微分幾何学

微分幾何学の研究、あるいは少なくとも滑らかな形状の幾何学の研究は、少なくとも古典古代にまで遡ることができます。特に、古代ギリシャの数学者の時代には、地球の幾何学、すなわち球面幾何学について多くのことが知られていました。有名なことに、エラトステネスは紀元前200年頃に地球の円周を計算し、紀元150年頃にはプトレマイオスが『地理学』の中で地球の形状を地図にするために立体投影法を導入しました。 ^{[ 1 ]}この時代を通して、微分幾何学と微積分学の基礎を形成する原理は、測地学において、はるかに簡略化された形ではありますが、暗黙のうちに使用されていました。つまり、ユークリッドの『原論』の頃から、直線は2点間の最短距離を提供する性質によって定義できることが理解されており、この同じ原理を地球の表面に適用すると、平面上では直線と局所的にしか相似でない大円が、地球表面上の2点間の最短経路を提供するという結論に至ります。実際、エラトステネスらが測地線に沿って測定した距離は、曲線の弧長の初歩的な尺度とみなすことができ、この概念は1600年代まで微積分学の観点から厳密に定義されることはなかった。

この頃は、幾何学の研究に無限小の理論が直接応用された例はごくわずかで、現代の微積分に基づく幾何学研究の先駆けとなった。ユークリッドの『原論』では、直線と円の接線の概念が議論されており、アルキメデスは、円などの滑らかな形状の面積や、球、円錐、円柱などの滑らかな三次元立体の体積を計算するために、除去法を適用した。 ^{[ 1 ]}

古代からルネサンス初期にかけて、微分幾何学の理論はほとんど発展しなかった。ニュートンとライプニッツによる微積分学の発展以前、微分幾何学の理解における最も重要な発展は、地球を地図化する方法としてメルカトル図法を開発したゲラルドゥス・メルカトルによるものであった。メルカトルは、自身の地図設計の利点と欠点を理解しており、特に、自身の投影法の等角性、および地球上の最短距離の線であるプラガと地図上の直線経路であるディレクションの違いを認識していた。メルカトルは、この投影法ではプラガが斜めの曲率を持つことに気づいた。[1] この事実は、地球の表面^を平面上にメートル法で保存する地図が存在しないことを反映しており、これは後のガウスの驚異の定理の結果である。

微積分学の概念と無限小の理論を用いた幾何学の体系的かつ厳密な扱いは、ゴットフリート・ライプニッツとアイザック・ニュートンによって微積分学が初めて開発された1600年代頃に始まった。当時、ルネ・デカルトが幾何学に解析座標を導入したばかりで、複雑な幾何学的形状を厳密に記述することが可能になった。特にこの頃、ピエール・ド・フェルマー、ニュートン、ライプニッツは平面曲線の研究と、曲率の測定に役立つ変曲点や接円といった概念の調査を開始した。実際、ライプニッツは微積分学の基礎に関する最初の論文の中で、すでに無限小の条件について言及している。$\displaystyle d^{2}y=0}$これは変曲点の存在を示しています。この直後、ベルヌーイ兄弟、ヤコブとヨハンは、幾何学の研究に無限小を用いるという重要な初期の貢献をしました。当時ヨハン・ベルヌーイが行った講義（後にロピタルによって微分積分学の最初の教科書としてまとめられた）では、さまざまなタイプの平面曲線の接線が条件を用いて計算されています。${\displaystyle dy=0}$同様に変曲点も計算される。^{[ 1 ]}同時に、平面曲線の接円と接線方向との直交性が実現され、接円の半径に関する最初の解析式、本質的には曲率の概念に関する最初の解析式が書き下ろされる。

解析幾何学と平面曲線の発展を受けて、アレクシス・クレローはわずか16歳で空間曲線の研究を始めた。 ^{[ 2 ] [ 1 ]}クレローは著書の中で、空間曲線が乗っている曲面に沿った方向との関連で、空間曲線に対する接線方向と準接線方向の概念を導入した。このようにしてクレローは曲面の接空間を暗黙のうちに理解し、この考えを初めて微積分を用いて研究した。重要なことに、クレローは曲率と二重曲率の用語を導入した。これは本質的に、後にガウスらが研究した主曲率の概念である。

