギャップが常に複数存在すると主張していますが、証明されていません。2005年に、ダニエル・ゴールドストン、ヤノシュ・ピンツ、ジェム・ユルドゥルムは、

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty}{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0}$

そして2年後にこれを改良した[ ^20]

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}}}$

2013年、張一堂は

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }g_{n}}は、$

つまり、7000万を超えないギャップは無限にあるということです。^[21]張の境界を最適化するためのPolymathプロジェクトの共同作業により、2013年7月20日に境界を4680まで下げることができました。 ^[22] 2013年11月、James MaynardはGPYふるいの新しい改良を導入し、境界を600まで下げ、任意のmに対して、それぞれm個の素数を含む無限数の変換を持つ有界区間が存在することを示しました^{[理解不能]}。^[23] Maynardのアイデアを使用して、Polymathプロジェクトは境界を246まで改善しました。^{[22] [24]}エリオット–ハルバースタム予想とその一般化形式を仮定すると、境界はそれぞれ12と6に削減されました。^[22]

1931年、エリック・ウェストジンティウスは、最大素数ギャップは対数的に増加することを証明した。つまり、^[2]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty}{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty.}$

1938年、ロバート・ランキンは定数c  > 0の存在を証明し、不等式

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}}$

はnの無限の値に対して成り立ち、ウェストジンティウスとポール・エルデシュの結果を改善した。彼は後に、γをオイラー・マスケローニ定数として、定数c  <  e ^γを取ることができることを示した。定数cの値は1997年に2 e ^γ未満の任意の値に改善された。^[25]

ポール・エルデシュは、上記の不等式の定数cが任意の大きさに取れることを証明または反証した人に1万ドルの賞金を出すと申し出た。^[26]これは2014年にフォード・グリーン・コニャギン・タオと、独立にジェームズ・メイナードによって正しいことが証明された。^{[27] [28]}

結果はさらに改善され、

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\ \log n\ \log \log n\ \log \log \log \log n}{\log \log \log n}}}$

フォード・グリーン・コニャギン・メイナード・タオの無限個のnの値に対して。 ^[29]

エルデシュの当初の賞の精神に倣い、テレンス・タオは、この不等式においてcを任意に大きくとることができることを証明した者に1万ドルの賞金を提供した。 ^[30]

素数連鎖の下限値も決定されている。^[31]

上で説明したように、ギャップのサイズに関する最も証明された境界は(十分に大きい の場合、またはについては心配する必要はありません) ですが、最大ギャップでもそれよりも大幅に小さいことが観察されており、証明されていない推測が大量に生じています。 ${\displaystyle g_{n}^{0.525}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 5-3>3^{0.525}}$${\displaystyle 29-23>23^{0.525}}$

最初のグループは、指数を まで減らすことができると仮定します。 ${\displaystyle \theta =0.5}$

連続する平方数の間には常に素数が存在するというルジャンドルの予想は、次のことを意味する。 アンドリカの予想は、^[32]${\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}})}$

${\displaystyle g_{n}}}+1.}$

オッパーマンの予想は、十分に大きい（おそらく） に対して、${\displaystyle n}$${\displaystyle n>30}$

${\displaystyle g_{n}}}.}$

これらはすべて証明されていない。 ハラルド・クラマーは、リーマン予想がギャップg _nが満たす ことを証明し、これに近づいた^[33]。

${\displaystyle g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),}$

ビッグオー記法を使用する。（実際、この結果には、無限に大きい指数を許容できる場合、より弱いリンデレーフ仮説のみが必要である。 ^[34]）

同論文で、彼はそのギャップははるかに小さいと推測した。大まかに言えば、クラメールの推測は次のように述べている。

${\displaystyle g_{n}=O\!\left((\log p_{n})^{2}\right)\!,}$

いかなる指数よりも遅い多重対数的成長率。 ${\displaystyle \theta >0}$

これは素数ギャップの観測された成長率と一致するため、同様の予想がいくつかある。Firoozbakht の予想はやや強力で、nの厳密に減少する関数である、すなわち、 ${\displaystyle p_{n}^{1/n}\!}$

${\displaystyle p_{n+1}^{1/(n+1)}\!<p_{n}^{1/n}{\text{ すべての }}n\geq 1 に対して。}$

もしこの予想が正しいとすれば、^{[35] [36]}それはクラメールの予想の強い形を意味しますが、任意の に対してが無限に頻繁に になることを示唆するグランビルとピンツのヒューリスティック^{[37] [38] [39]}とは矛盾します。ここで はオイラー・マスケローニ定数を表します。 ${\displaystyle g_{n}:(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1{\text{ }}n>9 の場合。}$${\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}>(1.1229-\varepsilon )(\log p_{n})^{2}}$${\displaystyle \epsilon >0,}$${\displaystyle \gamma}$

ポリニャックの予想は、すべての正の偶数k は、素数ギャップとして無限に頻繁に出現するというものです。k  = 2の場合は、双子素数予想です。この予想は、特定のkの値に対してはまだ証明も反証もされていません が、上で説明した張の結果の改良により、少なくとも 1 つの (現時点では未知である) k ≤ 246の値に対しては正しいことが証明されています 。

n番目と( n  + 1)番目の素数の間の差gnは_算術関数の一例である。この文脈では、これは通常dnと表記され、_素差関数と呼ばれる。^{[32]この関数は}乗法でも加法でもない。

• ボンセの不等式
• ガウス堀
• ツインプライム

• ガイ、リチャード K. (2004)。数論における未解決問題(第 3 版)。Springer - Verlag。ISBN 978-0-387-20860-2.ZBL1058.11001  。​

• Soundararajan, Kannan (2007). 「素数間の小さなギャップ: Goldston-Pintz-Yıldırım の研究」. Bull. Am. Math. Soc . New Series. 44 (1): 1–18. arXiv : math/0605696 . doi :10.1090/s0273-0979-06-01142-6. S2CID  119611838. Zbl  1193.11086.
• Mihăilescu, Preda (2014 年 6 月). 「加法数論におけるいくつかの予想について」(PDF) . EMS ニュースレター(92): 13–16. doi :10.4171/NEWS. hdl : 2117/17085 . ISSN  1027-488X.

• Thomas R. Nicely、「素数に関する計算研究のいくつかの結果 -- 計算数論」。この参考 Web サイトには、最初に出現した素数ギャップのリストがすべて含まれています。
• Weisstein、Eric W.「素差関数」。MathWorld。
• 「素数差関数」。PlanetMath 。
• Armin Shams は、Bertrand の予想に関するチェビシェフの定理の再拡張において、他の報告された結果のように「任意に大きな」定数を必要としません。
• クリス・コールドウェル、素数間のギャップ; 初歩的な入門
• Andrew Granville、「Primes in Intervals of Bounded Length」、James Maynard の 2013 年 11 月の研究まで、これまでに得られた結果の概要。
• Birke Heeren、[1] ここでは大きな素数のギャップと、そのような大きなギャップを計算する方法に関する論文が見つかります。