群論

抽象代数学において、群論は群と呼ばれる代数構造を研究します。群の概念は抽象代数学の中心であり、環、体、ベクトル空間などの他のよく知られた代数構造はすべて、追加の演算と公理を備えた群として見ることができます。群は数学全体で繰り返し登場し、群論の方法は代数学の多くの部分に影響を与えています。線型代数群とリー群は群論の2つの分野であり、進歩を遂げ、独自の主題領域となっています。

結晶や水素原子、宇宙で知られている4 つの基本的な力のうち 3 つなど、さまざまな物理システムは対称群によってモデル化できます。したがって、群論と密接に関連する表現論は、物理学、化学、材料科学で多くの重要な用途があります。群論は公開鍵暗号化でも中心的な役割を果たしています。

群論の初期の歴史は19世紀に遡ります。20世紀の最も重要な数学的成果の一つ^[1]は、 1960年から2004年の間に出版され、1万ページを超えるジャーナルページを占めた共同作業であり、有限単純群の完全な分類に至りました。

群論には、数論、代数方程式の理論、幾何学という 3 つの主要な歴史的源泉がある。数論的流れはレオンハルト・オイラーによって始まり、モジュラー算術および二次体に関連する加法群と乗法群に関するガウスの研究によって発展した。置換群に関する初期の結果は、高次多項式方程式の一般解を求めるラグランジュ、ルフィニ、アーベルによって得られた。エヴァリスト・ガロアは「群」という用語を作り出し、現在ガロア理論として知られる、初期の群論と体論とのつながりを確立した。幾何学では、群はまず射影幾何学で重要になり、後に非ユークリッド幾何学で重要になった。フェリックス・クラインのエアランゲン計画は、群論が幾何学の組織原理であると宣言した。

ガロアは、1830年代に初めて群を用いて多項式方程式の可解性を判定した。アーサー・ケイリーとオーギュスタン・ルイ・コーシーは、置換群の理論を作り上げることでこれらの研究をさらに推し進めた。群の2つ目の歴史的源泉は、幾何学的な状況に由来する。フェリックス・クラインは、群論を用いて可能な幾何学（ユークリッド幾何学、双曲幾何学、射影幾何学など）を理解しようとする試みとして、エアランゲン・プログラムを開始した。ソーフス・リーは、1884年に、解析問題に付随する群（現在ではリー群と呼ばれる）を使い始めた。3つ目に、群は、最初は暗黙的に、後に明示的に、代数的整数論で使用された。

これらの初期の資料の範囲が異なっていたため、群の概念も異なっていました。群の理論は 1880 年頃から統一され始めました。それ以来、群論の影響はますます大きくなり、20 世紀初頭の抽象代数の誕生、表現論、そしてさらに多くの影響力のある派生領域が生まれました。有限単純群の分類は20 世紀半ばからの膨大な研究であり、すべての有限 単純群を分類しています。

考慮される群の範囲は、有限置換群や行列群の特殊な例から、生成子や関係による表現を通じて指定できる抽象群へと徐々に拡大してきました。

体系的に研究された最初の群のクラスは、置換群でした。任意の集合Xと、合成と逆に関して閉じているXのそれ自身への全単射(置換と呼ばれる)のコレクションGが与えられたとき、 G はXに作用する群です。X がn個の要素で構成され、 G がすべての置換で構成される場合、 G は対称群S _nです。一般に、任意の置換群GはXの対称群の部分群です。ケイリーによる初期の構成では、任意の群が置換群として示され、左正則表現によってそれ自身 ( X = G ) に作用しました。

多くの場合、置換群の構造は、対応する集合へのその作用の特性を使用して研究することができます。たとえば、この方法で、n ≥ 5に対して、交代群A _{n は}単純であること、つまり、適切な正規部分群を許容しないことが証明されます。この事実は、根号で次数n ≥ 5の一般代数方程式を解くことが不可能であることにおいて重要な役割を果たします。