ほぼ同時期に、もともとヨハン・ベルヌーイの弟子であったレオンハルト・オイラーは、幾何学の発展だけでなく、より広範な数学にも多くの重要な貢献をした。^{[ 3 ]}微分幾何学に関して、オイラーは曲面上の測地線の概念を研究し、最初の解析的測地線方程式を導出し、後に曲面上の最初の固有座標系を導入し、現代の幾何学的概念の基礎となる固有幾何学の理論を開始した。^{[ 1 ]}この頃、オイラーの『メカニカ』における力学の研究は、いかなる力も受けない曲面に沿って移動する質量が測地線経路をたどるという認識につながり、これはアインシュタインの一般相対性理論の重要な基礎概念の初期の先駆けであり、また、オイラー・ラグランジュ方程式と変分法の最初の理論にもつながり、これは現代の微分幾何学において、シンプレクティック幾何学と幾何解析の多くの手法の基礎となっている。この理論は、変分法の共同開発者であるラグランジュによって、オイラー・ラグランジュ方程式を用いて極小曲面を記述する最初の微分方程式を導出するために用いられた。1760年、オイラーは、曲面上の空間曲線の曲率を主曲率で表す定理を証明した。これはオイラーの定理として知られている。

1700年代後半、ガスパール・モンジュが率いる新しいフランス学派が微分幾何学に貢献し始めた。モンジュは平面曲線、平面曲面の理論に重要な貢献をし、回転面や平面曲線および空間曲線の包絡線を研究した。モンジュの弟子数名がこの理論に貢献し、例えばシャルル・デュパンは主曲率を用いてオイラーの定理の新しい解釈を提供した。これが現代の方程式の形である。^{[ 1 ]}

微分幾何学の分野は、1800年代に解析幾何学というより広い概念とは区別された、独立した研究分野として認識されるようになった。これは主にカール・フリードリヒ・ガウスとベルンハルト・リーマンの基礎的な業績によるものであり、またニコライ・ロバチェフスキーによる双曲幾何学と非ユークリッド幾何学への重要な貢献や、同時期における射影幾何学の発展によっても確立された。

微分幾何学の歴史において最も重要な作品と称される^{[ 4 ]}ガウスは、1827年に曲面の一般理論を詳述した『曲面に関する一般研究』を発表した^{[ 5 ] [ 4 ] [ 6 ]。}この著作と、その後の論文や未発表の曲面理論に関するメモにおいて、ガウスは非ユークリッド幾何学の発明者、そして内在微分幾何学の発明者と呼ばれている[6]。ガウス^は、その基礎論文において、ガウス写像、ガウス曲率、第一および第二基本形式を導入し、ガウス曲率の本質的な性質を示す驚異の定理を証明し、測地線を研究し、曲面上の様々な非ユークリッド幾何学における測地線三角形の面積を計算した。

この頃、ガウスはすでにユークリッド幾何学の標準的なパラダイムを捨てるべきだという意見を持っており、測地線三角形の研究に役立つ非ユークリッド幾何学に関する私的な原稿を所有していた。 ^{[ 6 ] [ 7 ]}ほぼ同時期に、ヤーノシュ・ボヤイとロバチェフスキーは独立に双曲幾何学を発見し、ユークリッドのパラダイムの外に一貫した幾何学が存在することを証明した。双曲幾何学の具体的なモデルは、1860年代後半にエウジェニオ・ベルトラーミによって作成され、フェリックス・クラインは1871年に非ユークリッド幾何学という用語を作り出し、エアランゲン計画を通じてユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学を同等の立場に置いた。^{[ 8 ]}暗黙のうちに、古代から研究されてきた地球の球面幾何学は非ユークリッド幾何学、つまり楕円幾何学であった。

ガウスの言葉による内在微分幾何学の発展は、彼の弟子であるベルンハルト・リーマンが教授資格論文「幾何学の基礎となる仮説について」^{[ 9 ]}で推進した。この論文でリーマンはリーマン計量とリーマン曲率テンソルの概念を初めて導入し、高次元における微分幾何学の体系的な研究を開始した。リーマン計量によるこの内在的な観点は、$ds²$リーマンによる、ガウスの線形要素に関するアイデアの発展${\displaystyle ds}$曲面の。この頃、リーマンは線形代数と多重線形代数を体系的にこの分野に導入し始め、計量と曲率の研究において二次形式の理論を大いに活用した。この頃、リーマンはまだ多様体の現代的な概念を発展させておらず、位相空間の概念さえもまだ見つかっていなかったが、時空内の質量の解析を通して時空の計量の性質を調査または測定できるかもしれないと提案し、力が作用しない質量は曲面上の測地線に沿って移動するというオイラーの以前の観察と結びつき、アインシュタインの等価原理の基本的な観察が科学文献に登場する60年も前にそれを予言した。^{[ 6 ] [ 4 ]}

