アンリ・ルベーグ

アンリ・ルベーグ
生まれる	( 1875-06-28 )1875年6月28日 フランス、オワーズ県、ボーヴェ
死亡	1941年7月26日（1941-07-26）（66歳） パリ、フランス
国籍	フランス語
母校	パリ高等師範学校
知られている	ルベーグ積分 ルベーグ測度
受賞歴	王立協会会員[1] 1914年 ポンスレ賞[2]
科学者としてのキャリア
フィールド	数学
機関	レンヌ大学 ポワティエ大学 パリ大学 コレージュ・ド・フランス
博士課程の指導教員	エミール・ボレル
博士課程の学生	ポール・モンテル ・ジグムント・ジャニシェフスキー・ ジョルジュ・ド・ラム

アンリ・レオン・ルベーグ（ Henri Léon Lebesgue ForMemRS） ^[1]（フランス語： [ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ] ; 1875年6月28日 - 1941年7月26日）は、積分理論で知られるフランスの数学者。積分理論は、軸とその軸に対して定義された関数の曲線との間の面積を合計するという17世紀の積分の概念を一般化したものだ。彼の理論は、1902年にナンシー大学で博士論文「積分、長さ、面積」として最初に発表された^{。[3] [4]}

アンリ・ルベーグは1875年6月28日、オワーズ県ボーヴェで生まれた。ルベーグの父は植字工、母は教師だった。両親は幼いアンリが使えるように自宅に図書館を作った。ルベーグがまだ幼かったころ、父は結核で亡くなり、母はひとりで彼を養わなければならなかった。小学校で数学に並外れた才能を示したため、教師の一人がコミュニティの支援を得て、ルベーグがボーヴェ・コレージュ、その後パリのリセ・サン・ルイとリセ・ルイ・ル・グランで教育を受け続けられるように手配した。^[5]

1894年、ルベーグはエコール・ノルマル・シュペリウールに入学し、そこでも数学の研究に力を注ぎ、1897年に卒業した。卒業後はエコール・ノルマル・シュペリウールに2年間留まり、図書館で働き、当時同校を卒業したばかりのルネ＝ルイ・ベールが行っていた不連続性の研究を知る。同時にソルボンヌ大学で大学院の研究を始め、エミール・ボレルの初期測度論に関する研究やカミーユ・ジョルダンのジョルダン測度に関する研究について学んだ。1899年、博士号取得に向けた研究を続けながら、ナンシーのリセ・サントラルに教鞭を執ることになった。1902年、4歳年上のボレルを指導教官として提出した「積分、長さ、面積」という画期的な論文により、ソルボンヌ大学で博士号を取得した。 ^[6]

ルベーグは同級生の妹と結婚し、妻との間にはスザンヌとジャックという二人の子供が生まれた。

論文を発表した後、1902年にレンヌ大学から教授職をオファーされ、1906年にポワティエ大学理学部に移るまでそこで教鞭を執った。1910年にソルボンヌ大学に教授として移り、1919年からは教授に昇進した。1921年にソルボンヌ大学を離れ、コレージュ・ド・フランスの数学教授となり、終身そこで講義と研究を行った。^{[7] 1922年にフランス}科学アカデミーの会員に選出された。アンリ・ルベーグは1941年7月26日にパリで亡くなった。^[6]

ルベーグの最初の論文は 1898 年に発表され、「関数の近似について」と題された。この論文は、連続関数を多項式で近似することに関するワイエルシュトラスの定理を扱っていた。1899 年 3 月から 1901 年 4 月にかけて、ルベーグはComptes Rendusに 6 つの論文を発表した。最初の論文は、ルベーグ積分の開発とは無関係で、ベールの定理を2 変数の関数に拡張することを扱っていた。次の 5 つは、平面に適用可能な面、斜め多角形の面積、与えられた境界での最小面積の面積積分を扱っており、最後の論文では、ある関数 f(x) に対するルベーグ積分の定義が与えられていた。ルベーグの偉大な論文「積分、長さ、気」は、この研究の全容を記したもので、1902年にAnnali di Matematicaに掲載された。第1章では測度の理論を展開している（ボレル測度を参照）。第2章では、積分を幾何学的かつ解析的に定義している。次の章では、長さ、面積、適用可能な面を扱ったComptes Rendusのノートを拡張している。最終章では、主にプラトーの問題を扱っている。この論文は、数学者によって書かれた最も優れた論文の1つと考えられている。^[1]

1902年から1903年にかけての彼の講義は、「ボレルの講義」Leçons sur l'integration et la recherche des fonctions primitivesにまとめられた。積分の問題を原始関数の探索とみなすことが、この本の基調となっている。ルベーグは、オーギュスタン＝ルイ・コーシー、ピーター・ギュスターヴ・ルジューヌ・ディリクレ、ベルンハルト・リーマンを取り上げ、積分の問題をその歴史的文脈で提示している。ルベーグは、積分が満たすべき望ましい6つの条件を提示しており、その最後の条件は「数列f _n (x)が極限f(x)まで増加する場合、f _{n (x)の積分はf(x)の積分に近づく」というものである。ルベーグは、彼の条件が}測度と測定可能な関数の理論、および積分の解析的および幾何学的定義 につながることを示している。

次に彼は、1903 年の論文「三角関数級数について」で三角関数に取り組みました。この論文で彼は 3 つの主要な定理を提示しました。有界関数を表す三角級数はフーリエ級数であること、n番目^のフーリエ係数はゼロに近づくこと (リーマン - ルベーグの補題)、およびフーリエ級数は項ごとに積分可能であることです。1904 年から 1905 年にかけて、ルベーグは再びコレージュ ド フランスで講義を行いました。今回は三角級数について講義し、その講義を別の「ボレル論文集」に発表しました。この論文では、再びこの主題を歴史的背景の中で扱い、フーリエ級数、カントル - リーマン理論、ポアソン積分、およびディリクレ問題について詳しく説明しています。