次に重要な群のクラスは、行列群、または線型群によって与えられます。ここで、G は、積と逆に対して閉じている体K上の、与えられた位数nの可逆行列からなる集合です。このような群は、線型変換によってn次元ベクトル空間K ⁿに作用します。この作用により、行列群は概念的に置換群に似たものとなり、作用の幾何学は、群Gの特性を確立するために有効に活用できます。

順列群と行列群は、変換群の特殊なケースです。変換群は、特定の空間Xに作用してその固有の構造を維持する群です。順列群の場合、X は集合であり、行列群の場合、X はベクトル空間です。変換群の概念は対称群の概念と密接に関連しています。変換群は、特定の構造を維持する すべての変換で構成されることがよくあります。

変換群の理論は、群論と微分幾何学を結びつける橋渡しとなる。LieとKleinに始まる長い研究の流れは、同相写像や微分同相写像による多様体への群作用を考察するものである。群自体は離散的でも連続的でもよい。

群論の発展の第一段階で考えられた群のほとんどは「具体的な」ものであり、数、順列、または行列によって実現されていました。抽象群の考え方が定着し始めたのは 19 世紀後半になってからでした。ここで「抽象的」とは、要素の性質が無視され、2 つの同型群が同じ群とみなされることを意味します。抽象群を指定するための一般的な方法は、生成子と関係による表現です。

${\displaystyle G=\langle S|R\rangle .}$

抽象群の重要な源泉は、群Gの正規部分群Hによる因子群または商群G / Hの構成によって与えられる。代数体の類群は、数論で非常に興味深い因子群の最も初期の例の 1 つである。群Gが集合X上の置換群である場合、因子群G / H はもはやXに作用していないが、抽象群の考え方により、この矛盾を心配する必要がなくなる。

具体的な群から抽象的な群への視点の変化により、特定の実現に依存しない群の特性、または現代の言葉で言えば同型性に対して不変な群の特性、およびそのような特性が与えられた群のクラス（有限群、周期群、単純群、可解群など）を考慮することが自然になります。個々の群の特性を調査するのではなく、群のクラス全体に適用される結果を確立することが求められます。この新しいパラダイムは数学の発展にとって極めて重要でした。それは、ヒルベルト、エミール・アルティン、エミー・ネーター、および彼らの学派の数学者の作品における抽象代数の創造を予兆していました。 ^[要出典]

群の概念の重要な詳細化は、Gが追加の構造、特に位相空間、微分可能多様体、または代数多様体を備えている場合に発生します。群の演算m (乗算) とi (反転) が、

${\displaystyle m:G\times G\to G,(g,h)\mapsto gh,\quad i:G\to G,g\mapsto g^{-1},}$

がこの構造と両立する、つまり連続、滑らか、または正則（代数幾何学の意味で）写像である場合、Gは位相群、リー群、または代数群である。^[2]

追加の構造の存在は、これらのタイプの群を他の数学分野と関連付け、それらの研究に利用できるツールが増えることを意味します。位相群は抽象調和解析の自然な領域を形成しますが、リー群(変換群として実現されることが多い) は微分幾何学とユニタリ表現論の主流です。一般には解決できない特定の分類問題は、グループの特別なサブクラスに対してアプローチして解決できます。したがって、コンパクト連結リー群は完全に分類されています。無限抽象群と位相群の間には有益な関係があります。グループΓ が位相群Gの格子として実現できる場合は常に、 Gに関連する幾何学と解析からΓに関する重要な結果が得られます。有限群の理論における比較的最近の傾向は、コンパクトな位相群 (プロ有限群) とのつながりを活用しています。たとえば、単一のp進解析群Gには、さまざまな順序の有限p群である商の族があり、Gの特性はその有限商の特性に変換されます。

20 世紀を通じて、数学者は有限群の理論のいくつかの側面、特に有限群の局所理論と可解群および冪零群の理論を詳細に研究しました。^[要出典]その結果、有限単純群の完全な分類が達成され、すべての有限群を構築できるすべての単純群が現在では知られていることを意味しています。