リーマンによる新たな記述を受けて、微分幾何学の研究に用いられる手法の焦点は、曲線や曲面の研究における場当たり的で外在的な方法から、テンソル解析やクラインのエルランゲン計画に基づくより体系的なアプローチへと移り、この分野の進歩は加速した。変換群の概念は、ソフス・リーとジャン・ガストン・ダルブーによって発展させられ、リー群論やシンプレクティック幾何学において重要な成果をもたらした。曲がった空間における微分解析の概念は、1868年に共変微分を表すクリストッフェル記号を導入したエルヴィン・クリストッフェルや、多様体上の多くの解析的問題を研究したエウジェニオ・ベルトラーミなどによって研究された。^{[ 10 ]} 1899年にルイージ・ビアンキは微分幾何学に関する講義を著し、リーマンの視点から微分幾何学を研究した。そして1年後、トゥリオ・レヴィ＝チヴィタとグレゴリオ・リッチ＝クルバストロは絶対微分計算とテンソル計算の理論を体系的に展開した教科書を著した。^{[ 11 ] [ 4 ]}アインシュタインは一般相対性理論と擬リーマン幾何学の発展において、この言語で微分幾何学を使用した。

現代微分幾何学は、1900年代初頭に、位相幾何学の基礎に関するアンリ・ポアンカレの研究をはじめとする多くの数学者の基礎的な貢献を受けて出現した。^{[ 12 ]} 1900年代初頭には、厳密性と正確性の危機を回避するために、数学の基礎的な側面を形式化する大きな動きがあり、これはヒルベルトのプログラムとして知られている。このより広範な動きの一環として、位相空間の概念は1914年にフェリックス・ハウスドルフによって抽出され、1942年までには、組み合わせ論的および微分幾何学的な性質を持つ多様体のさまざまな概念が存在した。^{[ 12 ]}

この分野への関心は、アインシュタインの一般相対性理論の出現とアインシュタイン場の方程式の重要性によっても高められた。アインシュタインの理論は、リッチとレヴィ＝チヴィタのテンソル解析を普及させ、記号を導入した。${\displaystyle g}$リーマン計量の場合、${\displaystyle \Gamma }$クリストッフェル記号については、どちらも重力のGから来ています。エリー・カルタンは、滑らかな多様体の微分幾何学の基礎を外微積分と移動フレームの理論の観点から再定式化するのに役立ち、物理学の世界ではアインシュタイン・カルタン理論につながりました。^{[ 13 ] [ 4 ]}

この初期の発展に続いて、ベクトル束上の接続を導入したジャン＝ルイ・コズル、特性クラスを導入し複素多様体の研究を始めた陳清申、微分形式の理解を拡張したウィリアム・ヴァランス・ダグラス・ホッジ卿とジョルジュ・ド・ラム、ファイバー束とエーレスマン接続の理論を導入したシャルル・エーレスマンなど、多くの数学者が現代理論の発展に貢献した。 ^{[ 13 ] [ 4 ]}特に重要だったのはヘルマン・ワイルで、一般相対性理論の基礎に重要な貢献をし、共形幾何学への洞察を与えるワイルテンソルを導入し、ゲージの概念を初めて定義して物理学と数学におけるゲージ理論の発展につながった。

20世紀中頃から後半にかけて、微分幾何学は研究対象としてその範囲を拡大し、数学や物理学の他の分野とのつながりを発展させた。物理学におけるゲージ理論とヤン・ミルズ理論の発展は、束と接続に注目をもたらし、ゲージ理論の発展につながった。アティヤ・シンガー指数定理の証明を含む多くの解析的結果が研究された。複素幾何学の発展は、代数幾何学における並行的な結果によって促進され、複素多様体の幾何学と大域解析の結果は、シン・トゥン・ヤウらによって証明された。20世紀後半には、リッチフローなどの曲率フローに関する新しい解析的手法が開発され、グリゴリー・ペレルマンによるポアンカレ予想の証明で頂点に達した。同じ時期に、主にマイケル・アティヤの影響により、理論物理学と微分幾何学の間に新たなつながりが形成された。ヤン・ミルズ方程式やゲージ理論の研究から得られた手法は、数学者によって滑らかな多様体の新しい不変量の開発に用いられた。フィールズ賞を受賞した唯一の物理学者であるエドワード・ウィッテンなどの物理学者は、位相量子場理論や弦理論を用いて予測を行い、新たな厳密な数学の枠組みを提供することで、数学に新たな影響を与えた。その結果、例えば、予想された鏡面対称性やサイバーグ・ウィッテン不変量が生まれた。