1910 年の論文「リプシッツの条件を満たす関数への三角法による表現」では、リプシッツ条件を満たす関数のフーリエ級数を扱い、剰余項の大きさの順序を評価しています。また、リーマン・ルベーグの補題が連続関数の最良の結果であることを証明し、ルベーグ定数をある程度扱っています。

ルベーグはかつて、「Réduites à des théories générales, les mathématiques serient une belle forme sans contenu」と書きました。 （「一般理論に還元されてしまうと、数学は内容のない美しい形式になってしまうだろう。」）

測度論的解析および関連する数学の分野では、ルベーグ-スティルチェス積分はリーマン-スティルチェス積分とルベーグ積分を一般化し、より一般的な測度論的枠組みにおいて後者の多くの利点を維持します。

ルベーグは生涯を通じて複素解析と位相幾何学の領域にも進出した。また、どちらの積分がより一般的であるかという点でもエミール・ボレルと意見が合わなかった。 ^{[8] [9] [10] [11]しかし、こうしたささいな進出は、}実解析への貢献に比べれば見劣りする。この分野への貢献は今日のこの分野の形に多大な影響を与え、彼の手法は現代の解析学に不可欠な部分となっている。これらは、後述するように、ルベーグが全く知らなかったであろう基礎物理学に対する重要な実践的意味合いを持っている。

積分は、関数のグラフの下の面積を求めるという非公式な考え方に対応する数学的演算である。積分の最初の理論は、紀元前3世紀にアルキメデスが求積法によって開発したが、これは高度な幾何学的対称性を持つ限られた状況にしか適用できなかった。17世紀に、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは、積分は微分と本質的に関連しているという考えを発見した。微分は、グラフ上の任意の点で関数がどれだけ速く変化するかを測定する方法である。微積分における2つの主要な幾何学演算である微分と積分の間のこの意外な関係は、現在、微積分の基本定理として知られている。これにより、数学者は初めて幅広いクラスの積分を計算できるようになった。しかし、ユークリッド幾何学に基づいたアルキメデスの方法とは異なり、数学者はニュートンとライプニッツの積分法は厳密な基礎を持っていないと感じていた。

極限という数学的概念と、それに密接に関連する収束という概念は、現代のあらゆる積分の定義の中心を成しています。19 世紀に、カール・ワイエルシュトラスは、極限の厳密なイプシロン デルタ定義を開発しました。これは、今日でも数学者に受け入れられ、使用されています。ワイエルシュトラスは、今日では標準的な数学的解析では否定されている、極小数という非標準的な概念を使用していた、オーギュスタン・コーシーによる以前の、しかし厳密ではない研究を基にしています。コーシー以前には、ベルナルド・ボルツァーノがイプシロン デルタ定義の基本的な基礎を築いていました。詳細については、 ここを参照してください。

ベルンハルト・リーマンは、現在リーマン積分と呼ばれているものを形式化することでこれに続きました。この積分を定義するには、グラフの下の領域をだんだん小さな長方形で埋めていき、各段階で長方形の面積の合計の極限をとります。ただし、関数によっては、これらの長方形の合計面積が 1 つの数値に近づきません。したがって、それらにはリーマン積分がありません。

ルベーグは、この問題を解決するために新しい積分法を発明しました。関数の領域に焦点を置いた長方形の面積を使用する代わりに、ルベーグは関数の余領域を面積の基本単位として見ました。ルベーグのアイデアは、まず集合とその集合上の関数の両方に対して測度を定義することでした。次に、彼が単純関数と呼んだもの、つまり有限個の値のみを取る測定可能な関数の積分を構築しました。次に、より複雑な関数に対して、問題の関数よりも小さい単純関数のすべての積分の 最小上限としてそれを定義しました。

ルベーグ積分には、リーマン積分を持つ有界区間で定義されたすべての関数はルベーグ積分も持つという性質があり、それらの関数では 2 つの積分が一致します。さらに、閉じた有界区間上のすべての有界関数はルベーグ積分を持ち、ルベーグ積分を持ちながらリーマン積分を持たない関数も多数あります。

ルベーグ積分の発展の一環として、ルベーグは測度の概念を発明しました。これは、長さの概念を区間から、測定可能な集合と呼ばれる非常に大きな集合のクラスに拡張するものです (したがって、より正確には、単純な関数は有限個の値を取る関数であり、各値は測定可能な集合上で取られます)。測度を積分に変換するルベーグの手法は、他の多くの状況に簡単に一般化でき、現代の測度論の分野につながっています。

ルベーグ積分には、ある点において欠陥があります。リーマン積分は、定義域が閉区間ではない関数を測定するための、不適切リーマン積分に一般化されます。ルベーグ積分は、これらの関数の多くを積分しますが (積分するときは常に同じ解を再現します)、すべてを積分できるわけではありません。実数直線上の関数の場合、ヘンストック積分は、ルベーグ積分と不適切リーマン積分の両方を包含する、さらに一般的な積分の概念です (ルベーグではなくリーマンの理論に基づいています)。ただし、ヘンストック積分は実数直線の特定の順序付け機能に依存するため、より一般的な空間 (たとえば、多様体)での積分を可能にするように一般化されませんが、ルベーグ積分はそのような空間に非常に自然に拡張されます。

1947年、ノーバート・ウィーナーは、ルベーグ積分がウィラード・ギブスの統計力学の基礎に関する研究の妥当性を確立する上で予想外だが重要な意味を持つと主張した。^[12]平均と測度の概念は、ギブスのエルゴード仮説を厳密に証明するために緊急に必要であった。^[13]

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