20 世紀後半には、シュヴァレーやスタインバーグなどの数学者によって、古典群の有限類似体やその他の関連群に関する理解も深まりました。そのような群の族の 1 つに、有限体上の一般線型群の族があります。有限群は、数学的または物理的対象の対称性を考慮するときに、それらの対象が構造保存変換を有限数だけ許容する場合によく発生します。 「連続対称性」を扱っていると考えられるリー群の理論は、関連するワイル群の影響を強く受けています。これらは、有限次元ユークリッド空間に作用する反射によって生成される有限群です。したがって、有限群の特性は、理論物理学や理論化学などの分野で役割を果たすことができます。

群G が 集合Xに作用するということは、 Gのすべての要素が、群の構造と互換性のある方法で集合X上の全単射写像を定義することを意味します。Xがさらに構造を持つ場合、この概念をさらに制限すると便利です。ベクトル空間V上のGの表現は群準同型です。

${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {GL} (V),}$

ここで、GL ( V )はVの可逆な線形変換から構成されます。言い換えると、すべての群元gには自己同型ρ ( g )が割り当てられ、 Gの任意のhに対してρ ( g )∘ρ ( h )= ρ ( gh )が成立します。

この定義は2つの方向に理解することができ、どちらも数学の全く新しい領域を生み出します。^[3]一方では、群Gに関する新しい情報が得られる可能性があります。多くの場合、 Gの群演算は抽象的に与えられますが、ρ を介して、それは行列の乗算に対応し、非常に明示的です。^[4]他方では、複雑なオブジェクトに作用するよく理解された群が与えられれば、これは問題のオブジェクトの研究を簡素化します。たとえば、Gが有限である場合、上記のV は既約部分に分解することが知られています（マシュケの定理を参照）。これらの部分は、 （シューアの補題を介して）全体Vよりもはるかに簡単に処理できます。

群Gが与えられたとき、表現論はGのどのような表現が存在するかを問う。設定は複数あり、採用される方法と得られる結果はそれぞれかなり異なる。有限群の表現論とリー群の表現は、理論の2つの主要なサブドメインである。表現の全体性は群のキャラクターによって決まる。例えば、フーリエ多項式は、周期関数のL ²空間に作用する絶対値1の複素数群U(1)のキャラクターとして解釈できる。

リー群は微分可能多様体でもある群であり、群の演算が滑らかな構造と両立するという性質を持つ。リー群は、連続変換群の理論の基礎を築いたソフス・リーにちなんで名付けられた。フランス語で「groupes de Lie」という用語は、リーの弟子であるアーサー・トレセの論文の3ページに1893年に初めて登場した。^[5]

リー群は数学的対象と構造の連続対称性に関する最も発達した理論であり、現代数学の多くの分野や現代の理論物理学にとって欠かせないツールとなっている。リー群は微分方程式の連続対称性(微分ガロア理論) を解析するための自然な枠組みを提供する。これはガロア理論で代数方程式の離散対称性を解析するために置換群が使用されるのとほぼ同じである。ガロア理論を連続対称群の場合に拡張することがリーの主要な動機の1つであった。

群はさまざまな方法で記述できます。有限群は、すべての可能な乗算g • hからなる群表を書き出すことによって記述できます。群をより簡潔に定義する方法は、生成元と関係（群の表現とも呼ばれます）を使用することです。生成元の任意の集合Fが与えられた場合、Fによって生成される自由群は群Gに射影されます。この写像の核は、何らかの部分集合Dによって生成される関係の部分群と呼ばれます。表現は通常、 によって表されます。たとえば、群表現はと同型の群を表します。生成元記号とその逆からなる文字列はワードと呼ばれます。 ${\displaystyle \{g_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle \langle F\mid D\rangle .}$${\displaystyle \langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle }$${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

組合せ群論は、生成元と関係の観点から群を研究する。^[6]これは、有限生成群や有限提示群（つまり、関係が有限である）など、有限性の仮定が満たされる場合に特に有用である。この分野では、グラフの基本群を介した接続を使用する。この分野の基本定理は、自由群のすべての部分群は自由であるということである。