リーマン幾何学は、リーマン計量を持つ滑らかな多様体であるリーマン多様体を研究します。これは、各点の接空間上で定義された滑らかな正定値対称双線形形式によって表現される距離の概念です。リーマン幾何学は、必ずしも平坦ではない空間にユークリッド幾何学を一般化しますが、それでも各点において無限小、つまり一次近似でユークリッド空間に似ています。曲線の弧長、平面領域の面積、立体の体積など、長さに基づくさまざまな概念はすべて、リーマン幾何学に自然な類似物を持っています。多変数微積分における関数の方向微分の概念は、テンソルの共変微分の概念に拡張されます。解析と微分方程式の多くの概念は、リーマン多様体の設定に一般化されています。

リーマン多様体間の距離保存微分同相写像は等長写像と呼ばれます。この概念は局所的に、つまり点の小さな近傍に対しても定義できます。任意の 2 つの正則曲線は局所的に等長です。しかし、カール・フリードリヒ・ガウスの「驚異の定理」は、曲面の場合、局所的等長写像の存在は、対応する点におけるガウス曲率が同じでなければならないことを課すことを示しました。高次元では、リーマン曲率テンソルは、リーマン多様体に関連付けられた重要な点ごとの不変量であり、それがどれだけ平坦に近いかを測ります。リーマン多様体の重要なクラスは、曲率が必ずしも一定ではないリーマン対称空間です。これらは、ユークリッド幾何学および非ユークリッド幾何学で考慮される「通常の」平面および空間に最も近い類似物です。

擬リーマン幾何学は、計量テンソルが正定値である必要がない場合にリーマン幾何学を一般化したものである。その特殊な例がローレンツ多様体であり、これはアインシュタインの一般相対性理論の数学的基礎となっている。

フィンズラー幾何学は、フィンズラー多様体を主な研究対象としています。これは、フィンズラー計量、すなわち各接空間上に定義されたバナッハノルムを持つ微分多様体です。リーマン多様体は、より一般的なフィンズラー多様体の特殊な場合です。多様体上のフィンズラー構造${\displaystyle M}$関数です${\displaystyle F:\mathrm {T} M\to [0,\infty )}$すなわち、

1. ${\displaystyle F(x,my)=mF(x,y)}$すべての人々のために${\displaystyle (x,y)}$で${\displaystyle \mathrm {T} M}$そしてすべて${\displaystyle m\geq 0}$、
2. ${\displaystyle F}$無限に微分可能である${\displaystyle \mathrm {T} M\setminus \{0\}}$、
3. 垂直ヘシアン$\displaystyle F^{2}}$正定値である。

シンプレクティック幾何学は、シンプレクティック多様体の研究です。ほぼシンプレクティック多様体とは、各接空間上に滑らかに変化する非退化歪対称双線形形式、すなわち非退化2形式ω （シンプレクティック形式と呼ばれる）を備えた微分可能な多様体のことです。シンプレクティック多様体とは、シンプレクティック形式ωが閉じている （ dω = 0 ）ほぼシンプレクティック多様体のことです。

2 つのシンプレクティック多様体間の微分同相写像で、シンプレクティック形式を保存するものをシンプレクトモルフィズムと呼ぶ。非退化歪対称双線形形式は偶数次元ベクトル空間にのみ存在できるため、シンプレクティック多様体は必然的に偶数次元である。2 次元では、シンプレクティック多様体は面積形式を備えた曲面であり、シンプレクトモルフィズムは面積を保存する微分同相写像である。力学系の位相空間はシンプレクティック多様体であり、それらはすでにジョセフ・ルイ・ラグランジュの解析力学の研究、そして後にカール・グスタフ・ヤコビとウィリアム・ローワン・ハミルトンの古典力学の定式化に暗黙のうちに現れていた。

曲率がリーマン多様体の局所不変量を与えるリーマン幾何学とは対照的に、ダルブーの定理はすべてのシンプレクティック多様体が局所的に同型であることを述べている。シンプレクティック多様体の不変量は大域的な性質のみであり、位相的側面はシンプレクティック幾何学において重要な役割を果たす。シンプレクティック位相における最初の結果はおそらくポアンカレ・バーコフの定理であり、これはアンリ・ポアンカレによって予想され、1912年にGDバーコフによって証明された。この定理は、環状領域の面積保存写像が各境界成分を反対方向にねじる場合、写像には少なくとも2つの固定点があると主張している。^{[ 14 ]}

