マルコフ数

マルコフ数または マルコフ数は、マルコフディオファントス方程式の解の一部である正の整数 x、y 、またはzです。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz,\,}$

アンドレイ・マルコフ （1879、1880） によって研究された。

最初のいくつかのマルコフ数は

1、2、5、13、29、34、89、169、194、233、433、610、985、1325、...（OEISの配列A002559 ）​​​​​​​​​​​​​​​

マルコフ三重項の座標として現れる

(1, 1, 1)、(1, 1, 2)、(1, 2, 5)、(1, 5, 13)、(2, 5, 29)、(1, 13, 34)、(1 、34、89)、(2、29、169)、(5、13、194)、(1、89、233)、 (5, 29, 433)、(1, 233, 610)、(2, 169, 985)、(13, 34, 1325)、...

マルコフ数とマルコフトリプルは無限に存在します。

古いマルコフ トリプル ( x、  y、  z ) から新しいマルコフ トリプルを取得する簡単な方法が 2 つあります。まず、3 つの数値x、y、zを並べ替えて、特にx  ≤  y  ≤  zとなるようにトリプルを正規化します。次に、 ( x、  y、  z ) がマルコフ トリプルであれば、 ( x、  y、 3 xy  −  z ) もマルコフ トリプルです。この操作を 2 回適用すると、最初と同じトリプルが返されます。正規化された各マルコフ トリプルを、これから得られる 1、2、または 3 つの正規化されたトリプルに結合すると、図のように (1,1,1) から始まるグラフが得られます。このグラフは連結されています。つまり、これらの操作のシーケンスによって、すべてのマルコフ トリプルを(1,1,1)に連結できます。 ^[1] 例えば、(1, 5, 13)から始めて、 z がそれぞれ 1、5、13 に設定されている場合、マルコフ木ではその 3 つの近傍(5, 13, 194)、(1, 13, 34) 、 ( 1 , 2, 5) が得られます。 たとえば、(1, 1, 2)から始めて、変換の各反復の前にyとz を交換すると、フィボナッチ数列を持つマルコフ トリプルがリストされます。 同じトリプルから始めて、各反復の前にxとz を交換すると、ペル数列が得られます。

2の領域に隣接する領域上のすべてのマルコフ数は奇数インデックスのペル数（または2 n ²  − 1が平方となる数n、OEIS：A001653）であり、1の領域に隣接する領域上のすべてのマルコフ数は奇数インデックスのフィボナッチ数（OEIS：A001519）である。したがって、次の形式のマルコフトリプルは無限に存在する。

${\displaystyle (1,F_{2n-1},F_{2n+1}),\,}$

ここで、F _{k は}k番目のフィボナッチ数です。同様に、次の形式のマルコフトリプルは無限に存在します。

${\displaystyle (2,P_{2n-1},P_{2n+1}),\,}$

ここでPk_はk番目のペル数である。^[2]

最小の2つの特異な3つ組(1, 1, 1)と(1, 1, 2)を除いて、すべてのマルコフ3つ組は3つの異なる整数から構成されます。 ^[3]

1913年にフロベニウスが指摘した単一性予想[ ^4]は、与えられたマルコフ数cに対して、 cをその最大要素とする正規化解がちょうど1つ存在するというものである。この予想の証明は主張されているが、どれも正しいようには思えない。^[5]マーティン・アイグナー^[6]は、単一性予想のより弱い変種をいくつか検討している。彼の分子固定予想は2020年にラビドーとシフラーによって証明され、^[7]固定分母予想と和固定予想は2023年にリー、リー、ラビドー、シフラーによって証明された。^[8]

マルコフ数の素因数はいずれも4を法として3と合同ではない。つまり、奇数のマルコフ数は4の倍数より1大きい。^[9]さらに、がマルコフ数である場合、の素因数はいずれも4を法として3と合同ではない。偶数のマルコフ数は32の倍数より2大きい。^[10]${\displaystyle m}$${\displaystyle 9m^{2}-4}$

1982年の論文で、ドン・ザギエはn番目のマルコフ数が漸近的に次のように与えられる と予想した。

${\displaystyle m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n}}+o(1)}\quad {\text{with }}C=2.3523414972\ldots \,.}$

エラーは以下にプロットされます。 ${\displaystyle (\log(3m_{n})/C)^{2}-n}$

さらに彼は、元のディオファントス方程式の近似であるは、f ( t ) = arcosh (3 t /2)と同等であることを指摘した。 ^[11]この予想は、1995年にグレッグ・マクシェーンとイゴール・リヴィンによって双曲幾何学の手法を用いて 証明された^{[異論あり–議論あり]}。^[12]${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9}$${\displaystyle f(x)+f(y)=f(z)}$

n番目のラグランジュ数はn番目のマルコフ数から次の式で 計算できる。

${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.\,}$

マルコフ数は、（一意ではない）平方のペアの合計です。

マルコフ（1879、1880）は、

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

が実数係数と判別式を持つ不定 二項二次形式である場合、整数x、  yが存在し、これに対してf は絶対値が最大で ゼロでない値を取る。 ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {D}}{3}}}$

fがマルコフ形式でない限り：^[13]定数倍の形式

${\displaystyle px^{2}+(3p-2a)xy+(b-3a)y^{2}}$

そのような

${\displaystyle {\begin{cases}0<a<p/2,\\aq\equiv \pm r{\pmod {p}},\\bp-a^{2}=1,\end{cases}}}$

ここで ( p ,  q ,  r ) はマルコフトリプルです。

trを行列上のトレース関数とします。XとYがSL ₂ ( )にある場合、 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)+\operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})+2=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}$

そうすると​ ${\textstyle \operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})=-2}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}$

特に、XとYにも整数要素がある場合、tr( X )/3、tr( Y ) / 3、tr( XY )/3はマルコフトリプルです。X⋅Y⋅Z=Iの場合、 tr  ( XtY)=tr(Z)なので、より対称的に、X、Y、Zが_SL2 ( )にあり、 X⋅Y⋅Z = Iであり 、そのうちの2つの交換子がトレース-2を持つ場合、それらのトレース/3はマルコフトリプルです。[ ^14]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• マルコフスペクトル

• アイグナー、マーティン(2013-07-29)。マルコフの定理と一意性予想の 100 年:無理数から完全マッチングへの数学的旅。チャム ハイデルベルグ: シュプリンガー。ISBN 978-3-319-00887-5. MR  3098784。
• Cassels, JWS (1957)。ディオファントス近似入門。ケンブリッジ数学・数理物理学論文集。第45巻。ケンブリッジ大学出版局。Zbl 0077.04801  。
• Cusick, Thomas; Flahive, Mary (1989)。MarkoffおよびLagrange スペクトル。数学。調査とモノグラフ。第 30 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-1531-8.ZBL0685.10023  。​
• ガイ、リチャード K. (2004)。数論における未解決問題。シュプリンガー出版。pp . 263–265。ISBN 0-387-20860-7.ZBL1058.11001  。​
• マリシェフ、AV (2001) [1994]、「マルコフスペクトル問題」、数学百科事典、EMSプレス
• マルコフ、A.「無限の四角形の形式」。数学アンナレン。シュプリンガー ベルリン / ハイデルベルク。ISSN  0025-5831。

マルコフ、A. (1879)。 「初めての回想録」。数学アンナレン。15 (3–4): 381–406。土井：10.1007/BF02086269。S2CID  179177894。

マルコフ、A. (1880)。 「第二の回想録」。数学アンナレン。17 (3): 379–399。土井：10.1007/BF01446234。S2CID  121616054。