群をその表現によって与えることから、いくつかの自然な疑問が生じる。単語問題は、 2 つの単語が実質的に同じ群要素であるかどうかを問うものである。この問題をチューリング マシンに関連付けると、一般にこのタスクを解くアルゴリズムは存在しないことが示される。もう 1 つの、一般に困難でアルゴリズム的に解決不可能な問題は、群同型性問題である。これは、異なる表現によって与えられた 2 つの群が実際に同型であるかどうかを問うものである。たとえば、表現 を持つ群は、整数の加法群Zと同型であるが、これはすぐには明らかではないかもしれない。( と書くと、) ${\displaystyle \langle x,y\mid xyxyx=e\rangle ,}$${\displaystyle z=xy}$${\displaystyle G\cong \langle z,y\mid z^{3}=y\rangle \cong \langle z\rangle .}$

幾何群論は、群を幾何学的対象とみなすか、群が作用する適切な幾何学的対象を見つけることによって、幾何学的観点からこれらの問題に取り組みます。^[7]最初のアイデアは、頂点が群の元に対応し、辺が群の右乗法に対応するケイリーグラフによって明確にされます。 2 つの要素が与えられた場合、要素間の最小パスの長さによって与えられる語メトリックを構築します。次に、ミルナーとスヴァルクの定理によれば、たとえばコンパクト多様体などの距離空間X上で合理的な方法で作用する群Gが与えられた場合、Gは空間Xと準等長（つまり、遠くから見て同じように見える）になります。

構造化されたオブジェクトXが与えられた場合、対称性は構造を保持したままオブジェクトをそれ自身に写像したものである。これは多くの場合に起こり、例えば

• X が追加の構造を持たない集合である場合、対称性は集合からそれ自身への全単射写像であり、順列群を生じます。
• オブジェクトX が、距離構造を持つ平面またはその他の距離空間内の点の集合である場合、対称性は、各点のペア間の距離を保存する集合のそれ自身への全単射です (等長変換)。対応する群は、Xの等長変換群と呼ばれます。
• 代わりに角度が保存される場合、共形写像と呼ばれます。共形写像は、たとえば、クライン群を生み出します。
• 対称性は幾何学的対象に限定されず、代数的対象も含まれます。たとえば、方程式には2 つの解とがあります。この場合、2 つの根を交換する群は、方程式に属するガロア群です。1 変数のすべての多項式方程式には、その根の特定の置換群であるガロア群があります。${\displaystyle x^{2}-3=0}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$

群の公理は対称性の本質的な側面を形式化します。対称性は群を形成します。対称性は閉じています。なぜなら、オブジェクトの対称性を取り、別の対称性を適用した場合、結果は依然として対称性になるからです。オブジェクトを固定する恒等式は、常にオブジェクトの対称性です。逆の存在は対称性を解消することによって保証され、結合性は対称性が空間上の関数であり、関数の合成が結合的であるという事実から生じます。

フルヒトの定理によれば、すべての群は何らかのグラフの対称群です。したがって、すべての抽象群は、実際には何らかの明示的なオブジェクトの対称性です。

オブジェクトの構造を保存するという言い方は、カテゴリで作業することによって正確に行うことができます。構造を保存するマップは射であり、対称群は問題のオブジェクトの 自己同型群です。

群論の応用は豊富です。抽象代数におけるほぼすべての構造は、群の特殊なケースです。たとえば、環は、2 番目の演算 (乗算に対応) を伴うアーベル群(加算に対応)として見ることができます。したがって、群論的議論は、これらの実体の理論の大部分の基礎となっています。

ガロア理論は、群を使用して多項式の根の対称性（より正確には、これらの根によって生成される代数の自己同型）を記述します。ガロア理論の基本定理は、代数体拡大と群論を結び付けます。これは、対応するガロア群の可解性に関して、多項式方程式の可解性の有効な基準を与えます。たとえば、 5つの要素を持つ対称群であるS _{5 は}可解ではなく、これは一般の5次方程式が、より低い次数の方程式のように根号によって解くことができないことを意味します。この理論は、群論の歴史的な根源の1つであり、類体理論などの分野で新しい結果を生み出すために、現在でも有益に応用されています。