接触幾何学は、奇数次元の特定の多様体を扱う。シンプレクティック幾何学に近く、後者と同様に古典力学の問題から生まれた。(2 n + 1)次元多様体M上の接触構造は、接束内の滑らかな超平面場Hによって与えられる。この超平面場は、 M上の微分可能な関数のレベル集合と関連付けられることが極めて少ない（専門用語では「完全非積分接超平面分布」と呼ばれる）。各点pの近傍では、超平面分布は至るところでゼロにならない1 形式によって決定される。${\displaystyle \alpha }$これは、どこにも消滅しない関数による乗算を除いて一意である。

${\displaystyle H_{p}=\ker \alpha _{p}\subset T_{p}M.}$

M上の局所 1 形式は、その外微分をHに制限したものが非退化 2 形式であり、各点でH _p上にシンプレクティック構造を誘導する場合、接触形式である。分布H が大域 1 形式で定義できる場合${\displaystyle \alpha }$この形式が接触するのは、最上位の形式が接触する場合に限る。

$\displaystyle \alpha \wedge (d\alpha )^{n}}$

はM上の体積形式であり、つまりどこにも消滅しません。ダルブーの定理の接触版が成り立ちます。奇数次元多様体上のすべての接触構造は局所的に同型であり、適切な座標系の選択によって特定の局所正規形に変換できます。

複素微分幾何学は複素多様体の研究である。準複素多様体は実多様体である。${\displaystyle M}$(1, 1)型のテンソル、すなわちベクトル束自己準同型（ほぼ複素構造と呼ばれる）を備えている。

${\displaystyle J:TM\rightarrow TM}$、したがって${\displaystyle J^{2}=-1.\,}$

この定義から、概複素多様体は偶数次元であることが導かれる。

ほぼ複素多様体は、以下の条件を満たす場合に複素と呼ばれます。${\displaystyle N_{J}=0}$、 どこ${\displaystyle N_{J}}$は、(2, 1)型のテンソルで、${\displaystyle J}$ナイエンハイステンソル（またはねじれ）と呼ばれる。ほぼ複素多様体は、正則座標アトラスを持つ場合に限り複素多様体である。ほぼエルミート構造は、ほぼ複素構造Jと、適合条件を満たすリーマン計量gによって与えられる。

${\displaystyle g(JX,JY)=g(X,Y).\,}$

ほぼエルミート構造は微分2形式を自然に定義する

${\displaystyle \omega _{J,g}(X,Y):=g(JX,Y).\,}$

以下の2つの条件は同等である。

1. ${\displaystyle N_{J}=0{\mbox{ および }}d\omega =0\,}$
2. ${\displaystyle \nabla J=0\,}$

どこ${\displaystyle \nabla }$レヴィ＝チヴィタのつながりは${\displaystyle g}$。 この場合、${\displaystyle (J,g)}$はケーラー構造と呼ばれ、ケーラー多様体はケーラー構造を備えた多様体である。特に、ケーラー多様体は複素多様体かつシンプレクティック多様体である。ケーラー多様体の大きなクラス（ホッジ多様体のクラス）は、すべての滑らかな複素射影多様体によって与えられる。

CR幾何学とは、複素多様体における領域の境界の固有の幾何学を研究する学問である。

等角幾何学とは、空間上の角度を保存する（等角）変換の集合を研究する学問である。

微分位相幾何学とは、計量形式やシンプレクティック形式を用いずに、大域的な幾何学的不変量を研究する学問である。

微分位相幾何学は、自然ベクトル束のリー微分や形式のド・ラーム微分といった自然な演算から始まります。リー代数束に加えて、クーラン代数束もより重要な役割を果たすようになります。

リー群は、滑らかな多様体の圏に属する群です。代数的性質に加えて、微分幾何学的性質も持ちます。最も分かりやすい構成はリー代数で、これは単位元における接空間に、左不変ベクトル場間のリー括弧を付与したものです。構造理論の他に、表現論という広範な分野もあります。

幾何解析は、微分方程式、特に楕円型偏微分方程式の手法を用いて、微分幾何学や微分位相幾何学における新たな成果を確立する数学の一分野である。

ゲージ理論は、ベクトル束および主束上の接続を研究する分野であり、素粒子物理学の標準模型を支える数理物理学および物理ゲージ理論の問題から派生したものです。ゲージ理論は、束上の接続に関する微分方程式、これらの方程式の解の結果として得られる幾何学的モジュライ空間、およびそこから導出される不変量の研究に関係しています。これらの方程式は、量子場理論における特定の物理系の運動方程式を記述するオイラー・ラグランジュ方程式として現れることが多く、そのため、物理学において非常に重要な研究対象となっています。