幾何学的属

代数幾何学において、幾何学的種数は代数多様体と複素多様体の基本的な双有理不変量 $p g$ です。

意味

幾何学的種数は、非特異複素射影多様体に対して定義でき、より一般的には複素多様体に対してホッジ数 $h n,0$ (セール双対性により $h 0, n$ に等しい)、つまり標準線型システムの次元に 1 を加えたものとして定義できます。

言い換えれば、複素次元 $n$ の多様体 $Vに対して、それは$ $V$ 上で見つかる線型独立な正則 $n$ 形式の数である。^[1]この定義は、

H 0 (V,Ω n)

$Ω が$ ケーラー微分層とされ、べきが（上側の）外べき、つまり標準直線束であるとき、任意の基底体に当てはまります。

幾何種数は、多属と呼ばれる不変量の列 $P$ $n$ の最初の不変量 $p g = P 1$ です。

複素多様体の場合、特異でない曲線（の複素軌跡）はリーマン面です。種数の代数的定義は位相概念と一致します。特異でない曲線では、標準直線束の次数は $2 g - 2$ です。

g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,

ここで、s は適切に数えられた特異点の数です。

$C が$ $d$ 次多項式方程式によって切り取られた射影平面上の既約 ( かつ滑らかな ) 超曲面である場合、その法線束はセールねじり層⁠ ⁠ $($ $d$ $)であるため、$ 付加公式により、 $C$ の標準線束は次のように与えられる。 ${\mathcal {O}}$

{\mathcal {K}}_{C}=\left[{\mathcal {K}}_{\mathbb {P} ^{2}}+{\mathcal {O}}(d)\right]_{\vert C}={\mathcal {O}}(d-3)_{\vert C}

$幾何学的種数の定義は、古典的には特異曲線C$ に引き継がれ、次のように定められている。

pg (C) の

は正規化 $C'$ の幾何種数である。つまり、写像

C' \to C

は双有理的であるため、定義は双有理不変性によって拡張されます。

P. グリフィス、J. ハリス(1994)。代数幾何学の原理。ワイリークラシックスライブラリー。ワイリーインターサイエンス。p. 494。ISBN 0-471-05059-8。
VI ダニロフ。ヴャチェスラフ V. ショクロフ (1998)。代数曲線、代数多様体、およびスキーム。スプリンガー。ISBN 978-3-540-63705-9。