代数的位相幾何学は、群を理論の対象であるオブジェクトに顕著に関連付けるもう 1 つの領域です。そこでは、群は位相空間の特定の不変量を記述するために使用されます。これらは、空間が何らかの変形を受けても変化しないように定義されているため、「不変量」と呼ばれます。たとえば、基本群は、空間内のパスが本質的に異なる数を「数えます」。2002 /2003 年にグリゴリー ペレルマンによって証明されたポアンカレ予想は、このアイデアの顕著な応用です。ただし、影響は一方向ではありません。たとえば、代数的位相幾何学では、ホモトピー群が規定されている空間であるアイレンバーグ-マクレーン空間を使用します。同様に、代数 K 理論は、ある意味で群の空間の分類に依存しています。最後に、無限群の捩れ部分群の名前は、群論における位相幾何学の遺産を示しています。

代数幾何学でも同様に群論をさまざまな方法で利用しています。アーベル多様体は上で紹介しました。群演算の存在により、これらの多様体が特に利用しやすくなる追加情報が得られます。また、これらはしばしば新しい予想のテストとして機能します。（たとえば、ホッジ予想（特定の場合））1次元の場合、つまり楕円曲線は特に詳細に研究されています。これらは理論的にも実践的にも興味深いものです。^[8]別の方向では、トーリック多様体はトーラスによって作用される代数多様体です。トーラス埋め込みは最近、代数幾何学、特に特異点の解決の進歩につながっています。^[9]

代数的整数論では、いくつかの重要な応用に群が利用される。例えば、オイラーの積の公式、

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}&=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},\\\end{aligned}}\!}$

は、任意の整数が一意に素数に分解されるという事実を捉えています。より一般的な環ではこの命題が成り立たないため、類群と正則素数が生じ、これはクンマーによるフェルマーの最終定理の扱いで取り上げられています。

リー群やその他の特定の群の解析は調和解析と呼ばれます。ハール測度、つまりリー群における変換に対して不変な積分は、パターン認識やその他の画像処理技術に使用されます。^[10]

組合せ論では、置換群の概念と群作用の概念は、オブジェクトの集合の数え上げを簡略化するためによく使用されます。特にバーンサイドの補題を参照してください。

五度圏の12周期性の存在は、音楽集合論における初等群論の応用を生み出します。変換理論は、音楽変換を数学群の要素としてモデル化します。

物理学では、群は物理法則が従うと思われる対称性を記述するため重要です。ノイマンの定理によれば、物理システムの連続対称性はすべて、システムの保存則に対応します。物理学者は群の表現、特にリー群に非常に興味を持っています。なぜなら、これらの表現は「可能な」物理理論への道を示すことが多いからです。物理学における群の使用例としては、標準モデル、ゲージ理論、ローレンツ群、ポアンカレ群などがあります。

群論は、ウィラード・ギブスによって開発された、意味のある解を生み出すために無限の数の確率を合計することに関する力学の統計的解釈の不完全性を解決するために使用することができます。 ^[11]

化学および材料科学では、点群は正多面体や分子の対称性を分類するために使用され、空間群は結晶構造を分類するために使用されます。割り当てられたグループは、物理的特性（化学的極性やキラリティーなど）、分光学的特性（ラマン分光法、赤外分光法、円二色性分光法、磁気円二色性分光法、UV/Vis分光法、蛍光分光法に特に有用）、および分子軌道の構築に使用できます。

分子の対称性は、化合物の多くの物理的および分光学的特性に関係し、化学反応がどのように起こるかについての関連情報を提供します。任意の分子に点群を割り当てるには、その分子に存在する対称操作のセットを見つける必要があります。対称操作は、軸の周りの回転や鏡面を通した反射などのアクションです。言い換えると、分子を元の構成と区別できないように移動する操作です。群論では、回転軸と鏡面は「対称要素」と呼ばれます。これらの要素は、対称操作が実行される点、線、または平面です。分子の対称操作により、この分子の特定の点群が決まります。

