仮想繊維の推測

3次元多様体という数学の分野において、アメリカの数学者ウィリアム・サーストンによって定式化された仮想ファイバー予想は、無限基本群を持つすべての閉じた既約な3次元多様体は、円上の曲面束である有限被覆を持つと述べている。

このような有限被覆を持つ 3 次元多様体は、事実上ファイバーであるといわれます。Mがザイフェルトファイバー空間である場合、ザイフェルトファイバーの有理オイラー数または基本空間の (オービフォールド) オイラー特性が 0 である場合にのみ、 M は事実上ファイバーになります。

この予想の仮定は、双曲型 3 次元多様体によって満たされます。実際、幾何化予想が解決されたことを考えると、仮想ファイバー化予想を証明するために必要な唯一のケースは、双曲型 3 次元多様体の場合です。

仮想ファイバー予想（および、そのより弱い類似の、仮想ハーケン予想など）に対する当初の関心は、これらの予想のいずれも、サーストンの双曲化定理と組み合わせると、幾何化予想を意味するという事実から生じました。しかし、実際には、「仮想」予想に対する既知の攻撃はすべて、幾何化を仮説として採用し、双曲 3 次元多様体の幾何学的および群論的特性に依存しています。

事実上ファイバー化された予想は、サーストンによって実際に推測されたものではない。むしろ、彼はそれを疑問として提起し、「この疑わしい質問には、肯定的な答えが得られる確実な可能性があるようだ」とだけ書いた。^[1]

この予想は、2009年から2012年にかけての一連の論文で最終的に肯定的に決着しました。2009年8月25日のArXivへの投稿で、^[2] Daniel Wiseは、当時未発表の長い原稿を参照して、3次元多様体が閉じていて、双曲的で、Hakenである場合の予想を証明したことを暗黙のうちに示しました。これに続いて、Electronic Research Announcements in Mathematical Sciencesに調査記事が掲載されました。^[3]その後、Wiseによる前述の長い原稿を含むいくつかの他の記事^{[4] [5] [6]} が続きました。^[7] 2012年3月、パリのアンリ・ポアンカレ研究所での会議で、 Ian Agolは、閉じた双曲的な3次元多様体に対するHaken予想を事実上証明できると発表しました。 ^[8]ダニエル・ワイズの結果と合わせると、これはすべての閉じた双曲型3次元多様体に対して仮想ファイバー予想が成り立つことを意味する。

• 事実上ハーケン予想
• 表面部分群の予想
• エーレンプライス予想

• サーストン、ウィリアム P. ( 1982)。「3次元多様体、クライン群、双曲幾何学」。アメリカ数学会報。6 (3): 357–382。CiteSeerX 10.1.1.535.7618。doi : 10.1090 / S0273-0979-1982-15003-0。 
• D. Gabai、「表面バンドルによって有限に覆われた3次元多様体について」、低次元トポロジーとクライン群（編：DBA Epstein）、ロンドン数学会講義ノートシリーズ第112巻（1986年）、p.145-155。
• Agol, Ian (2008). 「仮想ファイバー化の基準」. Journal of Topology . 1 (2): 269–284. arXiv : 0707.4522 . doi :10.1112/jtopol/jtn003. S2CID  3028314.

• Klarreich, Erica (2012-10-02). 「図形を理解する: 双曲幾何学から立方体複合体へ、そしてその逆へ」Quanta Magazine。