化学では、5 つの重要な対称操作があります。それらは、恒等操作 ( E)、回転操作または適切な回転 ( C _n )、反射操作 ( σ )、反転 ( i )、および回転反射操作または不適切な回転 ( S _n ) です。恒等操作 ( E ) は、分子をそのままにしておく操作です。これは、任意の軸の周りの任意の数の完全な回転に相当します。これはすべての分子の対称性ですが、キラル分子の対称グループは恒等操作のみで構成されます。恒等操作は、対称性がなくてもすべての分子の特性です。軸の周りの回転 ( C _n ) は、特定の角度だけ特定の軸の周りで分子を回転させることです。これは、回転軸の周りの角度 360°/ n ( nは整数) の回転です。たとえば、水分子が酸素原子を通り水素原子の間を通る軸の周りを 180° 回転する場合、開始時と同じ構成になります。この場合、n = 2です。これを 2 回適用すると恒等演算が生成されるからです。複数の回転軸を持つ分子では、 n の値が最大となる C _n軸が最高次の回転軸または主軸となります。たとえば、三フッ化ホウ素(BF ₃ ) では、最高次の回転軸はC ₃であるため、回転の主軸はC ₃です。

反射操作 ( σ ) では、多くの分子に鏡面がありますが、明らかではない場合があります。反射操作では、各点が平面を垂直に通過して、開始時とまったく同じ距離まで平面から移動したかのように、左右が入れ替わります。平面が回転の主軸に垂直な場合、σ _h (水平) と呼ばれます。回転の主軸を含む他の平面は、垂直 ( σ _v ) または二面角 ( σ _d ) と呼ばれます。

反転 (i ) はより複雑な操作です。各点は分子の中心を通って元の位置の反対側の位置に移動し、中心点から開始時と同じだけ離れます。一見反転中心があるように見える多くの分子には反転中心がありません。たとえば、メタンやその他の四面体分子には反転対称性がありません。これを確認するには、右側の垂直面に 2 つの水素原子、左側の水平面に 2 つの水素原子があるメタン モデルを持ちます。反転の結果、右側の水平面に 2 つの水素原子、左側の垂直面に 2 つの水素原子があります。反転はメタンの対称操作ではありません。反転操作後の分子の方向が元の方向と異なるためです。最後の操作は不適切な回転または回転反射操作 ( S _n ) で、360°/ nの回転と、それに続く回転軸に垂直な平面を通した反射が必要です。

楕円曲線暗号で構築された素数位数の非常に大きな群は、公開鍵暗号に使用されます。この種の暗号化方法は、幾何学的オブジェクトの柔軟性、したがって群構造、およびこれらの群の複雑な構造の恩恵を受けており、これらの構造により離散対数の計算が非常に困難になります。最も初期の暗号化プロトコルの 1 つであるシーザー暗号も、(非常に簡単な) 群演算として解釈できます。ほとんどの暗号化方式は、何らかの方法で群を使用します。特に、ディフィー・ヘルマン鍵交換では、有限巡回群を使用します。そのため、グループベース暗号化という用語は、主に、編組群などの無限非可換群を使用する暗号化プロトコルを指します。

• 群論トピックのリスト
• グループの例

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• 抽象群概念の歴史
• 高次元群論 これは、すべての次元に拡張され、ホモトピー理論や、局所から大域の問題に対する高次元非可換法に応用される理論のレベル 1 としての群論の見方を示します。
• Plus 教師および学生パッケージ: 群論 このパッケージには、ケンブリッジ大学のミレニアム数学プロジェクトが発行するオンライン数学雑誌Plusの群論に関するすべての記事がまとめられており、応用と最近のブレークスルーを探求し、群の明確な定義と例を示しています。
• バーンサイド、ウィリアム(1911)、「群の理論」 、ヒュー・チザム(編)、ブリタニカ百科事典、第 12 巻 (第 11 版)、ケンブリッジ大学出版局、626 ～ 636 ページこれは、群論の分野における初期の研究者による、当時の群論の理解の詳細な解説です。